Лекции, которые начинаются с двойного интеграла

1. Двойной интеграл и его приложения

о пр. Пусть D – обл. на плоскости f:D→R. Разобьем D на более мелкие области D₁, D₂, … D_n, не имеющие общих внутренних точек. В каждой D_k (k=1, …, n) выбираем произвольную точку P_k(x_k, y_k) (k=1, …, n) и составляем сумму , где - площадь области D_k. Это интегральная сумма функции f, соответствующая разбиению D на более мелкие области и выбору точек P_k (k=1, …, n). diamD_k = supS(M’,M’’), M’, M’’ D_k. d = diamD_k – диаметр разбиения D на D₁, D₂, … D_n. Если существует , не зависящий от способа разбиения D на более мелкие области D₁, D₂, … D_n и от выбора точек P_k в них, тоэто значение редела есть двойной интеграл от ф-ии f по области D: теор. пусть D – замкнутая обл. на плоскости, функция f непрерывна в D. Тогда существует. Свойства двойного интеграла: 1. 2. 3. Если D=D₁ U D₂, где D₁ и D₂ не имеют общих внутренних точек, то Приложения двойного интеграла: 1. =S(D) – площадь области D 2. Если f(x,y) 0, то =V(G) – объем цилиндрического тела, G={(x,y,z) R³| 0 z f(x,y), (x,y) D} 3. Если в D, то - масса пластинки D плотностью 4. Статические моменты пластинки относительно осей O_x и O_y: M_x = , M_y = 5. Координаты центра масс пластинки x_c = M_y / M, y_c = M_x / M 6. Момент инерции пластинки D отн-но осей координат и начала координат , ,

2. Сведение двойного интеграла к повторному

о пр. Область D={ }, где и - непрерывные функции на [a,b], называется стандартной отн-но оси O_y

опр. Область D={ }, где и - непрерывные функции на [c,d], называется стандартной отн-но оси O_x.

Если D стандартна отн-но оси O_x и O_y, то D - стандартная область.

т еор. Если D={ } стандартна отн-но оси O_y, то -повторный интеграл

Если D={ } - стандартна отн-но оси O_x, то . Если D – стандартная область, то = - изменение порядка интегрирования.

3. Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным и обобщенным полярным координатам

Перейдем к новым координатам (u,v), связь между старыми и новыми координатами x=x(u,v), y=y(u,v). Если отображение, задаваемое этими формулами явл. непрерывно дифференцируемым взаимнооднозначным отображением и якобиан этого отображения в области D*, то

Переход к полярным корд-там:

Переход к обобщенным полярным корд-там:

4. Тройной интеграл и его приложения. Вычисление тройного интеграла

- ограниченная замкнутая область в трехмерном пространстве. опр.: Разобьем G на более мелкие области G₁, …, G_n, не имеющие общих внутренних точек: - диам. разбиения G на G₁, …, G_n. В каждой области G_k выбираем произвольную точку P_k(x_k, y_k, z_k) и составляем интегральную сумму , где - объем области G_k (k=1, …, n). Если существует и не зависит от разбиения G на более мелкие подобласти и от выбора точек P_k (k=1, …, n) в них, то f интегрируема по области G и - тройной интеграл от ф-ии f по области G. теор.: Если G – ограниченная замкнутая область в R³ и ф-я f непрерывна в G, то сущ-ет Свойства тр. интеграла: 1. 2. для 3. Если G=G₁UG₂, где G₁ иG₂ не имеют общих внутренних точек, то Приложения тр. ин-ла: 1. =V(G) – объем области G 2. Если -плотность в-ва, находящегося в обл. G, то масса тела G - 3. Статические моменты тела G от-но корд. плоскостей xOy, xOz, yOz: , , 4. Корд-ты центра масс тела G: x_c=M_yz / m, y_c = M_xz / m, z_c = M_xy / m, где m - масса тела G 5. Моменты инерции тела отн-но корд плоскостей и начала корд-т: , , , I_x = I_xy + I_xz, I_y = I_xy + I_yz , I_z = I_xz + I_yz , I₀ = I_xy + I_xz + I_yz Вычисление тр. инт-ла: Если G явл. стандартной обл-тью отн-но оси O_z, т.е. , то Аналогично вычисляется для G, стандартной отн-но O_x и O_y

5. Замена переменных в тройном интеграле. Переход к цилиндрическим, сферическим и обобщенным сферическим координатам

Перейдем к новым координатам (u,v,w). Связь между старыми и новыми x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w). Если отображение G* на G, задаваемое этими формулами, явл. взаимно однозначным непрерывно дифференцируемым отображением с якобианом в G*, то

П ереход к цилиндрическим координатам:

где G* - запись области G в цилиндрических координатах.

Переход к сферическим координатам:

Связь декартвоых и сферических корд-т:

где G* - запись обл. G в сфер. корд. Переход к обобщенным сферическим:

6. Криволинейный интеграл первого рода и его основные свойства. Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Пусть L – непрерывная кривая на плоскости. Ф-я . Разделим L на более мелкие части – кривые L₁,…,L_n, , не имеющие общих внутренних точек. На каждой дуге L_k выберем произвольную точку и составим интегральную сумму , где - длина L_k. Пусть . Если сущ-ет , не зависщий от способа деления L на более мелкие части и от выбора точек P_k в них, то он называется криволинейным интегралом первого рода от ф-ии f по кривой L и обозначается Свойства: 1) Значение интеграла не зависит от того, в каком направлении проходят кривую L (т.е. не зависит от ориентации кривой L) 2) 3)

4) Если , где и - непрерывные кривые, не имеющие общих внутренних точек, то теор.: Если ф-я f непрерывнана кривой L, то сущ-ет. Приложения: 1) - длина кривой L; 2)Если - плотность кривой, то ее масса ; 3) Статические моменты инерции отн. осей Ox и Oy: , , координаты центра тяжести: x_c=S_y/m, y_c=S_x/m; 4) Моменты инерции отн. осей Ox и Oy и начала корд-т: ,

Вычисление: 1) L задана параметрически , тогда ;

2) L задана ур-ем , тогда ;

3) L задана в полярных координатах , тогда

Аналогично определяется криволинейный инт-л первого рода в случае пространственной кривой L. Обозначается . Если L задана параметрически , то

7. Ориентация кривой

К ривая L, на ней задана ориентация, если указаны начало и конец этой кривой. У кривой может быть две ориентации: либо - противоположная ориентация.

Ориентацию кривой можно задать также непрерывным полем единичных векторов - (L, ) либо (L, - ) – противоположная ориентация.

8. Криволинейный интегралы второго рода, их осн. свойства. Вычисление криволинейных интегралов второго рода.

- область в трехмерном пространстве. В G задано векторное поле , если в каждой точке G задан вектор, что эквивалентно тому, что в G заданы функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), задающие коорд-ты вектора в точке (x,y,z) G. Т.о. . Пусть в области задано векторное поле и ориентирована кривая L, ориентация которая задана неперывным полем единичных касательных векторов . Криволинейный интеграл 2-го рода - . Свойства: 1. Интеграл зависит от ориентации кривой 2.

3. 4. Если L=L₁UL₂, где L₁ L₂ не имеют общих внутренних точек и их ориентации согласованы, то

Физический смысл: Если - сила, то - работа силы F вдоль кривой L. Вычисление: Пусть L имеет параметризацию x=x(t), y=y(t), z=z(t); t , согласованную с ориентацией L, т.е. , , тогда

9. Формула Грина

т еор.: Пусть L – непрерывно дифференцируемая замкнутая положительно ориентированная кривая на плоскости, функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывно дифференцируемы в обл. D, границей которой явл. L, тогда

10. Поверхностный интегралы первого рода и их осн. свойства. Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода.

Пусть - поверхность в трехмерном пространстве. Функция . разобьем произвольно S на более мелкие части S₁, S₂, …, S_n, , причем S_i и S_j не имеют общих внутренних точек. В каждой S_k выберем произвольную точку и составим интегральную сумму . Пусть =max . Если и существует и зависит от способа деления S на более мелкие части S₁, S₂, …, S_n и выбора точек M_k в них, то он называется поверхностным интегралом 1-го роа от функции f поверхности S и обозначается теор.: Если f непрерывна на S то существует. Свойства: 1. 2. 3. Если S=S₁US₂, где S₁ и S₂ не имеют общих внутр. точк, то Вычисление: Если пов-ть S задана уравнением , то . Если f=1 на S, то - площадь поверхности S

11. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия

опр.: Дифференциальное Ур-е вида y’=f(x,y) или F(x,y,y’)=0, где x – независимая переменная, y=y(x), а y’ – ее производная по переменной x, называется дифференциальным уравнением первого порядка. опр.: Решением (частным решением) дифф. ур-я первого порядка на (a,b) называется ф-я y=φ(x), при подстановке которой вместе с ее производной в дифф. ур-е, получается тождество, выполняемое на всей (a,b). Ур-е Ф(x,y)=0, неявно задающее это решение, наз-ся интегралом (частным интегралом) дифф. ур-я первого порядка. опр.: Ф-я y= φ(x,C) наз-ся общим решением дифф. ур-я первого порядка, если 1) при каждом допустимом значении параметра С эта ф-я явл. частным решением этого дифф. ур-я; 2) каждое частное решение можно записать в виде y= φ(x,C₀) при некотором значении параметра С=С₀. Ур-е Ф(x,y,C)=0, неявно задающее общее решение дифф. ур-я первого порядка, наз-ся общим интегралом этого дифф. ур-я.