Континуум и бесконечности (Типа лекций), страница 2

Великий математик Гаусс писал: «В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто окончательное; бесконечность ¾ не более чем façon de parle¹, означающая предел, к которому стремятся одни величины, когда другие бесконечно убывают»[1, c. 232]. Подводя итог своей работе «О бесконечном» Д. Гильберт делает следующий вывод: «Наш общий вывод таков: В реализованном виде бесконечное не встречается нигде. Его нет в природе, и оно также недопустимо и в качестве основы нашего разумного мышления, ¾ достойный внимания пример гармонии между бытием и мышлением»[2, с. 448].

Казалось бы, что высказывания большинства философов и математиков не оставляют никакой возможности по построению, исследованию и пониманию

¹ манера выражаться (фр.)

бесконечного. Но это не так. Бесконечность можно понять и построить. Способы построения и познания бесконечного даёт философ А. С. Кармин в работе «Познание бесконечного»[21]. По его мнению, познать бесконечное можно при помощи трёх уровней.

Первый уровень  уровень «эмпирической констатации факта невозможности зафиксировать границы каких-либо конкретных объектов». В этом случае объект имеет качественную характеристику «неограниченность», которая сродни бесконечному.

Второй уровень  уровень перевода качественной характеристики «неограниченность» в количественную характеристику, т. е. в количественную бесконечность.

Третий уровень  метафизический. Он заключается в том, что снимаются всякие абстракции и ограничения, на которых базируются представления о бесконечности.

По моему мнению, первые два уровня относятся к познанию и построению к ограниченной бесконечности и целиком зависят от чувственного восприятия окружающего мира человеком. Так исследование наблюдаемой Вселенной ограничено скоростью прохождения световых сигналов и сигналов радиоволн. Радиус наблюдения с планеты Земля может простираться только до расстояний  10³¹ см. Что находится за этим расстоянием, мы знать не можем. В этом случае, согласно первым двум уровням познания, бесконечность будет равна 10³¹см + 1см, что, по-видимому, не совсем приемлемо. Тогда остаётся только третий уровень, который является единственным верным с любых позиций: философских, математических и физических.

1.2. Математические бесконечности.

Познанию и конструированию математических бесконечностей посвящено очень большое количество работ[1-44]. Как было показано понятия «бесконечное» и «бесконечность» не могут быть выражены через человеческий опыт, они не могут быть выражены и через конечность человеческого мышления. Но эти понятия можно осмыслить человеческим мышлением и связать это осмысление с опытом, пролонгируя его (опыт) за собственные пределы. Существует ли бесконечность чисел, существует ли бесконечное число, существует ли бесконечное пространство, существует ли бесконечное движение, существует ли бесконечное время? Эти вопросы не являются праздными, и их решение может перевернуть все наши представления о Вселенной. В современном математическом понятии бесконечности заложены неразрешимые парадоксы, основанные на неправильном употреблении этой категории и самого слова «бесконечность», а также связывание с ним недостаточно ясных представлений. Например, считается, что материальный мир бесконечен, но его можно измерить по частям. В физической литературе часто можно встретить такое выражение: возьмём бесконечную Вселенную и разобьём её на конечное число областей. Если протяжённость какой-либо области измерить в метрах, то она будет состоять из бесконечного количества подобных областей. Если же область измерить в сантиметрах, то одно бесконечное число будет в сто раз больше другого бесконечного числа.

Обычные арифметические правила оказываются неприменимы к бесконечности. Например, считается, что

¥ + ¥ + … + ¥ = ¥,

_____________

n раз

в то время как для чисел, это математическое действие будет равно:

а + а + … + а = nа

_____________

n раз

Из этого примера ясно видно, что сложение бесконечностей не подчиняется правилу сложения чисел.

Другой пример:

(¥ + а) = ¥

(¥ - а) = ¥

Данный пример показывает, что часть и целое равны между собой. Следуя правилам арифметики, бесконечность, стоящая в скобках есть часть той бесконечности, которая является суммой или разностью. Но сумма или разность всегда больше или меньше своих слагаемых, следовательно, бесконечность больше самой себя, что является логическим абсурдом. Рассмотрим следующий пример:

¥/а = ¥ ´ а = ¥

С точки зрения формальной логики этот пример означает, что бесконечность и число а, являются и частями самих себя и целыми в отношении себя самих. Из этих коротких примеров видно, что бесконечность не подчиняется правилам сложения, вычитания, умножения и деления чисел. Следовательно, относить это понятие к числам нельзя. Об этом пишут математики Р. Курант и Г. Роббинс: «… при переходе от прилагательного «бесконечный», означающего просто-напросто «не имеющий конца», к существительному «бесконечность» никоим образом не следует привносить допущения, что «бесконечность», обыкновенно изображаемая символом ¥, может быть рассматриваема как обыкновенное число. Нельзя включать символ ¥ в числовую систему действительных чисел, не нарушая при этом законов арифметики»[45, с 105]. Приведу выражение математика В. Кривова: «Особо подчеркнём, что ¥ не является натуральным числом»[46, с. 21]. Тем не менее, математики рассматривают множества, содержащие бесконечное количество элементов, принимая понятие «бесконечность» как число.

