Ещё одна шпаргалочка, страница 2

Распределение Ферми-Дирека при нулевой температуре рассмотрим в импульсном пр-ве одного эл-а.

– импульс Ферми, радиус сферы в данном пр-е. Сферическая пов-ть разграничивает заполненные при эл-ми элементарные ячейки (внутри нее) и пустые, не заполн. эл-ми (снаружи). Это "Ферми-сфера".

При малых температурах распределение Ферми-Дирака мало отличается от распределения при нулевой температуре. - температура квантового вырождения: – температура, ниже которой распределение Ферми-Дирака почти совпадает с распределением при .

Оценим по плотности металла. Концентрацию свободных электронов в металле найдем, разделив число Авагадро на молярный объем вещества металла, равный молекулярному весу, деленному на плотность…

При и трансцендентное уравнение для связи хим. потенциала и плотности числа свободных электронов

, где

Тогда при

При макроскопически большом объеме можно заменить

ДЫРКА В МОДЕЛИ КРОНИГА-ПЕННИ. ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ. РАВЕНСТВО НУЛЮ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА ОТ ПОЛНОСТЬЮ ЗАПОЛНЕННОЙ ЗОНЫ. Э ФФЕКТИВНАЯ МАССА ДЫРКИ.

Рассмотрим энерг. зону, полностью занятую эл-ми в модели Кронига-Пенни. Сначала рассмотрим полностью занятую зону, затем эту зону с одним недостающим электроном.

Дырка – подобная эл-нам частица, но с положительным зарядом.

Приложим к модельному твердому телу электрич. поле с напряженностью . Электр. ток, созд. эл-ми полностью заполненной зоны , где , -константа распространения, , N – четное. Значит, сила тока – положительный заряд, проходящий через сечение x одномерного ела в направлении оси x в единицу времени.

Н айдем силу тока одного эл-а. Пусть эл-н размазан по всей длине L, тогда имеем однород. непрер. заряд с лин. плотн-ю . Рассмотрим сечение x тела и отрезок длины . За через сечение x пройдет все электричество, которое в момент t содержалось на отрезке , т.е. количественно , тогда . Т.к. , то электрич. ток от всех эл-в полностью заполн. зоны .

, т.к. при энергетическая кривая имеет одинаковые значения. Полностью заполненная эл-ми энерг. зона не участвует в образовании электрического тока в твердом теле.

Если в пустой энерг. зоне имеем один точечный эл-н в сост-и , он создает ток . Если в полностью заполн. зоне недостает одного эл-а в сост-и , то эта зона создает дырочный ток , где имеет 2 спиновых сост-я, из которых одно не заполн. эл-ом.

Заполненная эл-ми энерг. зона с одним недостающим эл-ом создаёт в одномерном твёрдом теле электр. ток, равный току одного положительного точечного носителя электр. заряда - дырки.

Для движения дырки в постоянном электр. поле имеем

уравнение второго закона Ньютона

Дырка располагается на потолке заполненной зоны. Поэтому она характеризуется состоянием с отрицательной эффективной массой, но рассмотрим положительную массу

.

Тогда в окрестности потолка валентной зоны при

д ырку можно рассматривать как положительно заряженный носитель электрического тока с положительной массой.

Движение точечной дырки на энергетической диаграмме в валентной зоне и движение её в реальном пространстве в модельном одномерном твёрдом теле.

СИСТЕМА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЕРМИ-ДИРАКА. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕПЛОЕМКОСТИ МЕТАЛЛА ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ.

Рассмотрим с/у из N не взаимодейств. др. с др. эл-ов, находящихся в куб. ящике объема . Т.е. эл-ы находятся в куб. 3-мерной потенциальной яме, так что потенции. эн-я одного эл-а . Пусть с/а не изолирована и может обмен. теплом и эл-ми с окр-ем неизм. темп-ы T и хим. потенциалом . Для такой с/ы в равновес. сост-и справедливо распред. Ферми-Дирака , где – ср. число эл-ов на одну элементарную ячейку с эн-ей . По формуле распр-я для внутр. эн-и. , где и суммирование идет по бесконечному импульсному пр-ву по ячейкам размером и . Тогда при , ,т.к. при . При

, где - импульс Ферми. При малых температурах T можно считать, что , где и - малая поправка. Тогда разлагая правую часть по малости

Получили сумму двух интегралов и , которые разложим по малости T.

в виде трех интегралов .

В делаем замену переменной .

Сумма вторых интегралов в равна

Интегралы с множителями компенсируют друг друга. Тогда

, причем

. Отсюда для теплоемкости единицы объема

Тогда для молярной теплопроводимости

, , R – универсальная газовая постоянная

ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ. РАБОТА ВЫХОДА. ФОРМУЛА РИЧАРДСОНА-ДЭШМАНА.

