Lin_1 (Теория в ворде по билету и по списку вопросов), страница 2

Билет 9

1)

Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду ортогональными преобразованиями:

2)

Экстремум ФНП

Необходимое условие экстремума ФНП

Достаточное условие экстремума ФНП

Билет 10

1)

Определение Базисом линейного пространства L называют любую упорядоченную систему векторов, для которой выполнены два условия:

1) эта система векторов линейно независима;

2) каждый вектор в линейном пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы.

Преобразование координат вектора при переходе к новому базису

2)

Определение частной производной ФНП

Частные производные высших порядков

Теор о независимости ЧП от порядка дифференцирования

Билет 11

1.1 Собственные векторы и собственные числа линейного оператора.

Опр. Ненулевой вектор x в линейном пространстве L называют собственным вектором линейного оператора A: L → L, если для некоторого действительного числа λ выполняется соотношение Ax = λx. При этом число λ называют собственным значением (собственным числом) линейного оператора A.

Теорема Пусть собственные значения λ1, ..., λr линейного оператора A попарно различны. Тогда система соответствующих им собственных векторов e1, ..., er линейно независима.

Док-во: Пусть утверждение верно при r = m, т.е. для произвольной системы из m собственных век- торов e1, ..., em. Добавим к системе векторов еще один собственный вектор em+1, отвечающий собственному значению λm+1, и докажем, что расширенная таким способом система векторов останется линейно независимой. Рассмотрим произвольную линейную комбинацию полученной системы собственных векторов и предположим, что она равна нулевому вектору:

α1e1 + ... + αmem + αm+1*em+1 = 0.

применим линейный оператор A:

α1Ae1 + ... + αmAem + αm+1Aem+1 = 0

Учтем, что векторы e1, ..., em+1 являются собственными:

α1λ1e1 + ... + αmλmem + αm+1λm+1em+1 = 0.

α1(λ1 − λm+1)e1 + ... + αm(λm − λm+1)em = 0.

Вспоминая, что система векторов e1, ..., em, по предположению, линейно независима, делаем вывод, что у полученной линейной комбинации все коэффициенты равны нулю:

αk (λk − λm+1) = 0, k = 1, m. (4.9)

Поскольку все собственные значения λi попарно различны => α1 = α2 = ... = αm = 0. Значит соотношение можно записать в виде αm+1*em+1 = 0, а так как вектор em+1 ненулевой (как собственный вектор), то αm+1 = 0. Когда все коэффициенты αi, i = 1, m+1, равны нулю. Доказали, что система векторов e1, ..., em, em+1 ЛНЕЗ.

Теорема: Матрица линейного оператора A, действующего в линейном пространстве, в данном базисе является диагональной тогда и только тогда, когда все векторы этого базиса являются собственными для оператора A.

2.1

Функцией многих переменных (функцией нескольких переменных) отображение вида f: A → Rm, где A ⊂ Rn, n > 1. Если m = 1, т.е. значением отображения является действительное число (скалярная величина), отображение называют скалярной функцией нескольких переменных. Если же m > 1, то указанное отображение называют векторной функцией нескольких переменных (или векторной функцией векторного аргумента).

Опр-ия:

Графиком векторной функции нескольких переменных f: Rn → → Rm называют подмножество Γ(f) в Rn+m = Rn ×Rm, которое задается следующим образом:

Γ(f) = {(x, y) ∈ Rn+m: x ∈ D(f), y = f(x)}.

Это определение обобщает понятие графика скалярной функции нескольких переменных, в то же время являясь частным случаем общего определения графика отображения f: X → Y произвольного множества X в множество Y.

Пусть заданы векторная функция нескольких переменных f: Rn → Rm, множество A ⊂ D(f) и предельная точка a множества A. Точку b ∈ Rm называют пределом функции f в точке a по множеству A, если для любой ε-окрестности U(b,ε) точки b существует такая проколотая δ-окрестность ◦U(a,δ) точки a, что f(x) ∈ U(b,ε) при x ∈ ◦U(a,δ) ∩ A, В этом случае, как и в скалярном, записывают b = lim x→ A a f(x), или f(x) → b при x→ A a.

