Лекция 16-17.

9.3. Непараметрический метод для сравнение нескольких групп. Критерий Крускала-Уоллиса.

Для сравнения нескольких выборок ранее мы использовали дисперсионный анализ, который применим только в том случае, когда данные подчиняются нормальному закону распределения. В случае когда это условие не соблюдается необходимо воспользоваться непараметрическим аналогом дисперсионного анализа – а именно критерием Крускала-Уоллиса.

Критерий Крускала-Уоллиса представляет собой обобщение критерия Манна-Уитни. При использовании критерия Крускала-Уоллиса необходимо сначала упорядочить по возрастанию все значения вне зависимости от того, какой выборке они принадлежат. Каждому значению присваивается ранг соответствующий его месту в упорядоченном ряду. Аналогично рассмотренным ранее другим непараметрическим критериям совпадающим значениям присваивают общий ранг, равный среднему тех мест, которые эти величины делят между собой в упорядоченном ряду. Затем вычисляют суммы рангов, относящихся к каждой группе, и для каждой группы определяют средний ранг. При отсутствии межгрупповых различий средние ранги групп должны оказаться близки. Если существует значительное расхождение средних рангов, то гипотезу об отсутствии различий между группами необходимо отвергнуть. Значение критерия Крускала-Уоллиса Н является мерой различия средних рангов.

Рассмотрим пример. Предположим, что у нас имеется всего три группы (для большего числа групп критерий можно обобщить автоматически), для которых известны результаты измерения некоторого признака. Численность групп составляет n₁, n₂ и n₃ соответственно. Объединим значения из разных групп, упорядочим по возрастанию и каждому присвоим ранг. Вычислим сумму рангов для каждой группы – R₁, R₂ и R₃. Найдем средние ранги: , и .

Общее число наблюдений N = n₁+n₂+n₃. Для объединенной группы рангами являются числа 1, 2, ..., N и общая сумма рангов равна

1+2+...+(N-1)+N=

Тогда средний ранг R для объединенной группы равен

Теперь найдем величину D, равную

Величина D зависит от размеров групп. Чтобы получить показатель, отражающий их различия, следует поделить D на N(N + 1)/12. Полученная величина

является значением критерия Крускала-Уоллиса. Суммирование в приведенной формуле производится по всем группам.

Для нахождения H можно было бы просто перечислить все сочетания рангов, как это делалось для критериев Манна-Уитни и Уилкоксона. Однако сделать это практически очень трудно, так как число вариантов слишком велико. К счастью, если группы не слишком малы, распределение Н хорошо приближается распределением ² с числом степеней свободы  = k-1, где k - число групп. Тогда для проверки нулевой гипотезы нужно просто вычислить по имеющимся наблюдениям значение Н и сравнить его с критическим значением ². В случае трех групп приближение с помощью ² пригодно, если численность каждой группы не меньше 5. Для четырех групп – если общее число наблюдений не менее 10. Но если группы совсем малы, не остается ничего, кроме как обратиться к таблице точных значений распределения Крускала-Уоллиса.

Чтобы выяснить, одинаково ли действие нескольких методов воздействия, каждый из которых испытывается на отдельной группе, нужно проделать следующее.

• Объединив все наблюдения, упорядочить их по возрастанию. Совпадающим значениям ранги присваиваются как среднее тех мест, которые делят между собой эти значения. При большом числе совпадающих рангов значение Н следует поделить на

где N - число членов всех групп, _i - как обычно, число рангов в i-й связке, а суммирование производится по всем связкам.

• Вычислить критерий Крускала-Уоллиса Н.

• Сравнить вычисленное значение Н с критическим значением Т для числа степеней свободы, на единицу меньшего числа групп. Если вычисленное значение Н окажется больше критического, различия групп статистически значимы.

9.4. Непараметрическое множественное сравнение

Необходимость в проведении множественного сравнения возникает всякий раз, когда с помощью дисперсионного анализа (или его непараметрического аналога – критерия Крускала-Уоллиса) обнаруживается различие нескольких выборок. В этом случае и требуется установить, в чем состоит это различие. Ранее мы познакомились с параметрическими методами множественного сравнения. Они позволяют сравнить группы попарно и затем объединить их в несколько однородных наборов так, что различия между группами из одного набора статистически незначимы, а между группами из разных наборов – значимы. Кроме того, они позволяют сравнить все группы с контрольной.

