Teoria_Linal (Теория в ворде по билету и по списку вопросов), страница 2

Пусть в ЛП действуют два ЛО А и В. Отображение ВА: L->L является композицией двух отображений: (ВА)х=В(Ах) – это линейное отображение.

Т: В ЛП действуют ЛО-ы А и В, а А и В – матрицы этих линейных операторов в некотором базисе b, тогда матрицей линейного оператора ВА в том же базисе является матрица ВА: (ВА)х=В(Ах)=В(bАх)= b(В(Ах))=b(BA)x;

Т: Если линейный оператор А имеет обратное отображение А^-1, то это отображение линейно, причём матрица оператора А в некотором базисе b является обратной матрице оператора А^-1 в том же базисе.

 y₁,y₂: y_i=Ax_i, i=1,2; A(x₁+x₂)= Ax₁+Ax₂=y₁y₂; A^-1(y₁+y₂)=x₁x₂=A^-1y₁+A^-1y₂; (A*A^-1)x=b(A*A^-1)x=bx.

(A+B)x=Ax+Bx, xL; (A)x=(Ax), xL; (A+B) и (A) – линейные операторы;

T: Если А и В являются матрицами ЛО-ов А, ВL(L,L) в некотором базисе b, то ,А+В - матрица ЛО-а (А+В);

(A+B)x=Ax+Bx=bАх+bВх=b((А+В)х); (A)x=(Ax)=(bAx)= b((A)x) => (А+В) и (A) – матрицы ЛО-ов (A+B) и (A);

10.Определение собственного значения и собственного вектора ЛО. Характеристический многочлен ЛО. Теорема о необходимом и достаточнм условии того, что некоторое действительное число является собственным значением ЛО (с док-вом). Теорема об инвариантности характеристического многочлена ЛО относительно базиса ЛП (с док-вом). Теорема о линейной независимости собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям (с док-вом). Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения. Теорема об этих кратностях. Теорема о матрице ЛО в базисе из собственных векторов (с док-вом).

Ненелевой вектор х в ЛП называют собственным вектором ЛО-а А:L->L, если для некоторого действительного числа выполняется соотношение Ах=хПри этом число называют собственным значением ЛО-а А.

Характеристическим многочленом ЛО-а A:L->L называют характеристический многочлен его матрицы А, записанной в некотором базисе.

Т: необходимо и достаточно, чтобы  было корнем характеристического уравнения этого оператора. Н: пусть - собственное значение ЛО-а A:L->L, т.е. х≠0: Ах=х; также в ЛП-ве действует тождественный оператор: Ix=x;

Ах=Ix-> (А-I)x=0; в некотором базисе b: (А-Е)x=0, т.к. х≠0, то det(А-Е)=0, т.е.  является корнем хар. уравн. ЛО.

Д:Если  является корнем хар. уравн. ЛО, то в заданном базисе b выполняется равенство det(А-Е)=0 -> матрица однородной СЛАУ вырождена и система имеет ненулевое решение х, это набор координат в базисе b некоторого ненулевого вектора х, т.е. является собственным значением ЛО-ра.

Т: Харак-ский многочлен инвариантен относительно базиса (не зависит от выбора базиса).

Пусть В₁ матрица ЛО-ра – А, а в В₂ – А’, при В₁->В₂ матрица перехода U: A’=U^-1AU, тогда хар-еский многочлен

|А’-Е|=|U^-1AU-U^-1ЕU|=|U^-1(A-Е)U|=detU^-1*det(A-Е)*detU=detE*det(A-Е)=|А-Е|.

Т: Пусть собственные значения ₁,…,_r ЛО-ра A попарно различны. Тогда система соответствующих им собств. векторов e₁,…,e_r линейно независима. Метод математической индукции: Если  1 собств. Значение  и ему соответствует вектор х, то ЛК Сх=0 только при С=0, т.к. х≠0 по определению; Допустим, что утверждение верно для k собств. векторов, соответсвующим k различным собств. значениям, т.е. для различных _i, i=1…k, 2≤k<n;

c₁x₁+…+c_kx_k=0 только при ; Рассмотрим систему х₁,…,х_к,х_к+1, где Ах_к+1=_к+1х_к+1 и _к+1≠_i, i=1..k; составим ЛК векторов этой системы равную нуль-вектору и подействуем на неё ЛО-ом А: с^о₁х₁+…+с^о_кх_к+с^о_к+1х_к+1=0 (а);

А(с^о₁х₁+…+с^о_кх_к+с^о_к+1х_к+1)=А0; с^о₁₁х₁+…+с^о_к_кх_к+с^о_к+1_к+1х_к+1=0 (б); составим комбинацию (б)-_к+1(а):

с^о₁(₁-_к+1)х₁+…+ с^о_к(_к-_к+1)х_к+0=0; т.к. х₁,…,х_к – ЛНЕЗ, все с^о_i(_i-_к+1)=0, i=1..k; т.к. _i≠_к+1, все с^о_i=0, i=1..k; тогда из (а):

с^о_к+1х_к+1=0, т.к. х_к+1≠0 -> с^о_к+1=0 т.е. в (а): ЛК х₁,…,х_к+1 обращается в 0 только при всех с^о_i=0-> Система х₁,…,х_к+1 – ЛНЕЗ.

Т: Матрица ЛО-ра А, действующая в ЛП, в данном базисе является диагональной т.и т.т., когда все векторы этого базиса являются собственными для оператора А. Пусть А – матрица оператора в базисе b={b₁,…,b_n}, j-м столбцом матрицы А является столбец координат вектора Ab_j; Если матрица А диагональная, то j-й столбец имеет вид (0 … 0 _j 0 … 0)^T; Ab_j=b(0 … 0 _j 0 … 0)^T_jb_j -> b_j-собственный вектор, _j-собственное значение. Верно и обратное: Если каждый вектор b_j является собственным для ЛО-ра А и ему отвечает значение _j, то Ab_j_jb_j =b(0 … 0 _j 0 … 0)^T.

11.Определение сопряженного оператора. Теоремы о его матрице в ортонрмированном базисе, о его существовании и единственности (с док-вом). Определение самосопряженного оператора. Теорема о его матрице в ортонормированном базисе (с док-вом). Свойства корней характеристического многочлена сапосопряженного ЛО. Теорема об ортогональности собственных векторов самосопряженного ЛО, соответствующих различным собственным значениям (с док-вом). Свойства собственных значений и собственных векторов самосопряженного ЛО. Теорема о существовании в ЕП базиса из собственных векторов самосопряженного ЛО (с док-вом). Теорема о кратностях собственного значения самосопряженного ЛО.

Оператор A* называется сопряженным по отношению к ЛО-ру А действующему в ЕП, если равны скалярные производные: (А(х),у)=(х,А*(у)).

Т: В ортонормированном базисе матрицы ЛО-а А и ему сопряженный А*, связаны между собой так, что А*=А^Т.

В ЕП в ортонормированном базисе ЛО-ору А соответствует матрица А, оператору А* - А*; (А(х),у)=(х,А*(у)) в базисе: (АХ)^ТY=Х^Т(А*Y)=Х^ТА^ТY=Х^ТА*Y -> А^Т=А*.

Т: Каждый ЛО, действующий в ЕП, имеет сопряженный, причем единственный оператор.

Выберем в ЕП ортонормированный базис; ЛО имеет в нём однозначно определённую матрицу А; Ей соответствует единственная матрица А^Т, которая равна матрице А*, соответствующей другому ЛО-ру, являющемуся сохранённым относительно А; Матрица А* задаёт этот оператор А* единственным образом.

ЛО A, действующий в ЕП, называеся самосопряженным, если: (А(х),у)=(х,А(у)).

Т: ЛО А, действующий в ЕП, является самосопряженным т.и т.т., когда в  ортонормированном базисе ему соответствует симметрическая матрица: А^Т=А.

(А(х),у)=(х,А(у)); в ортонорм. базисе: (АХ)^ТY=Х^Т(АY) ->Х^ТА^ТY=Х^ТАY ->А^Т=А;

в ортонорм. базисе оператору А соответствует матрица А: А^Т=А; вычислим (А(х),у)=(АХ)^ТY=Х^ТА^ТY=(из условия)= Х^ТАY=Х^Т(АY)=(х,А(у)) -> A – самосопряженный.

Т: Собственные векторы самосопряженного ЛО-ра, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Дан самосопряженный ЛО, т.е. (А(х),у)=(х,А(у)), пусть х и у – его собственные векторы такие, что: Ах=х, Ау=у; ≠; (А(х),у)=[(х,у)=(х,у)] или [(х,А(у))=(х,у)=(х,у)] -> (х,у)=(х,у) -> (-)(х,у)=0 -> x и y - ортогональны.

Т:Если в ЕП действует самосопряженный ЛО, то сущ-ет ортонорм. базис из его собственных векторов.

Если А – самосопряженный ЛО, то он имеет n действ. Собственных значений _i (считая кратные):

а) Если все _i разные, то им соответствует n попарно ортогональных собственных векторов; система ортогональных векторов ЛНЕЗ -> эти n собственных векторов образуют ортогональный базис. пронормируем…

б) Если среди _i, i=1..n, есть ^о –корень характеристического уравнения кратности k, то ему соответствует k

ЛНЕЗ-ых собственных векторов, из этих k векторов ортогональны остальным, чьи _i≠^о, но между собой могут быть не ортогональными, в этом случае подсистему из k векторов подвергнем ортогонализации Грамма-Шмидта; построим подсистему k -> Вся система новых собственных векторов – ортогональный базис, пронормируем…

Все собственные значения самосопряженного линеного оператора действительны;

12.Определение ортогональной матрицы и её свойства (с док-вом). Определение ортогонального преобразования пространства. Теорема о его матрице в ортонормированном базисе (с док-вом). Диагонализация симметрической матрицы ортогональным преобразованием.

Квадратная матрица В называется ортогональной, если В^-1=В^Т.

1detB=±1; det(BB^-1)=[detE=1] или [det(BB^T)=detB*detB^T=detB*detB=(detB)²=1];

2Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют ортонормированные системы арифметических векторов;

, ;

Оператор В, действующий в ЕП, называется ортогональным, если (Вх,Ву)=(х,у);

Т: ЛО В является ортогональным т. и т.т., когда в  ортонорм. базисе ему соответствует ортогональная матрица.

(Вх,Ву)=(х,у) -> в ортонорм. базисе: (ВХ)^Т(ВY)=Х^ТY -> X^TB^TBY=X^TY -> X^T(B^TB)Y=X^TEY -> B^TB=E -> B^T=B^-1;

В ортонорм. базисе В: B^T=B^-1; вычислим(Вх,Ву) -> (ВХ)^Т(ВY)=X^TB^TBY=X^T(B^TB)Y= X^T(B^-1B)Y=X^T(EY)=X^TY=(х,у): В ортог-ый.

Матрицу самосопряженного ЛО-ра всегда можно привести к диагональному виду некоторым преобразованием.

А самосопряженный,  ортонормир. базис В из собственных векторов; в базисе В’ матрица ЛО-ра A имеет диагональный вид D=diag(₁,…,_n), где _i - собственное значение ЛО-ра, причем ЛО А имеет n действ. корней; Если в исходном базисе В матрица ЛО-ра А есть А, то D=U^-1AU, где U – матрица перехода В->В’; Переход В->В’ – преобразование пространства.

13.Определение квадратичной формы (билинейной формы). Координатная и матричная запись. Теорема о преобразовании матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису (с док-вом). Ранг квадратичной формы. Теорема о независимости ранга от выбора базиса. Знакоопределенность квадратичной формы. Критерий Сильвестра. Канонический вид квадратичной формы. Метод Лагранжа. Закон инерции квадратичной формы. Теорема о привидении квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием (с док-вом).

Билинейной формой называется функция (закон), которая любой паре векторов х,у ЛП-ва L ставит в соответствие число: b(x,y)=a - число. Причём эта функция сохраняет свойство линейности относительно двух аргументов: