[24.02.11] Лекция №3 (Конспекты - Управление сложными системами)

Лекция №3 [24.02.11]

Виды типовых воздействий:

1) ступенчатое воздействие - как наиболее тяжёлый режим работы (пуск двигателя);

2) импульс – бесконечно большое воздействие за бесконечно малый промежуток времени;

3) временные ряды – для следящих систем;

4) синусоидальное воздействие – для исследования частотных характеристик систем;

Переходные процессы

Любое воздействие на систему вызывает в ней процессы, по окончании которых автоматическая система переходит в установившийся режим работы. Например, реакция на "ступеньку" является переходным процессом.

Основы теории автоматического управления и регулирования

линейных (реальных линеаризованных) систем

Основной математический аппарат для описания – дифференциальные уравнения (ДУ), которые называются уравнениями динамики, так как описывают изменение входящих в них переменных во времени.

Из уравнений динамики получаются уравнения статики, если принять все входящие в них производные равными нулю или некоторым постоянным значениям. Уравнения статики описывают поведение системы в установившемся режиме.

При описании ДУ систем сначала составляются ДУ отдельных звеньев, уравнения которых и составляют единую систему.

В абсолютном большинстве случаев ДУ, описывающие поведение систем, являются нелинейными. Если для нелинейного уравнения реальной системы допустима линеаризация, то исследование систем проводится в классе линейных ДУ, что значительно упрощает расчёты.

Признаками, достаточными для линеаризации являются:

1) отсутствие разрывов;

2) отсутствие резко меняющихся и неоднозначных характеристик;

3) единое описание на всё интервале управления;

Линеаризация уравнения динамики звена или АС

Пусть в общем случае нелинейное ДУ, описывающее систему, второго порядка и имеет такой вид:

(1)

Линеаризация основана на том, что все переменные, описывающие систему, мало отклоняются от их программных значений. Иначе наша система не была бы ни системой управления, ни системой регулирования.

Допустим, что установившиеся значения программных переменных x₁ и x₂ – константы ( и ).

Тогда , где - отклонение в процессе;

; ;

Из уравнения (1) следует уравнение звена в установившемся режиме:

(2)

Линеаризация основана на разложении левой части уравнения (1) в ряд Тейлора:

(3)

вычитаем из уравнения (3) уравнения (2), отбрасываем старшие члены, как малые высшего порядка, и получаем линейное ДУ звена:

отбрасываем и понимаем под x₁ и x₂ отклонения. Вводим обозначения:

последовательно равно

в результате получаем линейное ДУ второго порядка:

- коэффициент пропорциональности,

Линеаризация уравнений может также проводиться графически через тангенс угла наклона к соответствующим характеристикам. Индексы при соответствующих коэффициентах переменных, входящих в ДУ, - произвольные.

Характеристики звеньев (АС, приведённых к виду звена)

§A - передаточная функция (ПФ). Определение ПФ даётся на базе преобразования Лапласа. Запишем преобразование Лапласа для входной и выходной величин.

Выход:

Вход:

– это комплексная переменная.

Пусть задано начальное условие:

; ; ;

Применим преобразование Лапласа к нашим переменным:

Тогда применение преобразования Лапласа к исходному ДУ второго порядка:

- исходное ДУ

По определению передаточная функция - отношение выходного сигнала, преобразованного по Лапласу, к входному сигналу, преобразованного по Лапласу, при нулевых начальных условиях.

В теории автоматического регулирования (ТАР) принято записывать передаточные функции не в виде соотношения полиномов, а в виде стандартных звеньев.

физический смысл: всё, что стоит при , называются постоянными времени, так как определяют динамику процесса, а - статический коэффициент усиления или передачи.

Знаменатель передаточной функции называется характеристическим полиномом. Приравняв его к нулю, получаем характеристическое уравнение. Корни характеристического уравнения – полюса (отвечают за поведение системы (за выход, короче)). Корни числителя (входа) называются нулями.

Передаточная функция в общем виде:

Основные положения операционного счисления:

1) ;

2) - сложение сигналов;

3) - первая производная;

4) - вторая производная;

5) - интеграл;

6) – двойной интеграл;

7) - теорема о начальном значении

8)

Некоторые формулы операционного счисления: