вопрос 24

Понятие и геометрический смысл дифференциала

Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.

Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).

Это записывается так: или или же

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента) на величину   (см. рисунок).

Дифференциал функции   в точке   имеет вид:

где   — дифференциал тождественного отображения  :

Пусть теперь   Тогда  , и согласно цепному правилу:

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Инвариантность формы первого дифференциала

В том случае, когда   и   являются независимыми аргументами функции  , была установлена следующая форма ее дифференциала:

В случае, если   зависим от   и   сложным образом, т. е. через посредство некоторых функций   и   или  , то частные производные, входящие в выражение (9), будут выражаться по формулам (2):

,

.

При этом оказывается, что форма дифференциала (9) не изменится, если мы его выразим только через   и   и их дифференциалы, т. к. имеет место теорема об инвариантности формы первого дифференциала функции многих переменных:

Теорема. Дифференциал функции   сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли ее аргументы   и  Независимыми переменными или функциями от независимых переменных.

Доказательство. В случае независимых переменных   и   по теореме 2 п. 2.3:

.

Если же   и  , то, подставляя   и   из (2) в (9) после группировки выражений, содержащих   и  , получим

И так как здесь в скобках стоят полные дифференциалы от   и  , то окончательно получим

.

вопрос 25

Предположим, что функциональная зависимость y от x не задана непосредственно y=f(x), а через промежуточную величину — t. Тогда формулы

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Пусть функция y=y(x) задана в параметрической форме, то есть в виде:

где функции  x=x(t) и  y=y(x) определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра  . Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:

Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что  , получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически:

Для нахождения второй производной   выполним следующие преобразования:

Логарифмическая произво́дная — производная от натурального логарифма функции.

Часто применяется для упрощения нахождения производной некоторых функции, например сложно-показательных.

вопрос 26

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак,

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))',   n ϵ N,   f⁽⁰⁾(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf(x) = d(d^n-1f(x)),   d⁰f(x) = f(x),   n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const   и   d²x = d³x = ... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула

dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ.

Производные n-го порядка от основных элементарных функций

Справедливы формулы

вопрос 27

Теормема Ролля Если вещественная функция, непрерывная на отрезке   и дифференцируемая на интервале  , принимает на концах отрезка   одинаковые значения, то на интервале   найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

геом смысл Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

док-во

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.

теорема логранджа  Пусть функция     дифференцируема в открытом промежутке     и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка   , что

д-во Рассмотрим вспомогательную функцию

Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке   , а на его концах принимает одинаковые значения:

Тогда     удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка   , в которой производная функции     равна нулю:

 КОШИ Теорема. Пусть функции     и     непрерывны в замкнутом промежутке   ; дифференцируемы в открытом промежутке   ;     в открытом промежутке   . Тогда существует такая точка   , что

      Доказательство. Заметим, что   . В противном случае – согласно теореме Ролля – производная     обратилась бы в нуль в некоторой точке   . 
      Рассмотрим вспомогательную функцию

которая удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, в частности, принимает одинаковые значения на концах промежутка   :

Тогда существует точка   , в которой

что и требовалось доказать. 

вопрос 28

(лист)

вопрос 29

Сравните рост показательной, степенной и логарифмической функций на бесконечности. [Л. 13]

Показательная а^х при а > 1 растёт быстрее степенной x^a, степенная быстрее логарифмической любой степени log_a^bx.

вопрос 30

Теорема Тейлора.

Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности конечной точки a производные до порядка (n+1) включительно, x – любое значение аргумента из указанной окрестности (x<>a) тогда между точками a и x найдется точка  такая, что (5)

многочлен Тейлора функции f(x)

Формула (5) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: ; , формула Тейлора с центром в точке a.

если функция ограничена в окрестности точки a, то остаточный член формулы Тейлора есть БМ более высокого малости, чем (x-a)ⁿ при xa

т.о. ; (при x  a) (6). Ч.т.д.

Остаточный член (6) называется остаточным членом в форме Пеано, а формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано называется локальной формулы Тейлора.

вопрос 31 переписать

вопрос 32

Теорема 1.Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b) неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией в этом интервале.
   Доказательство. Возьмем x₁ < x₂ из интервала (a, b). Для функции f(x) на интервале [x₁ , x₂] выполнены все условия теоремы Лагранжа. Поэтому f(x₂ ) - f(x₁ ) = (x₂ - x₁ )f '(x₀ ), где x₀ лежит в интервале (x₁ , x₂), а следовательно, и в интервале (a, b). По условию f '(x₀ )  0 и x₂ > x₁, следовательно, f(x₂ ) - f(x₁ )  0, или f(x₂ )  f(x₁ ) при x₂ > x₁ , что и требовалось доказать.
   Аналогично доказывается и другая теорема.
   Теорема 2. Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в этом интервале. Аналогично теорема справедлива и в отношении убывающих функций. Надо только в условиях теоремы неотрицательность производной заменить на неположительность.

Сформулируйте и докажите достаточное условие возрастания дифференцируемой функции. [Л. 15]

Аналогично теорема справедлива и в отношении убывающих функций. Надо только в условиях теоремы неотрицательность производной заменить на неположительность.