Lin_1 (Теория в ворде по билету и по списку вопросов)

Билет 1

Модуль1.1.Вещественное линейное пространство L называется вещественным евклидовым пространством, если в нем определена операция скалярного умножения векторов, сопоставляющая любой паре векторов вещественное число, называемое скалярным произведением a на b и обозначаемое (a,b), так, что выполняются следующие тождества:

(a,b)=(b,a) (коммутативность)

(a,b +c)=(a,b)+(a,c) (дистрибутивность)

(ka,b)=k(a,b) (для любого вещественного k);

(a,a)>=0, причем только тогда, когда a=0

2.Ортонормированная система, состоящая из n векторов n-мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства(т.е ортонормированный базис). Если e₁, e₂, ..., e_n — ортонормированный базис n-мерного еп и

x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n — разложение вектора x по этому базису, то координаты x_i вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам x_i =(x, e_i), i = 1, 2, ..., n.

Модуль 2.1. Рассмотрим уравнение F(u, x₁,…, x_n) = 0. Будем считать, что по смыслу задачи u есть функция от переменных x_i : u = u(x₁,…,x_n). В этом случае говорят, что u задана неявно.

Теорема 1 (О существовании и дифференцируемости неявной функции). Пусть функция u задана уравнением F(u, x) = 0 и функция F(u, x) удовлетворяет следующим условиям:

1. F (u, x) дифференцируема в окрестности т. М₀(u₀, x⁰).

2. дифференцируема в окрестности т. М₀ .

3. F (u₀, x⁰) = 0.

Тогда для любого достаточно малого ε > 0 найдется δ > 0 , такое, что в определена

единственная дифференцируемая функция u = f(x) , удовлетворяющая условию

Для вычисления частных производных рассмотрим уравнение F(u, x, y) = 0. Пусть

u = u(x, y) – решение этого уравнения. Продифференцируем тождество

по х : Отсюда получаем (для у аналогично) :

Билет 2

Модуль 1.1. Подмножество S линейного пространства L называется подпространством пространства L, если вместе с любыми двумя векторами оно содержит их сумму, а вместе с любым вектором - результат умножения его на любое число. Примеры. 1) В пространстве V⁽³⁾ всех геометрических векторов подмножество всех векторов, параллельных некоторой плоскости, будет подпространством, а подмножество всех векторов, концы которых лежат на некоторой плоскости, не будет подпространством.

Линейной оболочкой системы векторов

a₁…a_n некоторого линейного пространства L называется множество всех линейных комбинаций векторов системы. Примеры. 1) В пространстве геометрических векторов возьмем систему векторов, состоящую из некоторых двух ненулевых и неколлинеарных векторов u,v. Тогда (для произвольных вещественных λ и μ).

Основное свойство: Свойство: Ранг системы векторов равен размерности ее линейной оболочки.

Модуль 1.2. Функция u = F(x) называется дифференцируемой в т. х, если ее приращение может быть представлено в следующем виде: где A_i = A_i(x) и не зависит от Δх, а − бесконечно малая при

Модуль 2.

Функци u = F(x) называется дифференцируемой в т. х , если ее приращение может быть представлено в следующем виде: где A_i = A_i(x) и не зависит от Δх, а − бесконечно малая при

Билет 3

Модуль 1.1 Оператор линейного пространства в линейное пространство называется линейным, если:

1. для любых двух векторов

;

1. для любого вещественного и любого вектора

Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f , A = {a_ij}= {A(e_j )_i}:

Матрицы А(b) и B(e) линейного оператора A: L->L1 записанные в базисах b и е линейного пространства L1 связаны соотношением А = (С^-1)*А*С

Модуль 2.1 Главная и линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом:

Дифференциал от первого дифференциала функции называется вторым дифференциалом: Аналогично определяются дифференциалы более старших порядков.

Вывод: Вычислим второй дифференциал функции двух переменных . При этом будем считать, что дифференциалы независимых переменных dx и dy – величины постоянные (т.е. не зависят от т.(х,у) и не меняются при вычислении каждого последующего дифференциала).

Не трудно видеть, что второй дифференциал представляет собой квадратичную форму от

переменных dx и dy. Матрица этой квадратичной формы есть матрица Гессе, т.е.

d²z = (dx,dy)Г(dx,dy)^T Кроме того,

второй дифференциал можно записать в символическом виде:

Дифференциал m – го порядка равен

Если для функции f(x1, x2, . . . , xn) в точке x существуют все частные производные второго

порядка, то из них можно составить квадратную матрицу порядка n

Билет 4

Модуль 1.1. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если существует такое вещественное число, что . Число называется при этом собственным числом, или собственным значением оператора . Каждому собственному значению λ матрицы (линейного оператора) сопоставляют его крат-

ность, полагая ее равной кратности корня λ характеристического уравнения этой матрицы. Если ранг совпадает с размерностью.

