Lin_1 (Теория в ворде по билету и по списку вопросов), страница 3

Билет 17

1) Линейный оператор А из L(V, V) называется самосопряженным, если справедливо равенство А* =А. Самосопряженный оператор в вещественном пространстве определяется аналогично. 
Простейшим примером самосопряженного оператора является тождественный оператор I (см. свойство 1° сопряженных операторов в предыдущем пункте). 
  С помощью самосопряженных операторов можно получить специальное представление произвольных линейных операторов. Именно, справедливо следующее утверждение. Следствие о матрице сопряженного оператора в ортонормированном базисе. Пусть V — пространство со скалярным произведением, P - ортонормированный базис в V , A — линейный оператор в V , имеющий базисе P матрицу A, а A∗ — сопряженный к A оператор в V , имеющий в базисе P матрицу A′. Тогда A′ =A(трансп). свойства собственных значений и собственных векторовЛинейных операторов.

Свойство 1. Характеристическое уравнение и спектр линейного оператора инвариантны относительно выбора базиса, т. е. подобные матрицы имеют одинаковый спектр.

Свойство 2. Собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Свойство 3. Линейный оператор   имеет собственное значение   только в том случае, если он вырожденный, т. е.  , где   – матрица линейного оператора  .

Свойство 4. Самосопряжённый линейный оператор имеет только действительные собственные значения;

Свойство 5. Собственные векторы самосопряжённого линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Свойство 6. Для произвольного самосопряжённого линейного оператора существует ортогональный базис, составленный из собственных векторов.

2) Векторные ФНП.

   Рассмотрим вектор, каждая координата которого является функцией нескольких переменных:  . Такие векторы будем называть вектор – функциями нескольких переменных или ВФНП.

Функции   называются  координатными функциями.

Пусть векторная функция нескольких переменных f: Rn → Rm определена в окрестности точки x = (x1, . . ,xn) и дифференцируема в этой точке. Тогда, согласно следствию 16.1, полное приращение этой функции в точке x в зависимости от приращения ∆x = (∆x1 . . . ∆xn)(трансп) независимых переменных можно представить в виде ∆f(x) = f0(x)∆x + α(∆x)|∆x|, где f0(x) — матрица Якоби функции f(x), а функция α(∆x) является бесконечно малой функцией при ∆x → 0. Как и в случае скалярных функций, можно ввести следующее понятие.

Билет 18

1)  Если каждой паре векторов x, y линейного пространства L поставлено в соответствие действительное число (x, y), так, что для любых x, y и zиз L и любого действительного числа α справедливы следующие аксиомы:

(x, y) = (y, x),

(α·x, y) = α·(x, y),

(x + y, z) =(x, z) + (y, z),

(x, x)> 0 при x ≠ 0, (0, 0) = 0,

то в пространстве L определено скалярное произведение (x, y).

Если в линейном пространстве определено скалярное произведение, то такое пространство называется евклидовым пространством.

Система векторов   линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

        Доказательство.     Пусть система векторов линейно зависима. Тогда существует такой набор коэффициентов   , что   , причем хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Предположим, что   . Тогда

то есть   является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Пусть один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов. Предположим, что это вектор   , то есть   . Очевидно, что   . Получили, что линейная комбинация векторов системы равна нулю, причем один из коэффициентов отличен от нуля (равен   ). 

Ортонормированная система, состоящая из n векторов n-мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.

Если e₁, e₂, ..., e_n — ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства и

x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n — разложение вектора x по этому базису, то координаты x_i вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам x_i =(x, e_i), i = 1, 2, ..., n.

2 )

Билет 19

1)Ортонормированная система, состоящая из n векторов n-мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.

Если e₁, e₂, ..., e_n — ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства и

x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n — разложение вектора x по этому базису, то координаты x_i вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам x_i =(x, e_i), i = 1, 2, ..., n.

Предположим, что некоторая ортогональная система линейно зависима. Тогда существует нетривиальная линейная комбинация

Умножая скалярно обе части этого равенства на (для фиксированного ), получим (в силу ортогональности системы) ,

или:

Так как все векторы системы ненулевые, то . В силу произвольности выбора отсюда следует, что все коэффициенты указанной выше линейной комбинации равны нулю, что противоречит предположению об ее нетривиальности

2) Функцию f: Rn → R, определенную в некоторой окрестности точки x, называют дифференцируемой в точке x, если ее полное приращение в окрестности этой точки можно представить в виде ∆f(x) = a1∆x1 + a2∆x2 + . . . + an∆xn + α(∆x)|∆x|, где коэффициенты a1, a2, . . . , an не зависят от приращений ∆x, а функция α(∆x) является бесконечно малой при ∆x → 0.

Функцию f называют дифференцируемой в области X ⊂ Rn, если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Пусть функция   зависит от переменной   и дифференцируема в точке  . Может оказаться, что в точке  дифференциал  , рассматриваемый как функция от  , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала   данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции  . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

Билет 20

1) Ненулевой вектор x в линейном пространстве L называют собствен-

ным вектором линейного оператора A: L → L, если для некоторого действительного

числа λ выполняется соотношение Ax = λx. При этом число λ называют собственным

значением (собственным числом) линейного оператора A.

2) Неявные ФНП.

Рассмотрим уравнение F(u, x₁,…, x_n) = 0. Будем считать, что по смыслу задачи u есть функция от переменных x_i : u = u(x₁,…,x_n). В этом случае говорят, что u задана неявно.

Теорема 1 (О существовании и дифференцируемости неявной функции). Пусть функция u задана уравнением F(u, x) = 0 и функция F(u, x) удовлетворяет следующим условиям:

1. F (u, x) дифференцируема в окрестности т. М₀(u₀, x⁰).

2. дифференцируема в окрестности т. М₀ .

3. F (u₀, x⁰) = 0.

Тогда для любого достаточно малого ε > 0 найдется δ > 0 , такое, что в определена

единственная дифференцируемая функция u = f(x) , удовлетворяющая условию

{без доказательства}

Для вычисления частных производных рассмотрим уравнение F(u, x, y) = 0. Пусть

u = u(x, y) – решение этого уравнения. Продифференцируем тождество

по х : Отсюда получаем (для у аналогично) :