Лекции, которые начинаются с двойного интеграла, страница 2

12. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

Это ур-е вида y’=f₁(x)f₂(y). Разделяем переменные: Интегрируем левую часть равенства по y, правую по x и получаем общий интеграл дифф. ур-я:

Замечание: если при y=y₀ f₂(y₀)=0, то y=y₀ явл. решением данного дифф. ур-я и в процессе решения оно может быть потеряно.

13. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Это ур-я, кот. можно привести к виду . Нужно сделать подстановку , в рез-те получим ур-е с разделяющимися переменными.

14. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Это ур-я вида , где и - ф-ии, зависящие только от x. Решение линейных ур-ий первого порядка: 1) решаем ур-е - линейное однородное дифф. ур-е первого порядка, при этом . Разделим переменные: - общее решение 2) Метод вариации постоянной: считаем, что C=C(x) и находим решение ур-я в виде , тогда Подставим y и y’ в ур-е :

В итоге: - общее решение ур-я

15. Уравнение Бернулли

Это дифф. ур-е первого порядка вида , где Подстановка сводит это ур-е к линейному дифф. ур-ю первого порядка: Подставим это в исходное ур-е: ; - линейное дифф. ур-е первого порядка

16. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах

Это ур-я вида , где , - некоторая ф-я, явл. уравнением в полных дифф-лах тогда и только тогда, когда . В этом случае ф-я сущ-ет и ур-е можно записать так: - общий интеграл исходного ур-я и нужно найти эту функцию : , где - некоторая ф-я, зависящая только от y. - это ур-е для нахождения ф-ии

17. Дифференциальные уравнения первого порядка не разрешенные относительно производной

Пусть дифф. ур-е можно записать в виде или Введем параметр . Тогда решение первого ур-я находится из системы , а второго из . В общем случае решение получается заданным параметрически.

18. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка. Особые решения

опр.: Задача Коши для дифф. ур-я - это задача нахождения частного решения этого ур-я, удовлетворяющего начальному условию теорема о существовании и единственности задачи Коши: Пусть у дифф. ур-я функция непрерывна в области D плоскости xOy и ограничена в D. Тогда

сущ-ет и единственно на промежутке частное решение этого ур-я , удовл. начальному условию . замечание: Кривая , на которой ф-я - частное решение дифф. ур-я наз-ся интегральной кривой. След-но в услових теоремы через точку единственная интегральная кривая этого ур-я. опр.: Точки области D, в которых нарушается единственность решения задачи Коши, наз-ся особыми точками дифф. ур-я. опр.: Решение дифф. ур-я , в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, наз-ся особым решением этого ур-я. особые решения не получаются из общего решения ни при каких значениях параметра C. нахождение особого значения: 1) Если - общее решение дифф. ур-я, то особое решение находится из системы исключением параметра C (причем надо проверить, что это решение) 2) Если Ф(x,C)=0 – общий интеграл дифф. ур-я, то особое решение находится из системы исключением параметра C (причем надо сделать проверку)

19. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия

опр.: Дифф. ур-е порядка n имеет вид либо . опр.: Задача Коши для ур-я - это задача нахождения частного решения этого ур-я, удовлетворяющего начальным условиям: опр.: Общим решением дифф. ур-я или называется ф-я такая, что 1) при любых допустимых значениях параметров она явл. решением дифф. ур-я, 2) для любой задачи Коши с начальными условиями найдутся постоянные , определяемые из системы ур-ий: .

Уравнение Ф(x,y, )=0,неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифф. ур-я n-го порядка. теорема о сущ-ии и единственности решения задачи Коши: Пусть у дифф. ур-я ф-я f и ее частные производные непрерывны в области , тогда для каждой точки найдется интервал , на котором сущ-ет и единственно решение этого дифф. ур-я, удовл. начальным условиям:

20. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

1) Ур-я вида , где , где - параметры. 2) Ур-я вида , т.е. ур-я, не содержащие ф-ии y и ее производных . Тогда и получаем ур-е , чей порядок на k единиц меньше. Если - общее решение этого ур-я, то - общее решение исходного ур-я. 3)Ур-я вида , т.е. ур-я, не содержащие в явном виде переменную x. Подстановкой получаем и т.д. Подставляем это в ур-е. Получаем новое ур-е, порядок которого на единицу меньше. 4) Ур-е вида Тогда , т.е. порядок ур-я уменьшается на единицу.

21. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

. Общее решение этого ур-я имеет вид , где - частное решение этого ур-я, а - общее решение линейного однородного дифф. ур-я . Если y₁,…, y_n – частные решения этого ур-я, причем эти решения линейно независимы, т.е. , хотя бы в одной точке, то общее решение этого ур-я имеет вид , где - произвольные константы.

22. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Это ур-я вида , где - константы. Если - частное решение этого ур-я, - общее решение линейного однородного ур-я , то общее решение этого ур-я имеет вид . 1) Решение линейных однородных ур-ий с пост. коэфф-тами. (1). Заменяем на получаем уравнение (алгебраическое) - характеристическое ур-е. Находим его корни: каждому действительному корню λ кратности соотв-ет линейно независимых решений ур-я (1): . Каждой паре комплексно сопряженных корней кратности s соотв-ет 2s линейно независимых решений ур-я (1): Если характеристическое ур-е имеет k действ. корней кратности соответственно и m пар комплексных корней ,…,

кратности соответственно, то общее решение ур-я имеет вид

, где - многочлен степени , - многочлены степени с произвольными коэфф-тами. 2) Линейные неоднородные ур-я с пост. коэфф-тами. (2) со спец. правой частью: а) ; б)

. Нахождение частного решения ур-я (2): а) Если λ не явл. корнем характеристического ур-я , то ищем методом неопред. коэфф-тов в виде , где - неопр. коэфф-ты. Если же λ явл. корнем кратности r характеристического ур-я, то ; б) Если не явл. корнем характеристического ур-я , то методом неопред. коэфф-тов в виде , где , - неопр. коэфф-ты, . Если же явл. корнем кратности r характеристического ур-я, то

23. Нормальные системы дифференциальных уравнений и их решение методом исключения неизвестных

Система дифф. ур-ий вида , где x – независимая переменная, - неизвестные функции, наз-ся нормальной системой дифф. ур-ий. решением этой системы назыв. набор из n ф-ий , при подстановке которых в каждое ур-е системы получается тождество. Решение задачи Коши для этой системы: нахождение решений этой системы, удовл. заданным начальным условиям . Каждую нормальную систему можно свести к дифф. ур-ю с одной неизвестной ф-ей. Это происходит путем исключения неизвестных.

24. Определение числового ряда и его сходимость. Необходимое условие сходимости числового ряда

опр.: Бесконечная сумма , где наз-ся числовым рядом. n-ая частичная сумма получается последовательность частичных сумм S_n ряда. Если S_n сходится, то ряд сходится и его сумма равна . Если же S_n расходится, то ряд также расходится. теор.: Если ряд сходится, то . следствие: Если или не сущ-ет, то расходится. док-во: Пусть сходится, тогда .

25. Свойства сходящихся числовых рядов

теор.: Пусть ряды и сх-ся, причем и , тогда: 1) сх-ся и ; 2) сх-ся и ; 3) - n-ый остаток ряда , док-во: 1) Рассм. . ; 2) Рассм. .

; 3) .

26. Сходимость числовых рядов с неотрицательными членами

, где - числовой ряд с неотрицат. членами. посл-ть частичных сумм - неубывающая посл-ть, отсюда сходится тогда и только тогда, когда ограничена сверху верна теорема: Ряд с неотрицат. членами сх-ся тогда и только тогда, когда ограничена сверху.

27. Признаки сравнения для числовых рядов с неотрицательными членами.

теор.: Пусть и - числовые ряды с неотрицат. членами, , тогда: 1) Если сх-ся, тогда тоже сходится; 2) Если расходится, то тоже расх-ся. следствие: Если , то ряды сх-ся или расх-ся одновременно. док-во:

если , если сх-ся, то ограничена сверху ограничена сверху сх-ся. Если же расходится, то неограничена сверху неогран. сверху расх-ся. , т.е. для , т.е. . Из теоремы следует, что ряды сходятся или расходятся одновременно.

28. Признак Даламбера для числовых рядов с неотрицательными членами