Teoria_Linal (Теория в ворде по билету и по списку вопросов), страница 3
Описание файла
Документ из архива "Теория в ворде по билету и по списку вопросов", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Teoria_Linal"
Текст 3 страницы из документа "Teoria_Linal"
b(x1+x2,y)=b(x1,y)+b(x2,y);b(x,y1+y2)=b(x,y1)+b(x,y2);
Выберем в ЛП-ве базис В={e1,…,en} -> x= y= ; b(x,y)= b( , )= xiyjb(ei,ej);
b(ei,ej)=Bij; b(x,y)= – координатная запись БФ.
b(x,y)=B11x1y1+B12x1y2+…+Bnnxnyn=(x1,…,xn)Bij(y1,…,yn)=XTBY – матричная забись БФ.
Квадратичной формой наз-тся ф-я f(x), равная БФ-ме, которая комбинирует вектор х с самим собой: f(x)=b(x,x);
матрица КФ является симметричной. f(x,x)= ; f(x,x)=a11x12+a12x1x2+…+annxn2= XTAX;
Т: Если в базисе В матрица КФ – А, а в базисе В’ – А’, то А’=UTAU, где U матрица перехода B->B’.
в В f(x)=XTAX=a, в B’ f(x)=X’TA’X’=a; XTAX=X’TA’X’; при В->B’ X=UX’; X’T(A’)X’=(UX’)TA(UX’)= X’T(UTAU)X’ -> A’=UTAU.
Рангом КФ наз. число, равное рангу её матрицы А в некотором базисе.
Т: Ранг КФ не зависит от выбора базиса.
При переходе В->B’ матрица А’=UTAU; RgA’=RgUT*AU=RgUT(AU)=Rg(AU)=RgA.
КФ называется положительноопределенной, если для вектора х≠0: f(x)>0, и отицательноопределенной, если f(x)<0, в противном случае знаконеопределенной.
Критерий Сильвестра: Если в в базисе В КФ имеет матрицу А, то главными минорами А называют миноры, последовательно окаймляющие a11. 1=а11; 2=[а11,а12,а21,а22];…; n=detA. k>0; f(x)>0: +опр. (-1)kk>0; f(x)<0: -опр.
Если КФ содержит только квадраты переменных, то такой её вид называется каноническим. Базис, в котором КФ принимает канонический вид, называется каноническим. В каноническом базисе матрица КФ имеет диагональный вид.
Т: Для любой КФ в ЛП канонический базис (метод Лагранжа приведения КФ к каноническому виду).
а) f(x): a11≠0, сгруппируем слагаемые с х1 и дополним их до полного квадрата:
f(x)=a11(x12+2x1((a12/a11)x2+(a13/a11)x3+…+(a1n/a11)xn))+ =a11(x1+(a12/a11)x2+(a13/a11)x3+…+(a1n/a11)xn)2-a11((a12/a11)x2+(a13/a11)x3+…+(a1n/a11)xn)2+ =a11(x1+(a12/a11)x2+(a13/a11)x3+…+(a1n/a11)xn)2+ ;
В новой КФ f*(x)= ; аналогично поступим с x2,…,xn; В итоге получим f(x)=a11x1’2+a22*x2’2+…+annxn’2;
x1’=x1+(a12/a11)x2+(a13/a11)x3+…+(a1n/a11)xn;
x2’=x2+(a23*/a22*)x3+(a24*/a22*)x4+…+(a2n*/a22*)xn;
xn’=xn.
Если выразить:
x1=u11x1’+u12x2’+…+u1nxn’;
x2=u21x1’+u22x2’+…+u2nxn’;
xn=un1x1’+un2x2’+…+unnxn’;
то из связи между переменными в старом и новом базисе следует: X=UX’, U – матрица перехода из старого базиса к конаническому;
б) Если а11=0, но есть аii≠0, то переобазначим аii=а11’,хi=х1’ и f(x)=a11’2x1’2+…+ => см. а);
в) Все аii=0, i=1..n, Пусть х1=х1’-х2’; x2=x1’+x2’; xi=xi’,i=3..n; 2a12x1x2=2a12(x1’2-x2’2);
Закон инерции: В любом каноническом виде одной и той же КФ количество слагаемых с положительными коэффициентами и с отрицательными сохраняется.
Т: Любую КФ можно привести к каноническому виду ортогональным преобразованием.
В некотором базисе КФ f(x)= имеет симметрическую матрицу А(aij)nn
1) В ЛП ортонормированный базис, в котором матрице А однозначно определен самосопряженный оператор А
2) Для этого ЛО характеристическое уравнение |A-E|=0 имеет n действ. собственных значений i (считая кратные) и базис из собственных векторов этого ЛО-ра
3) Можно базис из собственных векторов ортонормировать, причем, если i различны, то им соответствуют собственные ортогональные вектора сразу
4)В новом ортонормированном базисе из собственных векторов матрица А -> D=diag(1,…,n) и КФ f(x)=x’TDx=1x1’2+2x2’2+…+nxn’2 – канонический вид.
5)т.к. матрица перехода состовляется из координат ортогональных нормированных векторов, то она является ортогональной В -> D=BTAB.