Модуль 2.1 Плоскость, проходящая через т. М₀ , называется касательной плоскостью к поверхности S в т.М₀ , если угол между ней и секущей (М₀М₁) ( ) стремится к нулю при .

Уравнения касательной плоскости найдем в предположении, что в пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz и выполнены следующие четыре условия.

1◦.Поверхность S задана уравнением F(x, y, z) = 0.

2◦. Известны координаты a, b, c точки M ∈ S.

3◦. Функция F(x, y, z) дифференцируема в точке М .

4◦. Градиент функции F(x, y, z) в точке M отличен от нуля, т.е. grad F(a, b, c) не равен 0.

F’x(a, b, c)(x − a) + F’y(a, b, c)(y − b) + F’z(a, b, c)(z − c) = 0.

Билет 5

Модуль 1.1.Выражение называется квадратичной формой от переменных.

Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов)

Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденных линейных заменах переменных и равен:

а) числу отличных от нуля коэффициентов в любом ее каноническом виде;

б) количеству ненулевых собственных значений матрицы квадратичной формы (с учетом их кратности).

В различных канонических видах данной квадратичной формы остается неизменным не только количество ненулевых коэффициентов, но и количество положительных и соответственно отрицательных коэффициентов. Объединяя это с доказанной теоремой, получаем следующее утверждение, называемое законом инерции.

Модуль 2.1 Рассматривается функция и единичный вектор . Проводится прямая l через т.М₀ с направляющим вектором

Производная функции u = u(x, y, z) по переменной t называется производной по направлению l

Градиент- это вектор направленный в сторону максимального возрастания функции.

Формула для вычисления производной по направлению

, где φ − угол между направляющим вектором прямой и градиентом функции в данной точке

Свойства:

1. Градиент ортогонален касательной плоскости к поверхности уровня в данной точке.

2. Градиент направлен в сторону максимального роста (изменения) функции в т.М₀ .

{Этот максимум достигается при φ = 0, т.е. при }

1. Величина наибольшей скорости роста функции равна .

Билет 6

1)

Множество L элементов x, y, z, ... любой природы называют линейным пространством, если выполнены три условия:

1) задано сложение элементов L, т.е. закон, по которому любым элементам x, y ∈ L ставится в соответствие элемент z ∈ L, называемый суммой элементов x и y и обозначаемый z = x + y;

2) задано умножение элемента на число, т.е. закон, по которому любому элементу x ∈ L и любому числу λ ∈ R ставится в соответствие элемент z ∈ L, называемый произведением элемента x на (действительное) число и обозначаемый z = λx;

3) указанные законы (линейные операции) подчиняются следующим аксиомам линейного пространства:

а) сложение коммутативно: x + y = y + x;

б) сложение ассоциативно: (x + y) + z = x + (y + z);

в) существует такой элемент 0 ∈ L, что x + 0 = x для любого x ∈ L;

г) для каждого элемента x множества L существует такой элемент (−x) ∈ L, что x + (−x) = 0;

д) произведение любого элемента x из L на единицу равно этому элементу: 1·x = x;

е) умножение на число ассоциативно: λ(µx) = (λµ)x;

ж) умножение на число и сложение связаны законом дистрибутивности по числам: (λ+µ)x = λx + µx;

з) умножение на число и сложение связаны законом дистрибутивности по элементам: λ(x + y) = λx + λy

Пример 1.1. Приведем примеры линейных пространств:

1) множество V 3 (V 2 ) всех свободных векторов в пространстве (на плоскости) с линейными операциями над векторами — линейное пространство, так как верны все аксиомы линейного пространства;

2) множество всех геометрических векторов в пространстве с началом в данной точке и параллельных данной плоскости (рис. 1.1) с линейными операциями над векторами является линейным пространством;

3) множество M mn (R) матриц типа m×n, элементами которых являются действительные числа, с линейными операциями над матрицами также удовлетворяет всем аксиомам линейного пространства;

4) множество матриц-строк (матриц-столбцов) длины (высоты) n является линейным пространством относительно матричных операций сложения и умножения на число (это частный случай предыдущего примера);

5) множество K n [x] многочленов переменного x степени, не превышающей n, которые как функции можно складывать и умножать на действительные числа;

Определение Базисом линейного пространства L называют любую упорядоченную систему векторов, для которой выполнены два условия:

1) эта система векторов линейно независима;

2) каждый вектор в линейном пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы.

2)

Определение ФНП дифференцируемой в точке

Сложная ФНП

Теорема о дифференцируемости сложной ФНП

Билет 7

1)

2)

Определение производной по направлению

Определение градиента ФНП

Билет 8

1)

Теорема о независимости ранга КФ от выбора базиса

Закон инерции

2)

Определение векторной ФНП

Матрица Якоби ВФНП

Производная сложной ВФНП в матричном виде