Лекции, которые начинаются с двойного интеграла, страница 3

теор.: - числовой ряд с положит. членами и . Тогда: 1) q<1 – ряд сх-ся; 2) q>1 – ряд сх-ся; 3) q=0 – требуется дополнит. исследование. док-во: 1) q<1. Возьмем , тогда , т.е. и т.д. Получаем, что . Рассм. ряд - сх-ся, отсюда по признаку сравнения сх-ся; 2) q>1. Возьмем , тогда , т.е. и т.д. Получаем, что . расх-ся. 3) q=1. Рассм. ряд - он сх-ся. . Рассм. - расходится, нужно дополнительное исследование.

29. Радикальный признак Коши для числовых рядов с неотрицательными членами

теор.: - числовой ряд с неотриц. членами и . Тогда: 1) q<1 – ряд сх-ся; 2) q>1 – ряд сх-ся; 3) q=0 – требуется дополнит. исследование. док-во: 1) q<1. Возьмем , тогда . Рассм. - сх-ся, т.к. по признаку сравнения сх-ся; 2) q<1. Возьмем , тогда расх-ся; 3) q=1. Рассм. ряд - он сх-ся. . Рассм. - расходится, нужно дополнительное исследование.

30. Интегральный признак Коши для числовых рядов с неотрицательными членам

теор.: - числовой ряд с неотриц. членами, - невозрастающая ф-я. . Тогда сх-ся или расх-ся одновременно с док-во: Возьмем и рассмотрим [k, k+1]. . Проинтегрируем это неравенство по [k, k+1]: , т.е. ; . Если сх-ся, то . Рассм. . , где - неубывающая ф-я, огран. сверху числом S - конечный. Пусть расх-ся, тогда расх-ся. Пусть сх-ся и n=I и . - неубывающая последовательность, ограниченная сверху - конечный, и, значит, ряд сх-ся. . Пусть расх-ся ряд расх-ся.

31. Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница

опр.: Ряд вида , где , наз-ся знакочередующимся. теор.: Пусть - знакочередующийся ряд. Если 1) , 2) , то этот ряд сходится. док-во: ; ;

, но , т.е. - невозрастающая посл-ть. , т.е. еще и ограничена снизу. Следовательно .

, т.е. - неубывающая посл-ть.

ограничена сверху, следовательно . - перейдем к пределу при , получим, что и если взять , то , т.е. ряд сходится.

32. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Признаки Даламбера и Коши для произвольных числовых рядов

опр.: Ряд абсолютно сходится, если сходится ряд . опр.: Если ряд сх-ся, но не абсолютно, то он сходится условно. теор.(признак Даламбера для произв. рядов): - произв. числовой ряд. Пусть , тогда если: 1) q<1, то ряд абс. сх-ся, 2) q>1, то ряд абс. расх-ся, 3) q=1, то нужно доп. исслед-е. док-во: 1) q<1 по пр. Даламбера для рядов с неотрицат. членами сх-ся, следовательно абсол. сх-ся; 2) q>1. Рассм. расх-ся. теор.(радикальный признак Коши для рядов с произвольными членами): - ряд с произв. членами. Пусть , тогда если: 1) q<1, то ряд абс. сх-ся, 2) q>1, то ряд абс. расх-ся, 3) q=1, то нужно доп. исслед-е. док-во: 1) q<1. по признаку Коши для рядов с неотрицат. членами сх-ся, следовательно абсол. сх-ся; 2) q>1. Рассм. расх-ся. теор.: Если ряд абсолютно сх-ся, то он сходится.

33. Функциональный ряд и его сходимость. Признаки Даламбера и Коши для исследования сходимости функциональных рядов

- последовательность ф-ий, определенных на множестве , - функциональный ряд. Этот ряд сх-ся в точке , если сх-ся числовой ряд . Множество всех точек, в которых сходится функциональный ряд, называется областью сходимости этого функц. ряда. Функц. ряд абс. схся в т. , если числовой ряд абсолютно сх-ся. Этот функц. ряд абсолютно сх-ся на мн-ве , если этот ряд абс. сходится в каждой точке мн-ва A. Функц. ряд условно сх-ся в точке , если числовой ряд сх-ся условно. теор.: Пусть - функц. ряд и , тогда: 1) Для всех x, для кот. , ряд абс. сх-ся; 2) Для всех x, для кот. , ряд абс. расх-ся; 3) Если , то необходимо дополнительное исслед-е. док-во: Применим признак Даламбера для произвольных числовых рядов: , 1) ряд абс. сх-ся; 2) ряд абс. расх-ся; 3) необх. дополнит. исследование. теор.: Пусть - функц. ряд и , тогда: 1) Для всех x, для кот. , ряд абс. сх-ся; 2) Для всех x, для кот. , ряд абс. расх-ся; 3) Если , то необходимо дополнительное исслед-е. док-во: применим признак Даламбера для произвольных числовых рядов: , 1) ряд абс. сх-ся; 2) ряд абс. расх-ся; 3) необх. дополнит. исследование.

34. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса

Пусть - функциональный ряд и 1) , 2)

сходится. Тогда равномерно сх-ся на D. теор.1: Пусть равномерно сх-ся на D и - сумма этого ряда. Если , то . теор.2: Пусть сх-ся в точке , причем и равномерно сх-ся на мн-ве D к фнкции . Тогда равномерно сх-ся на D, причем его сумма и , т.е. . теор.3: Пусть равномерно сх-ся на [a,b]. Если , то сумма этого ряда и , т.е.

35. Степенной ряд. Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда

опр.: Функц. ряд вида , где , наз-ся степенным рядом. Здесь . Пусть

теор.: 1) - степенной ряд абс. сходится; 2) - степенной ряд расходится. док-во: , 1) и ряд абс. сх-ся, 2) и ряд расх-ся. опр.: , R – радиус ходимости степенного ряда. Интервал - интервал сх-ти степенного ряда. примечание: радис сходимости можно найти также и по формуле

36. Свойства степенных рядов. Единственность разложения функции в степенной ряд

т еор.1: Степенной ряд равномерно сх-ся на , содержащемся внутри интервала сходимости. док-во: Пусть у степенного ряда интервал сходимости и . Тогда существует такое, что .

Рассм. : абс. сх-ся на след-но ряд абс. сх-ся при , т.к. сходится по признаку Вейерштрасса степенной ряд равном. сходится на и на . теор.2: Если , то

непрерывна на . док-во: Пусть . . Ряд равномерно сх-ся на [a,b] и члены ряда сумма ряда

. теор.3: Если , то и , причем у этого ряда тот же интервал сходимости. док-во: Рассмотрим степенной ряд - у него радиус сходимости

. Т.к. , т.е. интервал сходимости ряда тот же, что и у . Возьмем , на [a,b] ряд сх-ся равномерно дифференцируема на [a,b] и в точке и и . По индукции получаем, что и теор.4: Если , и , причем интервал сходимости этого ряда тот же, что и у . док-во: На ряд равномерно сходится и . у этого ряда интервал сходимости . теор.(единственность разложения в степенной ряд): Ф-я единственным образом раскладывается в степенной ряд. док-во: Пусть . , . и т.д. .

37. Ряд Тейлора. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора

опр.: Пусть . Тогда ряд наз-ся рядом Тейлора ф-ии в точке . Если , то по ф-ле Тейлора: , где - остаточный член ф-лы Тейлора, т.е. , где - n-ая частичная сумма ряда Тейлора ф-ии в точке . ряд Тейлора сходится на тогда и только тогда, когда . теор.: Пусть и , тогда на док-во: , где - остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа . Рассм. ряд , по признаку Даламбера ряд сх-ся . Перейдем к пределеу при в неравенстве на .

38. Разложение функций e^x, shx, chx в ряд Тейлора

1) . Рассмотрим ввиду интервала верно . Если x₀=0, то на R.

2) на R. Если x₀=0, то .

3) на R.

39. Разложение функций sinx, cosx в ряд Тейлора

1)

на R.

2)

на R.

40. Разложение функций (1+x)^α, ln(1+x), arctgx в ряд Тейлора

1)

2)

т.е.

3) ;

т.е.

41. Тригонометрический ряд Фурье. Условие разложимости функции в ряд Фурье

Пусть , тогда существуют , при n=0 . - это коэфф-ты ряда Фурье ф-ии . - ряд Фурье ф-ии на . опр.: Ф-я называется кусочно гладкой на [a;b], если сама ф-я и ее производные имеют на [a,b] конечное число точек разрыва 1-го рода. теор.: Пусть - периодическая ф-я, кусочно гладкая на . Тогда ее ряд Фурье сходится к значению в каждой ее точке непрерывности и к значению в точках разрыва 1-го рода, где ,

42. Преобразования Фурье. Интеграл Фурье

Пусть абсолютно интегрируема на , т.е. сх-ся. Тогда существует интеграл , т.к. сх-ся. Функция наз-ся преобразованием Фурье функции . Ф-я определена на R и ограничена. Если абсолютно интегрируема на , то - обратное преобразование Фурье, или интеграл Фурье. замечание: