2 модуль готовое (Вся теория для 1 курса в ворде !!), страница 3

вопрос 33

Для того, чтобы функция, дифференцируемая в точке , имела локальный экстремум необходимо, чтобы производная в этой точке была равна 0. Доказательство: следует из теоремы Ферма. Дано: точка – точка локального экстремума. Доказать: . Согласно определению локального экстремума, функция принимает в либо максимальное, либо минимальное значение по теореме Ферма производная в точке равна 0. Т. Ферма: Пусть y=f(x) определена на (a;b) и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке функция имеет производную, то эта производная равна нулю. Доказательство: (Для наибольшего значения). Пусть так как функция дифференцируема в . ; ; Т.к. .

Точка x₀ называется точкой локального максимума функции f(x), если существует такая окрестность этой точки, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство: f(x) f(x₀) .

Точка x₀ называется точкой локального минимума функции f(x), если существует такая окрестность этой точки, что для всех x из этой окрестности  f(x) f(x₀).

Локальный экстремум:

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой δ-окрестности точки x0, где δ>0.

 Говорят, что функция f(x) имеет локальный максимум в точке x0, 

если для всех точек x≠x0, принадлежащих

окрестности (x0−δ,x0+δ), выполняется неравенство f(x)≤f(x0).

Если для всех точек x≠x0 из некоторой окрестности точки x0 выполняется

строгое неравенствоf(x)<f(x0),

то точка x0 является точкой строгого локального максимума. 

Аналогично определяется локальный минимум функции f(x).

 В этом случае для всех точек x≠x0 из δ-окрестности (x0−δ,x0+δ) точки x0

 справедливо неравенство f(x)≥f(x0).

Соответственно, строгий локальный минимум

 описывается строгим неравенством f(x)>f(x0).

по 1 производной

по 2 производной

вопрос 34

Говорят, что график функции выпуклый вверх (resp. вниз) на промежутке Х, если он расположен не выше (не ниже) любой касательной к графику на промежутке Х

(Достаточное условие выпуклости).

Если функция (x) имеет на промежутке Х вторую производную и (x)  0 ( resp. x0) на , то график

функции имеет на выпуклость, направленную вниз (вверх).

Док-во: Рассмотрим случай (x)  0 для  x 

пусть т. с – произвольная точка, принадлежащая Х. Требуется доказать график функции х лежит не ниже касательной , проходящей через т. М(с;  (с)).

Уравнение касательной Т : =ссх-с 

Разложим функцию у=х в окрестности т. с по формуле Тейлора с n=1:

Вычитая (A) из (B) имеем: y-Y =

Т.к. на Х, то правая часть последнего равенства больше или равно 0, следовательно y Y для  x , что и доказывает, что график функции лежит не иниже касательной Т всюду на промежутке Х Аналогично рассматриваем случай x0. Q. e. D.

вопрос 35

Точка  М(Х₀;F(X₀))называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки  , в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости.

Определение.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х.

Определение.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.

необходимое условие точек перегиба

достаточное условие точек перегиба

теорема (первое достаточное условие наличия точки перегиба). пусть функция

вопрос 36

Асимптота графика:

Вертикальные асимптоты.

 Прямая x = aявляется вертикальной асимптотой графика функции f(x),

если выполняется хотя бы одно из условий:

 или  .

Горизонтальные асимптоты. Если

Наклонная асимптота.

Для того, чтобы кривая y = f(x) имела

асимптоту y = kx + b, необходимо и достаточно,

чтобы существовали конечные пределы