2 модуль готовое (Вся теория для 1 курса в ворде !!)

2017-07-19СтудИзба

Описание файла

Документ из архива "Вся теория для 1 курса в ворде !!", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "математический анализ" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "2 модуль готовое"

Текст из документа "2 модуль готовое"

вопрос 19

Определение производной функции в точке.

Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b)  и   - точки этого промежутка. Производной функции f(x) в точке   называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при  . Обозначается  .

Когда последний предел принимает конкретное конечное значение, то говорят о существовании конечной производной в точке. Если предел бесконечен, то говорят, что производная бесконечна в данной точке. Если же предел не существует, то ипроизводная функции в этой точке не существует.

Функцию f(x) называют дифференцируемой в точке  , когда она имеет в ней конечную производную.

Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка (a; b), то функцию называют дифференцируемой на этом промежутке. Таким образом, любой точке x из промежутка (a; b) можно поставить в соответствие значение производной функции в этой точке  , то есть, мы имеем возможность определить новую функцию  , которую называют производной функции f(x) на интервале (a; b).

Касательной к графику функции y=f(x) в точке называют прямую, проходящую через точку , с отрезком которой практически сливается график функции при значениях х сколь угодно близких к формула.

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке   имеет вид  .

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:

Вывод ур-я касательной. Пусть прямая задана уравнением:

1) 2) 3) 4) 5)

уравнение касательной к графику функции



















































вопрос 20

Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке).

Теорема о связи дифференцируемости функции с существованием конечной производной Теорема 6.1. Для того чтобы функция y=f(x) имела в произвольной точке x0 конечную производную, необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируема в этой точке.

Докажем необходимость. Предположим, что функция y=f(x) имеет в точке x0 конечную производную, т.е.   =  (x0). Это значит, что при ∆x→0  (x0), или [ (x0)] →0. Обозначим эту разность через   =  (x0).

Тогда    = (x0) + , ∆y = (x0) ∆ x + ∆ x, где  →0 при ∆ x→0, т.е.   = 0. Обозначим  (x0) через A. Тогда ∆y = A ∆ x +  ∆ x. Докажем, что  ∆ x есть o(∆x). Действительно,   .

Итак, ∆y = A ∆ x + o(∆x), т.е. функция y=f(x) дифференцируема в точке x0.

Докажем достаточность. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x0. Тогда в этой точке  ∆y = A ∆ x + o(∆x),    = A +  .

(x0) =   = A +   = A + 0 = A, т.е. функция y=f(x) имеет в точке x0 конечную производную, равную A.

Таким образом, мы доказали, что если функция имеет в некоторой точке конечную производную, то она и дифференцируема в этой точке, и наоборот, если она дифференцируема, то она имеет конечную производную. Поэтому мы имеем право отождествить понятие дифференцируемости функции в данной точке с понятием существования у функции в данной точке производной.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

Докажем теорему, устанавливающую связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

Теорема 7.1. Если функция y=f(x) дифференцируема в произвольной точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в произвольной точке x0, т.е. имеет в этой точке производную  (x0). Запишем приращение функции ∆y точке x0:

∆y = (x0) ∆ x + ∆ x, где  →0 при ∆ x→0 (см. доказательство теоремы 6.1).

Пусть теперь ∆ x→0. Тогда, очевидно, и ∆y→0.  Но это и означает, что функция y=f(x) непрерывна в точке x0. Теорема доказана.

Утверждение, обратное этой теореме, неверно: из непрерывности функции в данной точке не вытекает её дифференцируемость в этой точке. Существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не имеющие в этой точке производной. Примером такой функции служит функция

 y= =

(см. рис.4).

 

Эта функция непрерывна в точке x = 0, но не дифференцируема в ней. Действительно, приращение этой функции в точке x = 0 есть

 ∆y = f(0+∆ x) ─ f(0) = f(∆ x) =  ,

   = = ,

т.е. в любой сколь угодно малой окрестности значения    отношение   принимает два различных значения: 1 и ─1.  Это означает, что предел   не существует, т.е. функция y=  не имеет производной в точке x = 0, а, следовательно, график функции не имеет касательной в точке O(0;0) (поскольку угловой коэффициент касательной должен быть равен производной, но производной не существует).



вопрос 21

Основные правила дифференцирования

просто формулки производных

Вывод формул для вычисления производных суммы, произведения, частного. (тетрадь)



























вопрос 22

Теорема. Если функция uu(x) имеет в некоторой точке x0 производную   и принимает в этой точке значение u0 = u(x0), а функция y= f(u) имеет в точке u0 производную y 'uf '(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x0 тоже имеет производную, которая равна y 'xf '(u0u '(x0), где вместо u должно быть подставлено выражение uu(x).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Доказательство. При фиксированном значении х0 будем иметь u0=u(x0), у0=f(u0). Для нового значения аргумента x0x:

Δuu(x0 + Δx) – u(x0), Δy=f(u0u) – f(u0).

Т.к. u – дифференцируема в точке x0, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.

По условию  . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)

,

где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.

Перепишем это равенство в виде:

Δy= y 'uΔu+α·Δu.

Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx

.

По условию  . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y 'xy 'u·u 'x . Теорема доказана.

Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной.

Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y 'x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем y 'xy 'u·u 'x . Применяя эту же теорему для u 'x получаем  , т.е.

y 'x = y 'x· u 'v· v 'x = f 'u (uu 'v (vv 'x (x).













вопрос 23

Теорема (о дифференцируемости обратной функции)

Если   непрерывна и строго монотонна на   и если   (обратное к  ) дифференцируемо в точке  , причём 

Доказательство:



По теореме об обратной функции функция   имеет обратную   – строго монотонна и непрерывна.







Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5057
Авторов
на СтудИзбе
456
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее