Teoria_Linal (Теория в ворде по билету и по списку вопросов)

1.Определение линейного пространства (ЛП). Аксиомы и примеры.

Множество элементов называют линейным пространством L, а сами элементы его векторами, если:

1. Определен закон, по которому 2-м векторам x,yL однозначно соответствует 3-ий вектор z, называемый их суммой: x+y=zL;

2. Определен закон, по которому вектору xL ставится в соответствие другой вектор, называемый произведением вектора на число: x =yL;

3. Для этих линейных операций (ЛО) выполняются аксиомы:

а) x+y=y+x;

б) (x+y)+z=x+(y+z);

в)xL0L: x+0=x;

г)xL(-x)L: x+(-x)=0L;

д) 1*x=x;

е)(x+y)= x+y;

ж)x)=(x;

з) x=xx.

Пример: 1) мн-во V₃ является ЛП: xV₃, yV₃, x+y=zV₃, x=z₂V₃, аксиомы совпадают со свойствами ЛО с геометрическими векторам. 2) мн-во C_(a;b) всех функций y=f(x), непрерывных на [a;b] является ЛП: сумма непрерывных функций есть непрерывная функция, произведение непрерывной функции на число есть непрерывная функция.

1 ЛП 0;

2xL  (-x);

3 Если вектор x противоположен вектору (-x), то вектор (-x) противоположен вектору x;

4 векторов а и b относительно x  решение уравнения а+x=b;

5xL x*0=0L;

6 (-x), противоположный вектору x, равен произведению x на число -1: (-x) = (-1)x;

70L *0=0L.

2.Определение линейно зависимых и линейно независимых векторов ЛП. Критерий линейной зависимости (ЛЗ) и его следствия (с док-вом).

Система векторов ЛНЕЗ, если их линейная комбинация (ЛК) обращается в нуль-вектор ТОЛЬКО при всех коэффициентах равных нулю: только при

Система векторов ЛЗ, если их линейная комбинация (ЛК) может обратиться в нуль-вектор при хотя бы одном коэффициенте, отличном от нуля: может при

Критерий ЛЗ системы векторов: Система векторов является ЛЗ титт, когда хотя бы один из векторов можно представить ЛК остальных.

Следствия:

1 Система, содержащая нуль-вектор, является ЛЗ;

2 Система содержащая ЛЗ подсистему является ЛЗ;

3 Любая подсистема ЛНЕЗ системы является ЛНЕЗ.

3.Определение базиса и размерности ЛП. Теорема о единственности разложения вектора по базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису (с выводом). Определение матрицы перехода к новому базису.

Базисом ЛП называется такая упорядоченная система ЛНЕЗ векторов, что  вектор ЛП может быть представлен как их ЛК: {e_i,i=1,n}-базис, если {e_i}-ЛНЕЗ и xL: x=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n; (x₁,x₂,x₃)-координаты вектора x в базисе.

Размерностью ЛП называется количество векторов в его базисе (max кол-во ЛНЕЗ векторов в ЛП).

Т: В ЛП разложение вектора по данному базису единственно.

Пусть в ЛП выбраны два базиса В₁ и В₂;  базисный вектор В₂ можно разложить по базису В₁; E_i’=E_iU_ij;

U_ij - матрица перехода; Пусть в В₁: x=x₁e₁+…+x_ne_n, а в В₂: x=x₁’e₁’+…+x_n’e_n’, тогда E_iX_j=E_i’X_j’ => E_iX_j=E_iU_ijX_j’ => X=UX’;

М. перехода – матрица, элементы которой есть координаты новых базисных в-ов, разложенных по старому В.

4.Подпространства линейного пространства, линейная оболочка (ЛО), примеры. Основное свойство линейной оболочки.

U называется линейным подпространством ЛП-ва V, если U является подмножеством V, и U является ЛП.

Пример: U={a₁,a₂,0| a₁,a₂R}; V={a₁,a₂,a₃| a₁,a₂,a₃R}; (a₁,a₂,0)+ (b₁,b₂,0)=( (a₁+ b₁),(a₂+ b₂),0)U; (a₁,a₂,0)*(a₁,a₂,0) => U-ЛПОДП;

Линейной оболочкой систем векторов называют всевозможные ЛК этих векторов: {₁a₁,…,_na_n,|₁­,…,_nR};

Span{ a₁,…,a_n} является наименьшим ЛПОДП, содержащим вектора a₁,…,a_n.

5.Определение евклидова пространства (ЕП), аксиомы, примеры.

ЛП называется Евклидовым, если задан закон, по которому каждым двум векторам пространства ставится в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением этих векторов: (x,y)=R.

Причем имеют место аксиомы:

1. (x,y)= (y,x);

2. (x+y,z)=(x,z)+(y,z);

3. (x,y)=(x,y);

4. (x,y)≥0, причем (x,x)=0 <=> x=0.

Пример: 1) : x=(x₁,x₂,…,x_n); y=(y₁,y₂,…,y_n); (x,y)=x₁y₁+…+x_ny_n; 2) C[a,b]; f,gC[a,b]; (f,g)= integral((f*g)dx,a<x<b).

6.Норма вектора в ЕП, её свойства. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника

(с выводом).

Нормой вектора x называется число x=(x,x), удовлетворяющее следующим условиям: x≥0, т.к. (x,x)≥0 xV; x=|*x; Неравенство Коши-Буняковского: (x,y)²≤(x,x)*(y,y): При x=0 обе части неравенства равны нулю; Пусть x,y≠0, z=x-y, R; (z,z)=(x-y,x-y)≥0; (x-y,x-y)=(x,x)²-2(x,y)+(y,y)≥0; D≤0: 4(x,y)²-4(x,x)(y,y) ≤0; (x,y)²≤(x,x)(y,y); Неравенство треугольника: x+y≤x+y: Из Нер-ва К-Б (x,y) ≤x*y; x+y²=(x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y)≤x²+2x*y+y²=(x+y)²;x+y≤x+y;

7.Определение отрогональных векторов. Теорема о ЛНЕЗ ортогональной системы ненулевых векторов (с док-вом). Определение ортонормированного базиса. Вычисление скалярного произведения и нормы вектора в ортнорм. базисе. Координаты вектора в ортнорм. базисе. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. Теорема о существовании ортонорм. базиса ЛП (с док-вом).

Вектора ЕП ортогональны, если их скалярное произведение равно 0.

Т: Система попарно ортогональных ненулевых векторов ЛНЕЗ: {e₁…e_n} - Система ортоганальных ненулевых векторов; Пусть a₁e₁+…+a_ne_n=0; умножим на произвольный вектор этой системы e_i: (a₁e₁+…+a_ne_n,e_i)=(0, e_i), (a₁,…,a_n)R; Преобразуем: a₁(e₁,e_i)+…+a_i(e_i,e_i)+…+a_n(e_n,e_i)=0; Все (e_n,e_i) равны нулю, кроме одного, т.е. a_i(e_i,e_i)=0, (e_i,e_i)≠0, a_i=0 т.к. e_i произвольный, то a₁,…,a_n=0 => Система ЛНЕЗ.

Базис называется ортнормированным, если система векторов этого базиса ортогональна и норма каждого вектора равна 1: {e_i, i=1,n}: (e_i,e_j)=[0,i≠j] или [1,i=j].

Пусть в ЕП задан ортонорм. базис: e=(e₁…e_n); x=x₁e₁+…+x_ne_n, y=y₁e₁+…+y_ne_n; x=e , y=e ;

(x,y)=( , )= ; (e_i,e_j) – единичная матрица; (x,y)=x^TEy= x^Ty=x₁y₁+…+x_ny_n;

x=(x,x)=(x₁²+…+x_n²)=( x^Tx); x=x₁e₁+…+x_ne_n => (x,e_i)=x_i, i=1,…,n;

Прцесс ортогонализации Грамма-Шмидта:

g₁=f₁;

g₂=f₂-((f₂,g₁)/g₁²)g₁;

g₃=f₃-((f₃,g₁)/g₁²)g₁-((f₃,g₂)/g₂²)g₂;

g_n=f_n-((f_n,g₁)/g₁²)g₁-…-((f_n,g_n-1)/g_n-1²)g_n-1.