Р абота выхода эл-на из металла опр. как разность эн-и, необх. для удаления одного свободного электрона, находящегося в самом низком своём энерг. сост-и, из металла на бесконечность вне металла, и эн-и Ферми .

Скорости свободных электронов подчинены распределению Ферми-Дирака и их концентрация

, где , .

Поэтому для плотность термоэмиссионного тока

, где

Электрон летает из металла при условии

Делаем замену в интеграле по замену

.

При обычно рассматриваемых при термоэмиссионной эмиссии температурах

,

- формула Ричардсона-Дэшмана

КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ ДВУХ МЕТАЛЛОВ. ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ. ФОРМУЛЫ СВЯЗИ С РАЗНОСТЬЮ РАБОТ ВЫХОДА И РАЗНОСТЬЮ ЭНЕРГИЙ ФЕРМИ.

Если два разных металла 1 и 2 с различными работами выхода привести в контакт, то часть эл-ов из одного металла перетечёт в другой металл и между металлами возникнет разность потенциалов :

, где , где - потенциал соответствующего металла, одинаковый по всему металлу.

На левом рисунке - энергетические диаграммы металлов 1 и 2 до приведения их в контакт. Справа - энергетические диаграммы металлов 1 и 2, находящихся в контакте, когда между ними появляется контактная разность потенциалов .

Т.к. , то электроны будут перетекать из металла 1 в металл 2, пока не установится останавливающая их перетекание положительная контактная разность потенциалов .

Согласно условию "электрохимического равновесия" для эл-в в контактирующих др. с др. металлах 1 и 2 равновесие устанавливается, когда электрохимические потенциалы эл-в в обоих металлах сравниваются , где , где - химический потенциал электрона, при : .

; ; ; или при : .

Т.к. , то есть , то и потому .

Если из двух проводников 1 и 2 составить замкнутую электрическую цепь, то несмотря на отличные от нуля контактные разности потенциалов и ∆ = в контактах a и b электрического течь не будет.

Но если контакты поддерживать при разных температурах , то потечет ток под действием термоЭДС .

много меньше температур квантового вырождения электронных ферми-газов в металлах, так что

и для термоЭДС

, где и - химические потенциалы при нулевой температуре.

РАВНОВЕСНЫЕ КОНЦЕНТРАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК И ХИМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ В ЧИСТОМ ПОЛУПРОВОДНИКЕ.

Концентрация эл-ов или дырок – число эл-ов или дырок, приходящихся на ед-цу объема п/проводника. Рассмотрим термодинамически равновесный п/проводник, находящийся в термостате, поддерживаются неизменными хим. потенциал и температура , п/проводник свободно обменивается тплом и эл-ми с окружением. Вероятность того, что некоторое одноэлектронное состояние с эн-ей занято эл-ом, дает по формуле Ферми-Дирака , где , - постоянная Больцмана.

Пусть известно число эл-ов , то . Вероятность того, что некоторое одноэлектр. сост-е с эн-ей при температуре занято дыркой

Найдем для чистого п/проводника концентрацию электронов , где интегрирование распространено до зоны проводимости. Каждое из группы одноэлектронных состояний с энергией занято в п/проводнике с вероятностью , а число их .

. Уровень хим. потенциала при достаточно низкой температуре расположен в глубине запрещенной зоны .

Тогда , т.к. Пусть , тогда , где .

В итоге , - эффективная плотность одноэлектронных состояний в зоне проводимости. Для концентрации дырок

, .

Окончательно , где - эффективная плотность в валентной зоне.

Найдем химический потенциал . В чистом п/проводнике электроны и дырки появляются и исчезают в результате тепловых флуктуаций в актах элементарных реакций совместного рождения при генерации электрон-дырочных пар и совместного уничтожения при их рекомбинациях. Т.е. . Пусть концентрации в чистом проводнике имеют индекс , тогда .

, причем Тогда .

, при нулевой температуре уровень хим. потенциала находится посередине запрещенной зоны.

ЭНЕРГИЯ ИОНИЗАЦИИ ДОНОРНОЙ ПРИМЕСИ. СПЕКТР ОДНОЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ ДОНОРНОГО ПОЛУПРОВОДНИКА. КОНЦЕНТРАЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ И ХИМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ В РАВНОВЕСНОМ ПОЛУПРОВОДНИКЕ

Чтобы оценить энергию ионизации донорного атома, следуя Бете, рассмотрим примесные атомные с/ы и в кристаллической решетке как атомы водорода.

Они отличаются тем, что эффективная масса электрона и дырки не равна массе свободного эл-на , имеют порядок ; электрическую проницаемость пустого пространства для атома водорода надо заменить на вещества п/проводника, для решеток германия и кремния.

По квантомеханическим формулам для энергии осн. состояния атома водорода и для его боровской орбиты получаем

- энергия ионизации; - средний радиуc.

Э нергия ионизации много меньше энергетической щели , .