Говорят, что векторная функция нескольких переменных f: A ⊂ Rn → Rm непрерывна в точке a ∈ A, если для любой окрестности U(f(a),ε) точки f(a) ∈ Rm существует такая окрестность U(a,δ) точки a, что для любой точки x ∈ U(a,δ) ∩ A верно включение f(x) ∈ U(f(a),ε) (или, короче, fU(a,δ) ∩ A ⊂ ⊂ U(f(a),ε)).

Билет 12

1.1

Опр. Отображение A: L → L' из линейного пространства L в линейное пространство L’ называют линейным отображением или линейным оператором, если выполнены следующие условия:

а) A (x + y) = A(x) + A(y) для любых векторов x, y ∈ L; б) A(λx) = λA(x) для любого вектора x ∈ L и любого числа λ ∈ R.

Опр. Матрицу A = (a1 ... an), составленную из координатных столбцов векторов Ab1, ..., Abn в базисе b = (b1 ... bn) называют матрицей линейного оператора A в базисе b.

Матрица линейного оператора A: L → L является квадратной, ее порядок совпадает с размерностью линейного пространства L.

Опр. Ненулевой вектор x в линейном пространстве L называют собственным вектором линейного оператора A: L → L, если для некоторого действительного числа λ выполняется соотношение Ax = λx. При этом число λ называют собственным значением (собственным числом) линейного оператора A.

Утверждение Один и тот же собственный вектор не может принадлежать одновременно двум разным собственным числам.

Док-во. Пусть , но . Тогда , откуда, так как , в противоречии с допущением.

2.1

Опр. Функцию f: Rn → R, определенную в некоторой окрестности точки x, называют дифференцируемой в точке x, если ее полное приращение в окрестности этой точки можно представить в виде

∆f(x) = a1∆x1 + a2∆x2 + ... + an∆xn + α(∆x)|∆x|, где коэффициенты a1, a2, ..., an не зависят от приращений ∆x, а функция α(∆x) является бесконечно малой при ∆x → 0.

Опр. Линейную относительно ∆x часть полного приращения функции f(x), дифференцируемой в точке x, т.е. выражение

f0 x1(x)∆x1 + f0 x2(x)∆x2 + ... + f0 xn(x)∆xn, называют (полным) дифференциалом функции f и обозначают через df(x). Дифференциалы независимых переменных xi, i = 1, n, как и для функции одного переменного, по определению равны приращениям этих переменных: dxi = ∆xi. С учетом этого дифференциал функции f можно записать в виде

df(x) = f ’ x1(x)dx1 + f ' x2(x)dx2 + ... +

f 'xn(x)dxn. Для полного приращения дифференцируемой функции нескольких переменных имеем равенство

∆f(x) = df(x) + α(∆x)|∆x|,

где α(∆x) → 0 при ∆x → 0. Слагаемые f 'xi dxi в правой части равенства называют частными дифференциалами функции f(x) в точке x. Каждое слагаемое f ' xi dxi представляет собой линейную часть частного приращения ∆if(x) функции f(x) в данной точке.

Билет 13

1.1

Пусть E — евклидово пространство.

Опр. Линейный оператор A∗: E → E называют сопряженным к линейному оператору A: E → E, если для любых векторов x, y ∈ E верно равенство (Ax, y) = (x, A∗y).

Теорема Любому линейному оператору A: E → E соответствует единственный сопряженный оператор A∗, причем его матрицей в любом ортонормированном базисе e является матрица Aт, транспонированная матрице A линейного оператора A в том же базисе e.

Док-во: фиксированный базис евклидова пространства E позволяет установить взаимно однозначное соответствие между линейными операторами из L(E,E) и матрицами из Mn(R), n = dimE. Это соответствие заключается в сопоставлении линейному оператору его матрицы в фиксированном базисе. Докажем, что линейный оператор B с матрицей B = Aт в базисе e является сопряженным к линейному оператору A. Для этого достаточно проверить выполнение равенства

(Ax, y) = (x, By) (*)

для любой пары векторов x, y ∈ E. Пусть x, y — столбцы координат векторов x, y в базисе e. Тогда вектор Ax имеет столбец координат Ax, а левая часть равенства равна (Ax)т(трансп.)*y, что следует из ортонормированности базиса. Аналогично правая часть этого равенства имеет вид x т(трансп.) (By).

(Ax) т y = x т(By). (***)

Так как (Ax)т = xтAт , то равенство (***) эквивалентно равенству:

x т A т y = x т By, (**)

которое при B = Aт превращается в тождество. Если некоторый линейный оператор B является сопряженным к линейному оператору A, то для любых векторов x и y выполняется равенство(*). Значит, для матриц A и B этих операторов равенство (**) выполняется для любых столбцов x и y. B = Aт. Поэтому линейный оператор B определен однозначно, так как однозначно определена его матрица.

2.1

Если функция f: Rn → Rm в точке a ∈ Rn имеет частные производные по всем независимым переменным x1, x2, ..., xn, то из этих производных (а точнее, из частных производных координатных функций f1(x), f2(x), ..., fm(x) векторной функции f(x)) можно составить матрицу ∂fi(a) /∂xj типа m × n, где i соответствует номеру строки матрицы, а j — номеру столбца. Эту матрицу называют матрицей Якоби функции f в точке a и обозначают

f0(x) =∂f(a)/∂x=

(∂f1(a)/∂x1 ∂f1(a)/∂x2...∂f1(a)/∂xn )

=(∂f2(a)/∂x1 ∂f2(a)/∂x2... ∂f2(a)/∂xn )

(. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . )

(∂fm(x)/∂x1 ∂fm(x)/∂x2 ... ∂fm(x)/∂xn)

Определитель квадратной матрицы Якоби называют якобианом.

Теорема 16.4. Если функция нескольких переменных f: Rn → Rm дифференцируема в точке a, а функция нескольких переменных g: Rm → Rk дифференцируема в точке b = f(a), b ∈ Rm, то в некоторой окрестности точки a определена сложная функция g ◦ f: Rn → Rk, причем эта функция дифференцируема в точке a и выполнено равенство

(g ◦ f)0(a) = g0(b)f0(a). (16.9)

Док-во Пусть функция g определена в окрестности U(b,σ) точки b. Так как функция f дифференцируема в точке a, она определена в некоторой окрестности этой точки и является непрерывной функцией в точке a. Значит, согласно определению непрерывности, существует такая окрестность U(a,δ) из области определения функции f, для которой f(U(a,δ)) ⊂ U(b,σ). В окрестности U(a,δ) определена сложная функция g ◦ f. Пусть x — произвольная точка в U(a,δ) и y = f(x), z = g(y). Обозначим ∆x = x − a, ∆y = y − b, ∆z = z − c, где c = g(b). В силу дифференцируемости функции f в точке a имеем представление ∆y = f0(a)∆x + α(∆x)|∆x|, (16.10)

где α(∆x) → 0 при ∆x → 0. В силу дифференцируемости g в точке b имеем аналогичное представление ∆z = g0(b)∆y + β(∆y)|∆y|, (16.11) где β(∆y) → 0 при ∆y → 0. Подставив (16.10) в (16.11), получим

∆(g◦f)(a)=∆z =g’(b)f'(a)∆x+α(∆x)|∆x|)+β(∆y)|∆y|=g'(b)f'(a)∆x+γ(∆x)|∆x|, (16.12)

где

γ(∆x) = g'(b)α(∆x) + β(∆f(a)) f'(a)ν(∆x) + α(∆x) ,

и ν(∆x) = ∆x |∆x|

. Функция β(∆y) бесконечно малая при ∆y → 0, причем на представление (16.11) не влияет значение этой функции при ∆y = 0. Поэтому можно считать, что β(0) = 0 и что функция β(∆y) непрерывна при ∆y = 0. Но тогда функция β(∆f(a)) непрерывна при ∆x = 0 как композиция непрерывных функций и, следовательно, является бесконечно малой при ∆x → 0. Функция ν(∆x) является ограниченной: |ν(∆x)| = 1. Следовательно, функция

β(∆f(a)) f0(a)ν(∆x) + α(∆x)

является бесконечно малой, так как представляет собой произведение бесконечно малой функции β(∆f(a)) на ограниченную функцию f0(a)ν(∆x) + α(∆x) . В результате заключаем, что γ(∆x) → 0 при ∆x → 0. Согласно определению 16.2, представление (16.12) означает, что функция g ◦ f дифференцируема в точке a. При этом произведение g0(b)f0(a) двух матриц Якоби является, согласно (16.12), матрицей Якоби сложной функции g ◦ f, т.е. имеет место равенство (16.9).

Если все главные миноры матрицы   отличны от нуля, то квадратичная форма   приводится к каноническому виду известному как формула Якоби:

«треугольной» заменой переменных  , где матрица   появляется в результате приведения матрицы   к треугольному виду по методу Гаусса.

Билет 14

1.1

Опр. Отображение A: L → L' из линейного пространства L в линейное пространство L’ называют линейным отображением или линейным оператором, если выполнены следующие условия:

а) A (x + y) = A(x) + A(y) для любых векторов x, y ∈ L; б) A(λx) = λA(x) для любого вектора x ∈ L и любого числа λ ∈ R.

Опр. Матрицу A = (a1 ... an), составленную из координатных столбцов векторов Ab1, ..., Abn в базисе b = (b1 ... bn) называют матрицей линейного оператора A в базисе b.

Матрица линейного оператора A: L → L является квадратной, ее порядок совпадает с размерностью линейного пространства L.

Теорема Пусть A: L → L — линейный оператор. Тогда столбец y координат вектора y = Ax в данном базисе b линейного пространства L равен произведению Ax матрицы A оператора A в базисе b на столбец x координат вектора x в том же базисе: y = Ax.

Док-во:

Выберем произвольный вектор x = x1b1 + ... + xnbn. Его образом будет вектор

y = Ax = A(x1b1 + ... + xnbn) = x1(Ab1) + ... + xn(Abn) = = x1(a11b1 + ... + an1bn) + ... + xn(a1nb1 + ... + annbn) = = (a11x1 + ... + a1nxn)b1 + ... + (an1x1 + ... + annxn)bn. Столбец координат вектора Ax в базисе b имеет вид

(a11x1 + ... + a1nxn . . . an1x1 + ... + annxn)=

(a11 ... a1n

. . . . . . .

an1 ... ann)*

*(x1

.

.

.

Xn)=

= Ax.

2.1

Опр.

Пусть функция нескольких переменных f: Rn → R определена в некоторой окрестности точки a = (a1, ..., an) ∈ Rn. Тогда в некоторой окрестности точки a1 ∈ R определена функция одного переменного ϕ1(x1) = f(x1,a2,...,an), которая получается из функции f(x) при фик- сированных значениях всех аргументов, кроме первого. Производную ϕ0(a1) функции ϕ(x1) в точке a1 ∈ R называют частной производной функции нескольких переменных f в точке a по переменному x1.

Пусть функция двух переменных f(x,y) определена в некоторой окрестности точки a = = (a1, a2) ∈ R2. Графиком этой функции в пространстве является поверхность, которая в прямоугольной системе координат Oxyz описывается уравнением z = f(x,y). Обозначим ли- нию пересечения этой поверхности с плоскостью y = a2 через γ. Выберем на этой кривой точки P(a1, a2, f(a1,a2)) и Q(a1 + ∆x, a2, f(a1 + ∆x,a2)), а затем через эти точки проведем прямую L. Пусть при стремлении точки Q по кривой γ к точке P прямая займет некоторое предельное положение. Соответствующую этому положению прямую называют касательной к кривой γ в точке P

Билет 15

1.1

Опр. Функцию, заданную на линейном пространстве L, которая каждому вектору x ∈ L ставит в соответствие действительное число ||x||, называют нормой, если она удовлетворяет следующим аксиомам нормы: а) ||x|| > 0, причем равенство ||x|| = 0 возможно только при x = 0;

б) ||λx|| = |λ|||x||, λ ∈ R;

в) ||x + y|| <= ||x|| + ||y|| (неравенство треугольника).

Теорема. Для любых векторов x, y евклидова пространства E справедливо неравенство Коши — Буняковского (x, y)2 <= (x, x)(y, y).

Док-во: При x = 0 обе части неравенства (2.3) равны нулю согласно свойству 2.3, значит, неравенство выполняется. Отбрасывая этот очевидный случай, будем считать, что x <= 0. Для любого действительного числа λ, в силу аксиомы г), выполняется неравенство (λx − y, λx − y) > 0. (2.4) Преобразуем левую часть неравенства, используя аксиомы и свойства скалярного умножения:

(λx − y, λx − y) = λ(x, λx − y) − (y, λx − y) = λ2 (x, x) − 2λ(x, y) + (y, y).

Мы получили квадратный трехчлен относительно параметра λ (коэффициент (x, x) при λ2 согласно аксиоме г) ненулевой, так как x <= 0), неотрицательный при всех действительных значениях параметра. Следовательно, его дискриминант равен нулю или отрицательный, т.е. (x, y)2 − (x, x)(y, y) <= 0.

Неравенство треугольника:

воспользуемся неравенством Коши — Буняковского (2.3), которое можно записать в виде (x, y)<= sqrt(x, x) sqrt(y, y)

или, с учетом (||x|| = sqrt(x, x)),

(x, y) <= ||x|| ||y||. Используя это неравенство, получаем ||x + y||^2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) <= (x, x) + 2||x|| ||y|| + (y, y) = (||x|| + ||y||)^2 .

2.1

Опр. Отображение, которое упорядоченному набору из n чисел ставит в соответствие число, т.е. отображение вида f: A → R, где A ⊂ Rn, n > 1, называют функцией нескольких переменных.

Опр. Множество D(f) = A точек из Rn, в которых определена функция f: A ⊂ Rn → R, называют областью определения (существования) функции f, а множество R(f) = {y ∈ R: y = f(x), x ∈ D(f)} — областью значений (изменения) функции f.

Пусть задана функция нескольких переменных f: Rn → R. Множество {x ∈ Rn: f(x) = c}, где c ∈ R фиксированное, называют поверхностью уровня, соответствующей значению c. Поверхность уровня функции нескольких переменных f — это множество всех точек из области определения функции, в которых она принимает данное значение c, т.е. прообраз f−1(c) элемента c ∈ Rm при отображении f.

Опр. при n = 2 будем называть множество f−1(c) линией уровня и поверхностью уровня во всех остальных случаях.

Опр. Пусть функция нескольких переменных f: Rn → R в точке x имеет все частные производные первого порядка. Вектор

gradf(x) =( f ’ x1(x), ..., f ‘ xn(x)),

составленный из частных производных первого порядка функции f(x) в точке x, называют градиентом функции f в точке x.

Билет 16

1) Матрица (квадратная порядка ) называется матрицей перехода от базиса к базису . Каждый ее столбец есть столбец координат соответствующего вектора нового базиса в старом базисе. Столбцы матрицы линейно независимы, тем самым ее ранг равен , и матрица является невырожденной. Тогда для разложения вектора в новом базисе получим:

Отсюда по теореме о единственности разложения вектора по базису

Так как матрица не вырождена, то

Если - матрица перехода от базиса к базису , то обратная матрица является матрицей перехода от базиса к базису .

Если - матрица перехода от базиса к базису , а - матрица перехода от базиса к базису , то - матрица перехода от базиса к базису .

Докво Пусть векторы базисов и заданы своими координатами в некотором базисе (который сам может быть явно и не определен). Требуется найти матрицу перехода от к . Составляем матрицы перехода от к и от к (по столбцам координат векторов базисов и ). Пусть это будут матрицы и соответственно. Тогда используя утверждение получим

2) Рассмотрим поверхность S: z = f(x,y), дифференцируемую в т. S.

Определение 1. Плоскость, проходящая через т. М₀ , называется касательной плоскостью к поверхности S в т.М₀ , если угол между ней и секущей (М₀М₁) ( ) стремится к нулю при .

Определение 2. Вектор, ортогональный к касательной плоскости в т.М₀ , называется нормальным вектором к поверхности в этой точке. Нормалью к поверхности называется

прямая, проходящая через т.М₀ перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.

Обозначим , . Вектор приращения:

Из условия дифференцируемости функции z следует, что

Рассмотрим плоскость и угол φ между секущей и этой плоскостью: при Отсюда сразу следует, что плоскость П – касательная к поверхности в т.М₀. В результате имеем:

Функция z = f(x,y), дифференцируемая в некоторой точке (х₀,у₀) имеет в соответствующей т.М₀ касательную плоскость: и нормальный вектор