До сих пор собираются симпозиумы и конференции по исследованию понятия бесконечность и его связи с конечным, хотя все вопросы этой взаимосвязи были решены Аристотелем и Проклом, но об этом почему-то математики забывают. Вот теоремы доказанные Проклом[47]:

- никакая величина не может быть пройдена за бесконечное время.

- свойства бесконечных по величине тел бесконечны;

- бесконечной тяжести или лёгкости не существует;

- ничто бесконечное не может испытывать воздействия со стороны конечного;

- ничто конечное не может испытывать воздействия со стороны бесконечного;

- ничто бесконечное не может испытывать воздействия со стороны бесконечного.

Поэтому все взаимодействия конечного и бесконечного, а также взаимодействия бесконечного и бесконечного, в том числе и математические действия лишены смысла. Бесконечность в пространстве по смыслу слов означает, что нет ни начала, ни конца в какую бы сторону пространства не двигался познающий субъект или предмет: ни вперёд, ни назад, ни вверх, ни вниз, ни вправо, ни влево. Если число есть чисто счетная и количественная категория предметов, объектов и вещей, то понятие «бесконечность» не есть число и словосочетание «бесконечное число» бессмысленно. Бесконечной величине нет числа! Равенство целого своей части является характерным признаком бесконечной величины, её неизмеримость, невозможность выразить её через числовые величины.

Количественное или числовое пространство (пространство, ограниченное числом) должно находится, и двигаться в другом пространстве, где такого ограничения нет. Это пространство является полем для числового пространства и это поле называется бесконечным полем. Бесконечность не подчиняется закону построения созерцательным познанием потенциальной и актуальной бесконечностей и есть абстракция чистого разума. «Это расхождение между чувственной и рассудочной способностью указывает только на то, что ум часто не может выразить конкретно и превратить в созерцание те абстрактные идеи, которые он получил от рассудка. Но эта субъективная трудность, как это нередко бывает, ошибочно кажется каким-то объективным противоречием и легко вводит в заблуждение людей неосмотрительных, заставляя их принимать границы человеческого ума за пределы…», ¾ пишет по этому поводу И. Кант[48, с. 827]. Бесконечное не может быть выражено в понятиях опыта, т. к. бесконечное выходит за пределы пространства мышления, которое его мыслит. Если бесконечное мыслится человеком, то пространство мышления каким-то образом связано с бесконечным. Следовательно, понятие бесконечности проистекает не от желания самого субъекта мыслить это понятие, а от существования самого понятия бесконечного, влияющего на пространство мышления субъекта.

Человечество накопило громадный опыт в области бесконечного и пользуется различными типами бесконечностей в математике, физике и космологии: практической, безграничной, метрической, афинной, проективной, конформной, топологической и теоретико-множественной. Эти типы бесконечностей подробно рассмотрены в работе[49]. Математические и философские дискуссии по бесконечностям в основном касались количественного понятия бесконечности, не давая определения бесконечностям и не указывая их качественные свойства. Математическая наука не рассматривает и иногда даже отвергает философскую (метафизическую) бесконечность, прикрываясь тезисом, что каждая наука должна рассматривать только то, что касается её области.

Все эти типы бесконечностей основываются на двух более общих категориях бесконечного:

-потенциальная бесконечность;

-актуальная бесконечность.

По моим представлениям, бесконечное (бесконечность) есть субстанциальное понятие, обозначающее, что рассматриваемый объект не имеет ни начала, ни конца, как по количественной, так и по качественной категориям. С этих позиций и необходимо проанализировать существующие понятия бесконечного.

1.2.1. Потенциальные бесконечности.

В процессе познания природы человечество разделило материальный мир, в котором мы живем и который мы исследуем, на две части:

- на бесконечное пространство, бесконечный ряд материальных объектов, бесконечный ряд чисел от человека (от единицы) в глубь макрокосма, приписав этим большим числам положительную степенную функцию и назвав предельное число бесконечностью ¾ ¥; это пространство по отношению к познающему субъекту будет внешним;

- на бесконечное пространство, бесконечный ряд материальных объектов, бесконечный ряд чисел от человека (от единицы) в глубь микрокосма, приписав этим числам отрицательную степенную функцию и назвав предельное число с отрицательной степенной функцией нулем ¾ 0; это пространство по отношению к познающему субъекту будет внутренним..

