III.2 Анализ проводимости сложного трубопровода (Нестреров С.Б., Васильев Ю.К., Андросов А.В. Методы расчета вакуумных систем), страница 2

,

;

в) L/R=10 (100 разбиений):

,

;

г) L/R=100 (1000 разбиений):

,

;

д) L/R=1000 (10000 разбиений):

,

.

2. Метод разбиения на "элементарные" каналы

Рассчитаем проводимости составных трубопроводов геометрически подобных приведенных выше, используя формулу (III.2.17) при k = 0,9524.

а) L /R = 1 (10 разбиений):

;

б) L /R=10 (100 разбиений):

;

в) L /R = 100 (1000 разбиений):

;

г) L /R=1000 (10000 разбиений):

.

3. Метод расчета суммарной проводимости по аналогии с электрическими цепями

Теперь проведем такой же расчет по формуле суммирования проводимости элементов трубопровода (III.2.10) аналогичной для электрического тока с последовательным соединением проводников.

Коэффициент Клаузинга для L/R = 0,1 равен 0,9524:

.

При увеличении длины в 10 раз, мы получаем 10 участков трубопровода с одинаковыми геометрическими параметрами:

;

.

Аналогично считаются проводимости для 100, 1000 и 10000 разбиений трубопровода:

;

;

.

Суммарные проводимости сложного трубопровода, рассчитанные по аналогии с электрическими цепями – U*, по теореме аддитивности – U_Th, по соотношению Клаузинга – U_Кл (III.2.8) и по методу разбиения на элементарные каналы – U_э.к. (III.2.24)

Таблица III.2.1

Погрешности значений проводимостей, рассчитанных по формулам (III.2.10), (III.2.19) и (III.2.24) относительно U_Кл

Таблица III.2.2

Расчет суммарной проводимости по предложенным методикам дает завышенные результаты по сравнению со значением, полученным по формуле Клаузинга.

При вычислении проводимости последовательно соединенных конструкций часто предлагаемая формула (III.2.10) для определения суммарной проводимости дает достаточно большие отклонения от точных значений, которые получены путем аналитического решения уравнения Клаузинга. При увеличении числа элементов трубопровода (разбиений) эта погрешность значительно возрастает и делает невозможной применение данной формулы для расчетов вакуумной системы.

Вычисления по теореме аддитивности обратной проводимости и по методу разбиения на "элементарные" каналы дают приблизительно одинаковые значения погрешности. Для оценочных расчетов можно исходить из удобства применения того или другого метода, но для получения более точных результатов предпочтительнее использовать формулу (III.2.19) , которая при большом количестве конструктивных элементов дает более точные результаты.

В каждом элементе на поток частиц оказывает влияние обратный встречный поток молекул, который возникает из-за рассеивания в далее расположенных элементах системы. Таким образом, молекулярные потоки в смежных элементах влияют друг на друга. Это взаимное влияние принимается во внимание теоремой обратной аддитивности при расчете U в вычитаемых членах уравнения (III.2.16) .

Методика основанная на истолковании сопротивления каждого канала как уменьшения полного сопротивления на сопротивление входного канала, бесспорна. Однако изменение формы диффузного распределения молекул на входе во второй канал и последующие в реальном случае дает некоторую погрешность.

III.2.5. Пример расчета сложного трубопровода

Суммарная проводимость в рассматриваемом случае будет получена по классической методике расчета, методом Монте-Карло, разбиения на «элементарные» каналы и с использованием теоремы аддитивности обратной проводимости.

Трубопровод (рис. III.2.2), соединяющий откачиваемый объем 1 с вакуумным насосом 6, состоит из цилиндрического трубопровода 2 круглого сечения длиной L₂ = 1 м и диаметром D₂ = 0,5 м, переходника 3 длиной L₃ = 0,23 м и диаметром D₃ = 0,38 м, прямого вакуумного затвора 4 (D_у = 0,38 м) длиной L₄ = 0,38 м и диаметром D₄ = D₃ = 0,38 м, цилиндрического трубопровода круглого сечения длиной L₅ = 0,58 м и диаметром D₂ = 0,5 м. Определяющий размер откачиваемого объема D₁=10 м, быстрота действия вакуумного насоса S_н = 5 м³/с при давлении во входном патрубке p₁=10^-3 Па. Откачиваемый газ – воздух при температуре 293 К. Определить быстроту откачки S₀, давление p₁ в объеме и проводимость трубопровода.

Рис. III.2.2. Схема к расчету проводимости трубопровода

1. Расчет сложного трубопровода по классической схеме

Для определения режима течения в цилиндрическом трубопроводе 5 рассчитаем число Кнудсена:

.

Так как Kn > 0,33, то режим течения газа в этой части трубопровода молекулярный.

Определим проводимость цилиндрического трубопровода.

,

где k₅ = 0,664 при .

Из соотношения давление на входе в трубопровод:

.

Проверим режим течения на участке 5 и в вакуумном затворе 4: Kn = 9,293>0,33.

Проводимость вакуумного затвора

,

где .

Из соотношения Q = U₄(p₄-p₅) определяем давление p₄ на входе в затвор 4:

.

Проверим режим течения в затворе 4 и переходнике 3:

.

Так как вход в переходник 3 из цилиндрического трубопровода 2 необходимо рассматривать как большую диафрагму (D₂/D₃=1,316). То определим проводимость 3 переходника с учетом влияния изменения площади сечения по формуле:

, где .

Давление на входе в переходник 3:

.

Проверим режим течения на выходе из цилиндрического участка 2 трубопровода:

.

Так как D₁/D₂=20, то вход в цилиндрический участок трубопровода рассматриваем как малую диафрагму проводимостью:

,

где .

Давление в откачиваемом объеме вычисляем по формуле

.

Проверим режим течения на цилиндрическом участке 2:

,

т.е. режим течения молекулярный.

Быстрота откачки сосуда 1 равна:

.

Проводимость всего трубопровода определяется по формуле

.

2. Расчет сложного трубопровода по теореме аддитивности
обратной проводимости

Используем значения проводимостей U_i каждого элемента конструкции, полученные выше, которые подставим в формулу для расчета общей проводимости (III.2.20). С учетом (III.2.14), следует .

Таким образом, теорема аддитивности принимает вид:

,

где рассчитывается следующим образом:

;

.

Проводимость всего трубопровода U =3,410 м³/с.

3. Расчет сложного трубопровода по методу разбиения на "элементарные" каналы

Подставляя в формулу (III.2.23) выражение для проводимости отверстия (III.2.21), получаем расчетное соотношение

.

Значения площадей входных отверстий и коэффициентов Клаузинга для каждого участка трубопровода рассчитаны выше:

.

4. Сравнение суммарной проводимости полученной классическим методом, методами Монте-Карло, разбиения на «элементарные» каналы и по теореме аддитивности обратной проводимости

При выполнении программы, которая реализует метод Монте-Карло получено значение вероятности проникания (коэффициента Клаузинга). Для рассматриваемой выше конфигурации трубопровода k = 0,18.

Суммарная проводимость трубопровода вычислена с использованием соотношения Клаузинга (III.2.8):

.

Далее приводятся погрешности проводимостей полученных различными методами относительно метода Монте-Карло:

– для метода теоремы аддитивности обратной проводимости;