PART_1 (Электронные лекции)

1 Методы решения обратных задач при реконструкции изображения

1.1 Введение

Развитие медицинской диагностики, основанной на анализе изображений, имеет долгую историю. Мы остановимся только на методах визуализации изображения, при которых в качестве объекта визуализации выбирается внутренняя структура человеческого тела.

1.1.1 Метод основанный на рентгеновском излучении

8 ноября 1895 года Рентген открыл рентгеновское излучение, которое сразу стало использоваться в медицине. Хочется отметить, что первая публикация датируется 5января 1896г., а через две недели рентгеновское излучение применили на практике — произошла революция в диагностике. Уже 13 января был поставлен первый диагноз с использованием рентгеновского аппарата — у женщины обнаружили иголку в руке и удалили ее. Рентген отказался от своих прав на открытие лучей, т.к. сразу понял, что это очень важно для диагностики. Он сформулировал недостаток метода: невозможно наблюдать каждое сечение отдельно (на изображении все слои накладываются).

Метод, который позволяет получать изображения каждого сечения называется «томография». Этот термин был введен Рентгеном (томос - слой, графио - рисую). Томография — процесс получения изображения внутреннего сечения объекта.

Стали искать схемные решения проблемы повышения диагностической ценности рентгеновских снимков, и в конце 20-х годов появляется классический продольный томограф. В 1972 году произошла вторая революция в диагностике внутренней структуры человеческого тела: появляется компьютерный томограф для головы (СТ-сканер) фирмы EMI. Автором разработки был английский инженер Дж. Хаунсфилд.

Основным недостатком рентгеновского излучения является его вредность (возникновение онкологические заболевания).

В 1958 году впервые советские ученые Коренблюм и Тетельбаум собрали томограф в Киевском политехническом институте и провели опыты.

1.1.2 Метод основанный на   излучение

Появление еще одного метода, получения изображений внутренней структуры, было основано на -излучении радиоактивных препаратов. В 1946 году стали пробовать применять изотопные препараты для диагностики. В 1948 году в Америке получили изображение щитовидной железы. В 1968 году была разработана гамма-камера (камера Энгера), что привело к появлению эмиссионной томографии.

1.1.3 Ультразвуковой метод

Достоинством ультразвука является его относительная безвредность и дешевизна.

1.1.3.1 Метод основанный на ядерном магнитном резонансе

Революционным стало появление магнитно-резонансных томографов, которые основаны на эффекте ядерного магнитного резонанса (ЯМР). В 1973 году Лаутербург разработал способ получения изображения с помощью ЯМР (распределение протонов или воды внутри некоторого объема). Первый ЯМР-томограф появился в 1978году.

1.1.3.2 Метод основанный на оптическом излучении

Ожидается появление оптических томографов. Достоинством метода является его абсолютная безвредность. Перспективными областями метода являются: маммография, диагностика мозга новорожденных и исследование кожных покровов). В настоящее время широко распространены лазерные томографы типа   сканеров.

Задача томографии — получать изображения каждого сечения отдельно.

1.2 Обработка изображений

1.2.1 Понятие изображения

Изображение — это распределение физических величин, которые имеют зрительную смысловую нагрузку.

Математическое определение: изображение — это некоторая многомерная функция 2-х, 3-х, 4-х переменных физических величин, отвечающих определенным свойствам:

1- Ограниченность носителя (не существует бесконечного изображения);

2- Неотрицательность и другие математические свойства.

1.2.2. Виды обработки изображений

1. Коррекция изображения

, например, изменение масштаба, устранение аберраций и т.д.

Коррекция геометрических искажений предполагает изменение по определенным правилам координат функций, не изменяя значений функций в каждой точке.

1. Улучшение визуального качества изображения

, т.е. интерактивное изменение значений функции f(x).

Фактически это ретушь. Существуют комплексы стандартных программ. 1) и 2) в медицине почти не применяются.

1. Восстановление и фильтрация изображений

Если известны внешние искажения, то их можно исправить (наибольшее распространение этот метод получил в технике).

, где А — известные законы преобразования

Если дана функция (x,y)  получаем по известным законам преобразования изображения (убирать ВЧ, НЧ и т.д.). В области улучшения качества изображения здесь достигнуты самые большие успехи. При этом необходимы оценки параметров искажений и использование ее при коррекции изображения.

1. Реконструкция изображений (в частности это и томография)

Изображение всегда формируется системами. Между предметом и изображением существует система формирования изображения, которая может очень сильно искажать предмет. Всегда получаем искаженное изображение (например, при рентгене накладываются слои, значит, снижается ценность изображения), следовательно, необходимо реконструировать объекты, используя изображение. Реконструкция изображения — это извлечение деталей в сильно искаженном изображении при известной априорной информации о процессе формирования изображения и об объекте. Это обратные задачи математической физики, которые подразумевают получение изображения, максимально приближенного к предмету, с учетом свойств системы, формирующей изображение.

1.2.3 Методы формирования изображений

Процесс формирования изображения, как правило, записывают в операторном виде.

Оператор — это преобразование, осуществляющее трансформацию некоторой функции в функцию.

Пусть мы имеем двумерный объект (x,y), его двумерное изображение q(,) и А — оператор, который воздействует на объект, тогда можно записать воздействие некоторого оператора на объект: .

Важно, чтобы оператор был известен. Иногда, оператор бывает сложным, т.е. последовательность действия оператора. Получаем сложное изображение:

В общем случае важен порядок воздействия операторов.

Суть задачи реконструкции: зная А, найти обратный оператор и подействовать на изображение, т.е. получить реконструированный объект: , где — изображение, которое максимально приближено к объекту.

Процесс формирования изображения возможен двух видов:

1. Одноступенчатый метод формирования изображения (рисунок 2.1)

Этот метод часто встречается в повседневной жизни (фотоаппарат, телескоп, микроскоп).

Рисунок 1.1 - Одноступенчатый метод формирования изображения

Как правило, такой процесс формирования изображения описывается оператором в интегральной форме:

где – ядро интегрального оператора (определяется прибором, формирующим изображение или способом формирования изображения). Для оптических систем находится из теории дифракции.

Как правило, в одноступенчатых системах изображение похоже на объект  реконструкция называется достижением сверхразрешения или редукция к идеальному прибору.

1. Двухступенчатый метод формирования изображения

Этот метод используется, когда реальные измерения не являются похожими на изображение, а должны быть трансформированы, чтобы получить вид, похожий на реальный. Широко распространены два метода: томография и голография (процесс реконструкции может происходить обычным светом).

Двухступенчатый метод формирования изображения разберем на примере голографии.

1.2.3.1 Голография

Пусть есть объект и есть промежуточный регистратор — голограмма , представленные на рисунке 2.2. Рассмотрим освещение оптическим излучением.

Рисунок 1.2 – Схема голографии

О
бъект освещает поле Е, Е_об — отраженное поле от объекта.

,

где , – волновое число, h – расстояния, которые пробегает луч.

В процессе записи сна фотопластинке мы регистрируем поле замешанное с Е_оп :

Голограмма не несет смысловой нагрузки. Необходима система, приводящая к формированию изображения. Задача реконструкции изображения из голограммы осуществляется простым освещением света.

Первая ступень: зарегистрировали изображение, но не можем интерпретировать.

Вторая ступень: реконструкция изображения с промежуточного носителя.

  , где

Можно показать:

Реконструированное изображение похоже на голографируемый объект. Двухступенчатый процесс подразумевает разработку оператора реконструктора.

Связь между объектами и изображениями описывается интегральными уравнениями.

1.3 Интегральные уравнения и его свойства

1.3.1 Пространства функций:

, (это почти все функции)

,

все непрерывные функции.

Понятие изображений полностью укладывается в эти пространства.

1.3.2 Свойства оператора:

1. Линейность:

Воздействие двух функций независимо.

1. Ограниченность: , где k  константа .

Не бывает изображений, которое было бы больше объекта по норме, умноженное на константу, т.е. k нельзя усиливать до бесконечности. Физический смысл условия ограниченности означает, что преобразованию изображения с ограниченной энергией соответствует изображение так же с ограниченной энергией.

1. Коммутативность (Коммутация с оператором сдвига)

Введем оператор сдвига, который действует на объект( , где h – константа):

. Коммутативность с А означает, что их можно менять местами:

.

В оптике это свойство носит название изопланотичность.

1.3.3 Формы записи изображения