Континуум и бесконечности (Типа лекций), страница 5

-(±В) ® -В

Поэтому высказывания «за» и «против» теории Г. Кантора непререкаемо истины в двузначной логике. Учение Г. Кантора о трансфинитных множествах было подробно исследовано с логических позиций доктором физико-математических наук А. Зенкиным[71-75] и показана его полная несостоятельность. Он насчитал 7 логических ошибок в 10 строчках канторовского перевода потенциальной бесконечности в актуальную бесконечность. Помимо А. А. Зенкина обстоятельная критика учения Г. Кантора дана в работах[76, 77].

Принцип Кантора о том, что «сущность математики в её свободе» был философски обоснован Л. Витгенштейном. В п. 3.02 своего знаменитого «Трактата» он пишет: « Мысль содержит возможность той ситуации, которая мыслится ею. Что мыслимо, то возможно»[81, с. 10]. Стоп! Что мыслимо, то возможно! Вот, где зарыта собака! Вот основополагающий принцип! Принцип чрезвычайно удобен, так как не стесняет математического творчества, по которому можно воображать и творить всё, что угодно. Принцип оправдывает любые построения и любые самые не мыслимые теории, которым ничего не соответствует в реальном мире. Этот принцип не нов. Ещё Д. Юм писал в «Трактате о человеческой природе»: «В метафизике общепринято следующее положение: всё, что ясно представляется в сознании, заключает в себе идею возможности существования, или, другими словами, ничто из того, что мы воображаем, не есть абсолютно невозможное »[15. Т.1. С. 92]. Это высказывание относится к метафизике, следовательно, перенося его на математику, она становится метафизической наукой. В отличие от Б. Рассела, который безоговорочно принял измышления Г. Кантора по трансфинитным числам, Д. Гильберт в знаменитом труде «Основания математики» в мягкой форме указал на противоречивость этого учения[80]. Он попытался найти вместо натурального ряда чисел другую бесконечную область, взятую из области чувственного восприятия или реальной действительности. Но все попытки оказались тщетными. Поэтому он разработал метод формализации логического вывода, в основу которого положены следующие положения:

1) «строго формализовать принципы логического вывода и подготовить, таким образом, систему правил вывода, которая была бы полностью обозримой;

2) для заданной системы аксиом (непротиворечивость которых должна быть установлена) показать, что, исходя из неё и пользуясь средствами логического вывода, нельзя будет получить никакого противоречия, т. е. никогда не смогут оказаться доказуемым две формулы, одна из которых является отрицанием другой»[80, с. 43].

На протяжении многих веков существовала непротиворечивая аксиома: Для любых двух точек A, B существует не более одной прямой, принадлежащей каждой из точек A, B. Однако она оказалась противоречивой и через две точки можно провести не ограниченное количество прямых[4]. Следовательно, вся математика, основанная на понятии непротиворечивости должна очень осторожно относится к «непротиворечивым» аксиомам и высказываниям. Если до Д. Гильберта непротиворечивость какой-либо формулы означает и её выполнимость, то Великий математик постулирует, что «мы вовсе и не обязаны доказывать непротиворечивость путём установления выполнимости»[80, с. 42]. Это и есть «непротиворечивость». Это всё равно, что считать непрерывно строящийся дом построенным, и поселять людей в несуществующие квартиры. Я бы выразил это двумя словами: «непротиворечивая абсурдность». Непрерывно строящаяся бесконечность, взятая как таковая, это завуалированное канторовское трансфинитное число.

В настоящее время теория множеств Г. Кантора считается наивной теорией множеств, оперирующая только положительными действительными числами. Открываем книгу Н. Бурбаки «Теория множеств. Гл. 111, § 6. Бесконечные множества», читаем: «Определение 1. Говорят, что множество бесконечное, если оно не является конечным »[82, с. 221]. Такое определение даёт самая точная наука ¾ математика. Оно сродни известному русскому выражению: «Говорят, что в Москве кур доят». И далее: «А5 (аксиома бесконечности). Существует бесконечное множество ». Сразу вопрос: какое бесконечное множество ¾ бесконечно актуальное или бесконечно потенциальное? Кроме того, современная теория множеств дополнительно содержит следующие аксиомы[82-88]:

- создание непрерывного континуума при помощи дискретности (чисел),

- принцип свёртывания,

- аксиома объёмности,

- аксиома выбора.

Кроме этих аксиом математики забывают, что все множества, в том числе и бесконечные, считает человек, отображая внешние предметы, как числа, на своё внутреннее пространство.

В идее актуальной бесконечности мыслится, что эта бесконечность является чем-то неизменно внешним по отношению к пространству мышления. Основываясь на этой аксиоматики, последующие исследователи построили АБ при помощи абстракции актуальной осуществимости. Суть абстракции актуальной осуществимости заключается в следующем[89-91].

1. Строятся математические объекты при помощи набора конструктивных операций, допуская при этом, что объекты не только потенциально осуществимы, но и фактически построены.

2. Это воображаемое построение мысленно приравнивается к реальности, и к этой реальности применяются методы классической логики.

3. Представляют воображаемую совокупность как существующую независимо от набора конструктивных операций.

4. Представляют бесконечные совокупности одновременно существующих объектов.

Такое представление построения актуальной бесконечности при помощи абстракции актуальной бесконечности есть допущение возможности завершения бесконечного процесса абстракцией потенциальной осуществимости. И. Кант по этому поводу пишет: «Истинное (трансцендентальное) понятие бесконечности заключается в том, что последовательный синтез единицы при измерении количества не может быть закончен»[47, с. 272]. Это высказывание означает, что синтез единицы протекает вне временных и количественных рамок и построить актуальную бесконечность при помощи этих четырёх пунктов невозможно. Поэтому нет эффективного способа построения актуальной бесконечности. Такого же мнения и Ф. Аквинский. На вопрос может ли существовать актуально бесконечная величина и актуально бесконечное множество Фома отвечает отрицательно. Так как величины и множество конечны и разделены, то с количественной точки зрения они могут создать только потенциальную бесконечность. [92]. Была предпринята попытка построить актуальную бесконечность через потенциальную, рассматривая актуальную бесконечность как предел потенциальной бесконечности (кардинальные числа):

АБ = lim_f¥_f (1.3)

Но предела потенциальной бесконечности не существует и построение АБ при помощи кардинальных или трансфинитных чисел, введённых Г. Кантором, не эффективно. Поэтому в настоящее время АБ в математике задаётся аксиоматически, и актуальная бесконечность обозначается знаком ¥.

АБ = ¥ (1.4)

Актуальную бесконечность можно построить из потенциальной бесконечности только одним способом  по гегелевскому принципу отрицание отрицания. Снять (отрицать) с потенциальной бесконечности количество, т. е. отсечь от неё все количественные величины и признаки.

Последовательно отбрасывая финитные индексы у _f¥_f ^—1 и у _f0_f, мы получаем актуальную бесконечность:

_f¥_f  _f ¥  ¥

_f0_f  _f0  0 (1.5)

Но в этом случае скажет проницательный читатель в актуальной бесконечности ничего не остаётся: ни чисел, ни предметов или объектов. Да, действительно, актуальная математическая бесконечность не будет содержать чисел, но теперь эта бесконечность перешла из количественной определённости в другую определённость  качественную. Такими бесконечностями часто пользуемся в математике  это обыкновенные прямые линии, и, как это покажется невероятным, актуальные бесконечности счётны, но не по количеству, а по качеству [4].

Согласно (1.5) имеются четыре математические записи актуальной бесконечности: _f¥, ¥, _f0, 0. Актуальные бесконечности _f¥, ¥ являются внешними по отношению к субъекту, а бесконечности, _f0, 0  внутренними.

Актуальные бесконечности _f¥ и _f0 имеют начало отсчёта f, например, прямая линия исходящая из начала координат и ограничена каким - либо дискретным репером будь-то число, человек, Земля, галактика и т. п. Актуальные бесконечности ¥ и 0 не имеют никаких ограничений, например, прямая линия тянущееся из ниоткуда в никуда.

Очень часто в философских и математических работах можно встретить следующее соображение против такой трактовке актуальной бесконечности: Я возьму ножницы и вырежу из этой, тянущейся из ниоткуда в никуда прямой линии, отрезок. Концы оставшейся прямой линии сдвинем, в результате этого сдвига актуально бесконечная линия становится конечной. Такой аргумент совершенно не правомочен по той причине, что в этом пространстве Бог ещё не сотворил человека, который бы мог это сделать, и полностью отсутствуют ножницы.

1.2.3. Истинная и абсолютная бесконечности.

Бесконечное в его простом понятии можно рассматривать, прежде всего, как новую дефиницию абсолютного…»[23, с. 31], ¾ этими словами начинает раздел «Бесконечность» в книге «Наука логики» Г. В. Ф. Гегель.

В трёхмерном физическом мире, где всё рассчитано и измерено Абсолютной бесконечности не может быть. Человек как конечномерный субъект, допуская самую большую протяжённость во времени и пространстве, подспудно предполагает, что не существует ни какого начала и конца пространству и времени. Это и есть Абсолютное или Беспредельное пространство и время. Предполагая их существование, человек не может познать их через конечные понятия, и описать положительными характеристиками при помощи конечных метрик, математических понятий и логических построений. «Истинная бесконечность в точном смысле слова заключается лишь в абсолютном, которое предшествует всякому соединению и не образовано прибавлением частей», ¾ читаем у Г. В. Лейбница[25, с. 157]. Абсолютная бесконечность недоступна нашему исследованию не потому, что она имеет другую природу и подчиняется другим законам, нежели наш материальный мир, а исключительно потому, что Абсолютная бесконечность находится вне сферы действия наших органов чувств. Вследствие этого задаётся вопрос: существуют ли истинная и абсолютная бесконечности? Этот вопрос является краеугольным камнем оснований, как философии, так и математики. На него можно дать утвердительный ответ: да, существует.

