Лекция_4 (Лекции в электронном виде), страница 2

Бόльшие значения отклонений будут соответствовать большим отклонениям системы от положения равновесного состояния. Поэтому для усиления влияния обобщенной координаты на разность двух функций умножим левую и правую части записанного равенства на q:

.

Рассмотрим теперь интегральное квадратичное отклонение, определяемое следующей зависимостью:

,

которая является функцией параметра c. Поэтому вполне естественно найти минимум этой функцию. То есть определить такое значение параметра c, при котором функция S имела бы минимальное значение.

Для этого должно быть выполнено условие .

Определим сначала значение функции S:

Тогда:

,

откуда получим зависимость для определения коэффициента жесткости эквивалентной линейной характеристики:

.

Для оценки предложенного метода опять используем показательную зависимость восстанавливающей силы и проведем анализ точности полученной зависимости для m=2.

В этом случае:

,

откуда

,

.

Метод гармонической линеаризации

В случае также полагают, что закон изменения обобщенной координаты носит гармонический характер, то есть:

или , где ,

в этом случае .

При этом допущении разложим нелинейную функцию в ряд Фурье:

Принимая во внимание, что и , получим:

.

Если ограничиться только частотой первого порядка и остальными гармониками пренебречь, то:

, где

Следует отметить, что коэффициенты Фурье обладают рядом свойств. Для четных функций A_j=0, где j=1,2,… . Для нечетных функций A₀=0 и B_j=0, где j=1,2,… . Кроме того, если в нелинейной функции отсутствует постоянная составляющая, то A₀=0. Для функций, не имеющих гистерезисных петель, коэффициент B₁=0.

Таким образом, для симметричной характеристики восстанавливающей силы и при отсутствии гистерезисных петель можно записать:

.

Теперь потребуем, чтобы принятое решение исходного дифференциального уравнения удовлетворяло ему при максимальном отклонении системы от положения равновесия, то есть:

,

откуда получаем выражение для определения частоты свободных колебаний системы в зависимости от амплитуды колебаний:

.

Определим точность метода на примере показательной зависимости для m=2. В этом случае:

, откуда

или , то есть ошибка:

.

Запишем без вывода выражения для определения коэффициентов Фурье гармонической линеаризации типичных нелинейностей:

1. Кусочно-линейная зависимость.

1. Нелинейность с зоной насыщения.

1. Нелинейность с зоной нечувствительности.

1. Нелинейность с зоной нечувствительности и насыщением

1. Сухое трение.

Устойчивость колебаний механической системы с одной степенью свободы относительно положения равновесия.

До сих пор мы занимались решением двух задач из трех, которыми занимается теория механических колебаний. То есть мы определяли для различных механических систем частоту и амплитуду их свободных колебаний. Третьей задачей, которую решают при исследовании колебаний, является задача определения устойчивости колебаний относительно положения равновесия.

Для иллюстрации устойчивого и неустойчивого состояний системы рассмотрим хорошо знакомый нам маятник..

В первом случае точка подвеса находится выше самого маятника:

Д ифференциальное уравнение движения такого маятника мы уже не раз получали и оно имеет вид:

Как видно из уравнения, восстанавливающая сила всегда положительна и направлена в сторону возвращения маятника к положению равновесия. В этом случае можно говорить об устойчивом состоянии равновесия системы.

Теперь, если перевернуть систему таким образом, чтобы точка подвеса оказалась ниже маятника, то дифференциальное уравнение движения системы будет несколько отличным от полученного выше:

.

В этом случае, если пружина имеет малую жесткость, такую, что , то восстанавливающая сила оказывается отрицательной и направленной в сторону увеличения отклонения маятника от положения равновесия. В этом случае говорят о неустойчивом состоянии равновесного положения механической системы.

В теории колебаний разработан ряд критериев, позволяющих судить об устойчивости той или иной механической системы, не прибегая к решению дифференциального уравнения ее движения.

Для консервативной механической системы с одной степенью свободы существует теорема Лагранжа–Дирихле, которая устанавливает, что равновесие механической системы, находящейся под действием консервативных сил, является устойчивым, если в этом положении ее потенциальная энергия имеет минимум. То есть, для того, чтобы определить, устойчиво ли состояние системы равновесия консервативной механической системы с одной степенью свободы, необходимо выяснить, имеет ли потенциальная энергия системы в этом положении минимум. То есть, если:

,

то условие минимума будет выполнено. Если , то необходимо вычислять последующие производные .

Формальным признаком устойчивого положения консервативной системы служит положительное значение коэффициента обобщенной жесткости с, который равен по существу значению второй производной от потенциальной энергии системы по обобщенной координате:

Критерий устойчивости неконсервативной системы, то есть системы с трением, был разработан Ляпуновым. Причем этот критерий справедлив как для систем с одной степенью свободы, так и для систем с конечным числом степеней свободы.

Суть критерия Ляпунова заключается в том, что вещественные части всех корней характеристического уравнения должны быть отрицательными. Если найдется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то положение системы будет неустойчивым. Так, для системы с одной степенью свободы характеристическое уравнение имеет вид:

,

корни которого вычисляются по хорошо известной нам зависимости:

.

Для случая малого сопротивления, как Вы помните, корни комплексные:

,

и, в соответствии с критерием Ляпунова, условием устойчивости системы служит следующее соотношение:

.

В случае большого сопротивления:

,

и критерий Ляпунова следует записать следующим образом:

.

Проведем теперь исследование систем по устойчивости их равновесного состояния.

Задача 1.

Р ассмотрим тонкую пластинку в потоке газа или жидкости, скорость которого V направлена вдоль срединной плоскости пластинки в невозмущенном состоянии равновесия. В этом случае аэродинамические силы равны нулю, а трением потока о пластинку можно пренебречь. Определить критическую скорость потока, при которой произойдет потеря устойчивого положения равновесия пластинки.

Решение

При отклонении пластинки возникают аэродинамические давления, зависящие от угла отклонения φ от положения равновесия. Используя зависимость из аэродинамики, равнодействующую давления можно разложить на две составляющие:

,

где k_x и k_y – постоянные аэродинамические коэффициенты;

ρ – плотность потока.

Момент сил, возникающий при отклонении пластинки относительно шарнирной опоры, равен:

,

при этом отклонения пластинки от положения равновесия будем считать малыми, то есть .

Пусть пластинка имеет момент инерции J относительно шарнирной опоры. Тогда можно определить дифференциальное уравнение малых колебаний такой системы:

.

Третьим слагаемым можно пренебречь, так как эта величина имеет второй порядок малости. Таким образом, дифференциальное уравнение упрощается:

.

Используя теорему Лагранжа–Дирихле, определим условие устойчивого состояния системы:

,

откуда определяется значение скорости потока:

.

Явление потери устойчивости системой положения равновесного состояния называется в механических системах дивергенцией.

До сих пор мы рассматривали механические системы с силами трения, способствующими демпфированию колебаний. Причем эти силы мы всегда принимали зависящими от скорости. Однако, в некоторых системах могут возникать силы, так же зависящие от скорости, но совпадающие с ней по направлению. Такие силы, очевидно, будут оказывать дестабилизирующее влияние и способствовать раскачке колебаний, а не их демпфированию. Силы такого типа называют силами «отрицательного трения» .

В общем виде движение такой системы будет иметь вид:

.

Анализ коэффициентов такого уравнения показывает, что движение системы в этом случае будет неустойчивым, так как в соответствии с критерием Ляпунова . Это также хорошо видно и из непосредственного решения дифференциального уравнения, которое будет иметь вид: