2 модуль готовое (Вся теория для 1 курса в ворде !!)
Описание файла
Документ из архива "Вся теория для 1 курса в ворде !!", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "2 модуль готовое"
Текст из документа "2 модуль готовое"
вопрос 19
Определение производной функции в точке.
Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b), и - точки этого промежутка. Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается .
Когда последний предел принимает конкретное конечное значение, то говорят о существовании конечной производной в точке. Если предел бесконечен, то говорят, что производная бесконечна в данной точке. Если же предел не существует, то ипроизводная функции в этой точке не существует.
Функцию f(x) называют дифференцируемой в точке , когда она имеет в ней конечную производную.
Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка (a; b), то функцию называют дифференцируемой на этом промежутке. Таким образом, любой точке x из промежутка (a; b) можно поставить в соответствие значение производной функции в этой точке , то есть, мы имеем возможность определить новую функцию , которую называют производной функции f(x) на интервале (a; b).
Касательной к графику функции y=f(x) в точке называют прямую, проходящую через точку , с отрезком которой практически сливается график функции при значениях х сколь угодно близких к формула.
Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке имеет вид .
Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:
Вывод ур-я касательной. Пусть прямая задана уравнением:
1) 2) 3) 4) 5)
уравнение касательной к графику функции
вопрос 20
Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке).
Теорема о связи дифференцируемости функции с существованием конечной производной Теорема 6.1. Для того чтобы функция y=f(x) имела в произвольной точке x0 конечную производную, необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируема в этой точке.
Докажем необходимость. Предположим, что функция y=f(x) имеет в точке x0 конечную производную, т.е. = (x0). Это значит, что при ∆x→0 → (x0), или [ ─ (x0)] →0. Обозначим эту разность через : = ─ (x0).
Тогда = (x0) + , ∆y = (x0) ∆ x + ∆ x, где →0 при ∆ x→0, т.е. = 0. Обозначим (x0) через A. Тогда ∆y = A ∆ x + ∆ x. Докажем, что ∆ x есть o(∆x). Действительно, .
Итак, ∆y = A ∆ x + o(∆x), т.е. функция y=f(x) дифференцируема в точке x0.
Докажем достаточность. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x0. Тогда в этой точке ∆y = A ∆ x + o(∆x), = A + .
(x0) = = A + = A + 0 = A, т.е. функция y=f(x) имеет в точке x0 конечную производную, равную A.
Таким образом, мы доказали, что если функция имеет в некоторой точке конечную производную, то она и дифференцируема в этой точке, и наоборот, если она дифференцируема, то она имеет конечную производную. Поэтому мы имеем право отождествить понятие дифференцируемости функции в данной точке с понятием существования у функции в данной точке производной.
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.
Докажем теорему, устанавливающую связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.
Теорема 7.1. Если функция y=f(x) дифференцируема в произвольной точке x0, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в произвольной точке x0, т.е. имеет в этой точке производную (x0). Запишем приращение функции ∆y точке x0:
∆y = (x0) ∆ x + ∆ x, где →0 при ∆ x→0 (см. доказательство теоремы 6.1).
Пусть теперь ∆ x→0. Тогда, очевидно, и ∆y→0. Но это и означает, что функция y=f(x) непрерывна в точке x0. Теорема доказана.
Утверждение, обратное этой теореме, неверно: из непрерывности функции в данной точке не вытекает её дифференцируемость в этой точке. Существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не имеющие в этой точке производной. Примером такой функции служит функция
y= =
(см. рис.4).
Эта функция непрерывна в точке x = 0, но не дифференцируема в ней. Действительно, приращение этой функции в точке x = 0 есть
∆y = f(0+∆ x) ─ f(0) = f(∆ x) = ,
= = ,
т.е. в любой сколь угодно малой окрестности значения отношение принимает два различных значения: 1 и ─1. Это означает, что предел не существует, т.е. функция y= не имеет производной в точке x = 0, а, следовательно, график функции не имеет касательной в точке O(0;0) (поскольку угловой коэффициент касательной должен быть равен производной, но производной не существует).
вопрос 21
Основные правила дифференцирования
просто формулки производных
Вывод формул для вычисления производных суммы, произведения, частного. (тетрадь)
вопрос 22
Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x0 производную и принимает в этой точке значение u0 = u(x0), а функция y= f(u) имеет в точке u0 производную y 'u= f '(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x0 тоже имеет производную, которая равна y 'x= f '(u0)·u '(x0), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).
Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.
Доказательство. При фиксированном значении х0 будем иметь u0=u(x0), у0=f(u0). Для нового значения аргумента x0+Δx:
Δu= u(x0 + Δx) – u(x0), Δy=f(u0+Δu) – f(u0).
Т.к. u – дифференцируема в точке x0, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.
По условию . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)
,
где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.
Перепишем это равенство в виде:
Δy= y 'uΔu+α·Δu.
Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx
.
По условию . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y 'x= y 'u·u 'x . Теорема доказана.
Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной.
Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y 'x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.
По доказанному правилу имеем y 'x= y 'u·u 'x . Применяя эту же теорему для u 'x получаем , т.е.
y 'x = y 'x· u 'v· v 'x = f 'u (u)·u 'v (v)·v 'x (x).
вопрос 23
Теорема (о дифференцируемости обратной функции)
Если непрерывна и строго монотонна на и если (обратное к ) дифференцируемо в точке , причём
Доказательство:
По теореме об обратной функции функция имеет обратную , , – строго монотонна и непрерывна.