Греки считали актуальную бесконечность недопустимым понятием, вспомним выражение Аристотеля: «Актуально бесконечное не существует». Это высказывание наложило отпечаток на всю математику. В математике истинная и абсолютная бесконечности не рассматриваются и, практически, не используются, у них даже нет математических символов. Единственным математиком, поставивший вопрос о существовании абсолютной бесконечности, был Г. Кантор, но и он не отличал понятие актуальной бесконечности от абсолютной.

В философии только небольшая часть философов исследовала это понятие. Среди них следует отметить Н. Кузанского, Г. В. Ф. Гегеля, Ф. В. Й Шеллинга и В. С. Соловьёва. В. Ф. Гегель в приведенной выше формулировке ясно дал понять, что абсолютная бесконечность существует. Аналогичную позицию занял Ф. В. Й Шеллинг: «Поскольку философия полностью находится в сфере бесконечного и над ней нет, как для математики, высшей рефлексии, она объединяет все рефлексии в самой себе, её должна всё время сопровождать рефлексия её собственной сущности; она не только знание, но всегда и необходимо одновременно и знание этого знания, но только не в бесконечном продвижении, а во всегда в наличной бесконечности»[93, с. 5]

Как же исследовать, познать и понять эту Абсолютную сущность? Для того чтобы синтетически рассмотреть Абсолютную бесконечность необходимо решить два вопрос:

- на каком языке рассматривать это явление;

- при помощи каких логических выводов исследовать это понятия: дедуктивных или индуктивных

На первый вопрос ответ довольно прост  на математическом языке геометрии и алгебры, вследствие гибкости и универсальности языка математики.

Для ответа на второй вопрос воспользуемся высказываниями Прокла и Хао Вана. Прокл: «Всё божественное вследствие своего сверх сущностного единства само по себе неизреченно и неведомо ни для какого вторичного; но оно познаваемо и постигаемо через причастное ему»[94, с. 170]. Хао Ван: «Чрезвычайно важной целью математической деятельности является открытие методов, с помощью которых бесконечное может изучаться конечным интеллектом»[95]. Эти высказывания чётко дают ответ, что данную проблему необходимо решать при помощи индуктивной логики.

Причастное Абсолюту есть актуальная бесконечность. Поэтому при её помощи необходимо сначала сконструировать саму категорию истиной бесконечности как таковой, бесконечности в себе, первоначальной научной абстракции, которая определяет онтологические особенности философских, математических и физических принципов и снабдить её символом, способным отразить в принципе всю бесконечность существующего мира. Затем на основании истинной бесконечности создать Абсолютную бесконечность.

Принцип построения истинной бесконечности дан в работах Гегеля, Шеллинга, Вл. Соловьёва и Н. Кузанского. Истинная бесконечность по Гегелю получается тогда, когда бытие сливается со своим инобытием: «Бесконечное есть, и оно есть в более интенсивном смысле, чем первое непосредственное бытие; оно истинное бытие, возвышение над пределом… оно в то же время есть отрицание некоторого иного, конечного»[23, с.131].

Под идеальной бесконечностью Шеллинг понимал непрерывное временное поле, в котором развёртывается деятельность природы и человека: «Эта абсолютная продуктивность⁸ должна перейти в эмпирическую природу. В понятии абсолютной продуктивности мыслится понятие идеальной бесконечности. Идеальная бесконечность должна стать эмпирической. Но эмпирическая бесконечность есть бесконечность становления. Любой бесконечный ряд  не что иное, как отображение интеллектуальной или идеальной бесконечности. Изначально бесконечен тот ряд (идеал всех бесконечных рядов), в котором развёртывается наша интеллектуальная бесконечность, время ». [96, с. 194]. Но время, согласно[5] неподвижное обратное одномерное пространство (кривизна), поэтому нельзя согласится с мнением Шеллинга, наша же интеллектуальная бесконечность развёртывается в непрерывном пространстве-движении.

Далее он говорит, что необходимо синтезировать из двух противоположных бесконечностей некую третью: «...Одна из этих деятельностей, будучи неограниченной, произвела бы положительное бесконечное, другая  при том же условии  отрицательное бесконечное. В совместном продукте должны, следовательно, обнаруживаться следы обеих деятельностей, одна из которых в своей беспредельности произвела бы положительно бесконечное, другая  отрицательно бесконечное. Но, далее, эти деятельности не могут быть абсолютно противоположны друг другу, не будучи деятельностями одного и того же тождественного субъекта. Следовательно, они не могут быть и соединены в одном и том же продукте без некоторой третьей, синтезирующей их деятельности. Поэтому в продукте помимо следов обеих названных