Известные нам параметрические методы множественного сравнения легко преобразовать в непараметрические. Когда объемы выборок равны, для множественного сравнения используют нераметрические варианты критериев Ньюмена-Кейлса и Даннета. Когда же объемы выборок различны, применяется критерий Данна. Опишем кратко эти методы.

Начнем с критериев для выборок равного объема. Критерии Ньюмена-Кейлса и Даннета совпадают практически полностью, поскольку критерий Даннета есть просто вариант критерия Ньюмена-Кейлса для сравнения всех выборок с одной контрольной.

Формула для непараметрического варианта критерия Ньюмена-Кейлса:

где R_A и R_B – суммы рангов двух сравниваемых выборок, n – объем каждой выборки, l – интервал сравнения. Вычисленное q сравнивается с критическим значением в табл. критерия Ньюмена-Кейлса для бесконечного числа степеней свободы.

Значение непараметрического критерия Даннета определяется формулой:

где R_кон - сумма рангов контрольной выборки, а остальные величины те же, что в критерии q, а l равно числу всех выборок, включая контрольную. Значение q' сравнивается с критическим значением для бесконечного числа степеней свободы.

Наконец, для сравнения выборок разного объема используется критерий Данна. Впрочем, ничто не мешает применить его и к выборкам одинакового объема. Значение критерия Данна:

где и - средние ранги двух сравниваемых выборок, nA и nB – их объемы, а N – общий объем всех сравниваемых выборок.

Критические значения Q приведены в таблице. «Стягивающее» сравнение проводится как в критерии Ньюмена-Кейлса.

Критерием Данна можно воспользоваться и для сравнения с контрольной выборкой. При этом формула для Q остается прежней, только критические значения находятся уже по другой таблице.

9.5. Повторные измерения. Критерий Фридмана.

Если одна и та же группа больных последовательно подвергается нескольким методам лечения или просто наблюдается в разные моменты времени, применяют дисперсионный анализ повторных измерений. Но чтобы использование дисперсионного анализа было правомерно, данные должны подчиняться нормальному распределению. Если вы в этом не уверены, лучше воспользоваться критерием Фридмана – непараметрическим аналогом дисперсионного анализа повторных измерений.

Логика критерия Фридмана очень проста. Каждый больной ровно один раз подвергается каждому методу лечения (или наб­людается в фиксированные моменты времени). Результаты наблюдений у каждого больного упорядочиваются. Обратите внимание, что если раньше мы упорядочивали группы, то теперь мы отдельно упорядочиваем значения у каждого больного независимо от всех остальных. Таким образом, получается столько упо­рядоченных рядов, сколько больных участвует в исследовании. Далее, для каждого метода лечения (или момента наблюдения) вычислим сумму рангов. Если разброс сумм велик – различия статистически значимы.

Таблица 1.

В табл. 1 описаны результаты испытания 4 методов лечения на 5 больных. В таблице указаны не сами значения, а их ранги среди данных, относящихся к одному больному. Каждая строка, кроме последней, соответствует одному больному. Последняя строка содержит суммы рангов для каждого из методов лечения. Различие сумм невелико; не похоже, чтобы эффективность какого-то метода отличалась от эффективности других.

Теперь обратимся к табл. 2. Различие в эффективности методов выражено предельно четко – упорядочение одинаково для всех больных. Во всех случаях наиболее эффективным оказался первый метод лечения, следующим – третий, за ним четвертый, и наконец, наименее эффективным – второй.

Таблица 2

Перейдем к количественному оформлению наших впечатлений. Критерий Фридмана сходен с критерием Крускала-Уоллиса и вычисляется следующим образом. Сначала рассчитаем среднюю сумму рангов, присвоенных одному методу. (Именно этой величине равнялась бы сумма рангов любого из методов, если бы они были в точности равноэффективны.) Затем вычислим сумму квадратов S отклонений истинных сумм рангов, полученных каждым из методов, от средней суммы.

Разберем это на примере данных из табл. 1 и 2. Для каждого больного средний ранг равен (1 + 2 + 3 + 4)/4 = 2,5. В общем случае при k методах лечения средний ранг равен