III.2. Проводимость сложного трубопровода в свободномолекулярном режиме

III.2.1. Основные понятия

Данная глава посвящена обзору известных способов расчета (кроме метода пробной частицы и угловых коэффициентов) сложных трубопроводов при свободномолекулярном режиме течения газа.

Производительность Q или объемный расход потока газа, Па м³с^-1.

при T = 293 К, (III.2.1)

где N – поток откачиваемых частиц.

Быстрота действия вакуумного насоса или быстрота откачки во входном сечении насоса при его работе определяется соотношением

, (III.2.2)

где F – поверхность насоса, k_отк – вероятность откачки, n =N/V – концентрация частиц, v – средняя или тепловая скорость, м/с.

Из (III.2.1) и (III.2.2) получаем соотношения между S и Q:

. (III.2.3)

Быстрота откачки S₀ объекта – это объем, откачиваемый за единицу времени при данном давлении через сечение вакуумного трубопровода, соединяющего объем откачки с насосом:

, (III.2.4)

где p₀ – давление газа в откачиваемом объеме.

Если между насосом и вакуумной камерой ставят, например, экран, трубу или диафрагму, то быстрота откачки S падает. Конструктивный элемент характеризуется проводимостью:

. (III.2.5)

Сопротивлением элемента вакуумной системы называют величину W, которая является обратной проводимости. Из уравнения (III.2.5) и условия вязкостного течения получаем основное уравнение вакуумной техники:

. (III.2.6)

Проводимость U характеризуется вероятностью проникания (коэффициентом Клаузинга) . Это вероятность того, что частицы, падающие с распределением Максвелла на входную поверхность F₁ конструктивного элемента, проходят выходную поверхность F₂. Доля сталкивающихся частиц (1-k₁₂) вылетает из конструктивного вакуумного элемента через сечение F₁. Поток частиц в направлении 1→2 равен F₁I₁k₁₂, а в противоположном направлении F₂I₂k₂₁ (I – плотность потока частиц) в случае, когда на F₂ также справедливо распределение Максвелла. Суммарный поток
N=F₁I₁k₁₂ -F₂I₂k₂₁ равен нулю, если I₁=I₂. Значит:

; (III.2.7)

. (III.2.8)

Используя представления о направленности движения молекул параллельно оси трубопровода и о структуре разреженного газа, М. Кнудсен установил и подтвердил экспериментально выражение для расчета газового потока при течении через длинный трубопровод и отверстие в бесконечно тонкой стенке при молекулярном режиме. Он принял, что стенка трубопровода поглощает и отражает молекулы в соответствии с законом косинуса. Клаузингом был предложен аналитический метод для нахождения k в аналитической форме путем численного интегрирования уравнения Фредгольма второго рода. Он ввел понятие вероятности прохождения молекулы и разработал методы расчета проводимости коротких и коаксиальных трубопроводов. Рассмотрение предложенного соотношения показывает, что распределение k(x) вдоль трубы зависит только от одного параметра – отношения длины трубы к диаметру. Уравнение Клаузинга было решено для трубопроводов с различной конфигурацией проходного сечения, и результаты представлены в виде таблиц в [1]. Для ниже приведенных расчетов использовались данные для коэффициентов k, которые получены Клаузингом в 1932 г. и приведены в [1].

Для анализа высоковакуумных систем применяются методы угловых коэффициентов, и статистических испытаний (метод Монте-Карло). Описание данных методов приводится выше (гл. 1 и 2)

Для расчетов коротких трубопроводов (L< 20D) применяется формула, предложенная Клаузингом:

, (III.2.9)

где F – площадь входного сечения трубопровода, м³ ; μ – молекулярная масса рассматриваемого газа.

III.2.2. Методы расчета общей проводимости сложного
трубопровода

Далее рассматривается расчет проводимости сложного трубопровода, состоящего из отдельных конструктивных элементов. Для сравнения результатов производится расчет суммарной проводимости U четырьмя методами:

1. Аналогия с электрическими цепями (Дэшмановский подход) Если вакуумная система состоит из n последовательно соединенных элементов с известными проводимостями U_i , то суммарную проводимость системы можно определить из выражения

. (III.2.10)

При параллельном соединении n вакуумных элементов рассчитывается общая проводимость по формуле

. (III.2.11)

2. Метод Монте-Карло

При молекулярном режиме течения молекулы газа можно считать невзаимодействующими и проводимость можно оценить как отношение числа вылетевших молекул к числу влетевших с противоположного конца трубопровода. Данный метод позволяет определить вероятность прохождения молекулами трубопровода определенной конфигурации вместо решения системы уравнений, описывающих течение газа. Полученная вероятность k (коэффициент Клаузинга) подставляется в (III.2.9), и находится численное значение проводимости сложного трубопровода. Подробное описание метода Монте-Карло приводится в гл. 1.