Западная философия, а с ней и математика вплоть до XIX века взяла на вооружение понятие бесконечности, разработанное Аристотелем. Под бесконечностью Аристотель понимал непрерывно становящуюся потенциальную бесконечность: «Беспредельное  это или то, что невозможно пройти до конца, потому что оно по природе своей не может быть пройдено (подобно тому как голос невидим), или то, прохождение чего не может или едва может быть закончено, или же то, что по природе хотя и допускает прохождение или должно иметь предел, но на деле его не имеет. И кроме того, нечто может быть беспредельным или в отношении прибавления, или в отношении отнятия, или в отношении того или другого вместе. Существовать само по себе отдельно от чувственного воспринимаемого беспредельное не может»[50, т. 1, с. 291]. Аристотель рассматривает существование бесконечного из пяти оснований: из времени, из разделения величин, из возникновения и уничтожения; из предела; из мышления [51, т. 3, с. 111].

Исходя из этих пяти оснований в математике построены следующие потенциальные бесконечности.

- ряд натуральных чисел (1, 2, 3, …, n, …);

- предел числовой последовательности (lim a_n = a)

n ® ¥

- представления о бесконечно малых и бесконечно больших величинах.

- в проективной геометрии в виде «несобственных» бесконечно удалённых геометрических образов.

1.2.1.1.Бесконечно большая потенциальная бесконечность

На основании идей высказанных Аристотелем и развитых Дж. Локком построение и исследование бесконечности как таковой осуществляется нашим мышлением через источники конечных понятий, и значения этих понятий распространяются нами на область недоступную нашему мышлению ¾ на область бесконечного. Построение бесконечности производится, прежде всего, по отношению к ее протяженности, с которой связано представление о числе, пространстве, времени, предмете. Так, к одному числу, метру, секунде, предмету мы прибавляем еще одно число, один метр, одну секунду, один предмет, причем их последовательный синтез никогда не может быть закончен. Этот способ построения бесконечности называется абстракцией потенциальной осуществимости, а сама бесконечность потенциальной бесконечностью (ПБ). Абстракция потенциальной осуществимости предполагает:

- дискретность процессов построения объектов, т. е. то, что процессы разложили на отдельные чётко отличимые друг от друга шаги;

- наличие правил, методов, процедур, операций, по которым производится построение объектов на каждом шагу и осуществляется переход к следующему шагу построения;

- независимость процесса построения от материальных условий его осуществления в рамках осуществимости сколь угодно большого, но всё же конечного числа шагов этого процесса. Построение является бесконечным, не имеющим заключительного шага[52].

Согласно первому пункту потенциальная осуществимость означает неограниченную количественную изменчивость объектов, и представляет собой количественное понятие.

Второй пункт противоречив. Недаром эту бесконечность Б. Спиноза называл мнимой. По закону созерцательного познания множество как целое образуется из его частей. При таком бесконечном восхождении от одного шага к другому нет предела, и на самом деле невозможен ни полный анализ, ни полный синтез этих шагов. Потенциальная бесконечность есть прерывная бесконечность, т. к. составляется из конечных, дискретных величин, причём их количество непрерывно изменяется, и о котором можно сказать, что оно перейдёт все пределы, но нельзя сказать, что оно перешло. Кантор назвал её неопределённой переменной величиной, которая может принимать бесконечно много значений. Следовательно, совершенно немыслимо по законам наблюдения завершить этот процесс в определённое время и получить потенциальную бесконечность. Бесконечное становление объектов совершенно не означает, что мы построили бесконечное количество объектов! Бесконечное становление чисел или объектов есть непрерывно-дискретный переход из одного определённого состояния в другое. Такой переход даёт кажущееся разрешение завершённости бесконечного. На самом же деле это не достижение бесконечности как таковой, а её непрерывно-дискретное порождение. Третий пункт целиком противоречив. Как понять «независимость построения от материальных условий»? Кто осуществляет процесс построения? Если это умственный процесс человека, то построение осуществляется в пространстве мышления считающего субъекта. Сам же субъект зависит от материальных условий своего существования.

Согласно абстракции потенциальной осуществимости в построении числовой бесконечности следует различать два понятия: идею бесконечности чисел или объектов и идею бесконечного числа или бесконечного объекта. Первое понятие очевидное ¾ оно касается построения чисел или объектов. Построение чисел, начинаясь с единицы, увеличивается до бесконечности, тем не менее, какое бы число мы не взяли ¾ оно оказывается конечным. Деление какой-либо величины уходит своими корнями в бесконечность. Но всякая разделяемая величина ограничена и полученное число частей целого конечно. Второе понятие ¾ идея бесконечного числа есть фикция. Даже если мы произведём мысленно полный синтез этих шагов, потенциальная бесконечность начинается с конечной величины с первого члена бесконечного ряда. Бесконечность же в пространстве состоит в том, что нет никакого начала, ни конца в любом пространственном направлении. Исследуя свойства потенциальной бесконечности, Гегель говорит: «Бесконечность бесконечного прогресса остаётся обременённой конечным, как таковым, ограничена им и сама конечна»[23, с. 137]. Эту бесконечность великий философ назвал дурной количественной бесконечностью[23, с. 239].