Т: В  конечномерном ЛП ортнорм. Базис: Пусть В={f_i, i=1,…,n} – базис в ЛП, т.е. векторы f_i ЛНЕЗ и ≠0; Проортогонализируем систему векторов и получим: {g_i, i=1,…,n} - ортоганальная система, будет базисом (ЛНЕЗ системой), если g_m≠0, 1≤m≤n; Допустим g_m=0 => 0=f_m-((f_m,g₁)/g₁²)* g₁-…-((f_m,g_m-1)/g_m-1²)* g_m-1;

т.к.g_m-1-ЛК{f_i,i=1,m-1}, то f_m=с₁f₁+c₂f₂+…+c_m-1f_m-1, где ≠0, иначе f_m=0, чего быть не может; подсистема {f₁,f₂,…,f_m} - ЛЗ => сама система {f₁,f₂,…,f_n} – ЛЗ, что противоречит условию, значит g_m≠0 и {g_i, i=1,…,n} – ортонормированный базис.

8.Определение линейного оператора (ЛО), примеры. Теорема о преобразовании координат вектора под действием ЛО (с док-ом). Определение матрицы ЛО в заданном базисе. Теорема о связи между матрицами одного и того же ЛО при переходе к новому базису (с док-вом). Теорема об инвариантности определителя матрицы относительно базиса (с док-вом).

Оператор A, действующий в ЛП, называется линейным, если 1) А(х+у)=А(х)+А(у); 2) А(*х)=*А(х), R.

Т: В n-мерном ЛП-ве с выбранным базисом матрица А: координаты х и его образ у под действием ЛО связаны соотношением: АХ=Y, где X и Y матрицы-столбцы из координат векторов х и у.

Пусть в ЛП выбран базис В={e₁,…,e_n} и задан ЛО: Ах=у; х=х₁е₁+…+х_ne_n, y=y₁e₁+…+y_ne_n; y₁e₁…+y_ne_n= А(х₁е₁+…+х_ne_n); А(х₁е₁+…+х_ne_n)=х₁Ае₁+…+х_nАe_n=x₁e₁’+…+x_ne_n’; каждый образ e_j’ разложим по базису В: e_j’=u_j1e₁+…+u_jne_n, j=1,n; y=x₁(u₁₁e₁+…+u_1ne_n)+…+x_n(u_n1e₁+…+u_nne_n)=(x₁u₁₁+…+x_nu_n1)e₁+…+(x₁u_1n+…+x_nn_nn)e_n; y₁=x₁u₁₁+…+x_nu_n1; y_n=x₁u_1n+…+x_nn_nn; Y=AX; A=u_ij=матрица ЛО-ра в базисе В.

Матрицей ЛО-а в выбранном базисе ЛП наз-ся матрица, элементами столбцов которой являются координаты соответсвующих образов базисных векторов, разложенных по этому базису.

Т: Если в n-мерном ЛП задан ЛО, то его матрицы в 2-х различных базисах связаны так, что A_e=U^-1A_bU, U-м.п. b->e.

Даны х и у, в старом базисе b: x_b,y_b, в новом базисе e: x_e,y_e; в матричной форме y_b=A_bx_b; y_e=A_ey_e; x_b=Ux_e; y_b=Uy_e;

y_e=U^-1y_b=U^-1A_bx_b=(U^-1A_bU)x_e; A_e= U^-1A_bU;

Т: Определитель матрицы ЛО не зависит от выбора базиса.

Пусть ЛО в базисе B₁ имеет матрицу А, а в базисе В₂ матрицу А’, тогда при В₁->В₂ А’=U^-1AU => detА’=det(U^-1AU)=

detU^-1*detA*detU=detU^-1*detU*detA=detE*detA=detA.

9.Действия над линейными операторами и их матрицами.