3. Теорема аддитивности обратной проводимости последовательно соединенных конструктивных элементов с известной величиной U_i для каждого из них

Вероятность проникания (коэффициент Клаузинга) трубопровода, который имеет участки с увеличивающимися и уменьшающимися поперечными проводящими сечениями рассчитывается по следующей формуле:

. (III.2.12)

Второе слагаемое в правой части описывает влияние на k_1n параметров F_i и k_i, а третье – это влияние сужения поперечного сечения при переходе от одного компонента к другому.

Теорема об аддитивности обратной проводимости:

Общая проводимость

. (III.2.13)

Проводимость элемента конструкции

. (III.2.14)

Модифицированная проводимость

(III.2.15)

Учитывая соотношение (III.2.12), выводим теорему аддитивности обратной проводимости

. (III.2.16)

Затем вводятся модифицированные проводимости

. (III.2.17)

. (III.2.18)

Теорема об аддитивности в этом случае принимает вид

. (III.2.19)

Модифицированная проводимость U_m учитывает направление течения газа, а проводимость U нет. U_m (1→n) ≠U_m(n →1) .

4. Метод разбиения на «элементарные» каналы

Под «элементарным» понимается канал с известным коэффициентом Клаузинга и проводимость в равновесном состоянии газа на входе в него рассчитывается по формуле (III.2.20).

Трубопровод сложной геометрии разбивается на «элементарные» каналы с известным значением коэффициента Клаузинга и промежуточные камеры, осевая протяженность которых стремится к нулю (δ →0). Условные камеры A, B, и C (рис. III.2.1) необходимы для обеспечения равновесия газа на входе каждого канала. Разбиение канала осуществляется таким образом, что геометрически выход предыдущего канала эквивалентен входу последующего, и расчет его проводимости осуществляется по формуле

, (III.2.20)

где – проводимость входного отверстия канала.

Складывая проводимости каналов при их последовательном соединении, получаем формулу для проводимости сложного «трубопровода»:

, (III.2.21)

где параметры со штрихом обозначают полные значения величин канала.

Так как в реальном трубопроводе молекулярный поток деформирует пространственное распределение плотности молекул на входе в канал, кроме первого, то сопротивление каждого канала можно представить как уменьшение полного сопротивления на сопротивление входного сечения:

. (III.2.22)

Полная проводимость трубопровода:

. (III.2.23)

В частности, для трубопроводов с повторяющимися конструктивными элементами (U₀₁=U₀, k_i=k):

, (III.2.24)

где n – число повторяющихся элементов.

Рис. III.2.1. Исходная модель (а) и расчетная модель (б) анализируемой вакуумной системы
(1, 2 – вакуумные камеры; 3 – трубопровод, состоящий из элементарных каналов; A, B, C – условные камеры большого объема)

III.2.3. Алгоритм расчета проводимости по теореме аддитивности обратной проводимости

Для проверки точности каждого из методов по сравнению с методом Монте-Карло рассчитываются трубопроводы с одинаковыми площадями сечений, которые состоят из 1, 10, 100 и 1000 одинаковых частей – цилиндрических трубопроводов с круглыми сечениями.

Так как рассматривается общая задача, то для удобства введем обозначение:

. (III.2.25)

Выражение для модифицированной проводимости примет вид:

, (III.2.26)

. (III.2.27)

1. Зная L /R определяем коэффициент Клаузинга k по таблицам из [1].

2. Находим проводимость каждого элемента конструкции по формуле (III.2.25).

3. Рассчитываем модифицированную проводимость участков трубопровода U_i (III.2.26).

4. По формуле (III.2.27) рассчитываем суммарную модифицированную проводимость. С учетом того, что трубопровод не сужающийся получим:

. (III.2.28)

5. Учитывая выражение (III.2.17), получаем соотношение для расчета общей проводимости

. (III.2.29)

III.2.4. Сравнение значений суммарной проводимости при ее
расчетах разными методами

В данном параграфе приведен расчет сложного трубопровода по предложенному выше алгоритму. Рассматриваемые трубопроводы состоят из 10, 100, 1000 и 10 000 дискретных конструктивных элементов с постоянным отношением L/R = 0,1.

1. Расчет по теореме аддитивности обратной проводимости

а) Возьмем L /R = 0,1→ k = 0,9524:

;

б) L/R=1 (10 разбиений трубопровода):