ВОПРОСЫ и ОТВЕТЫ к экзаменудля студентов 1 курса по математике

ВОПРОСЫ

к экзамену по математике для студентов 1 курса ДО

2 семестр, 2007-2008 уч. год.

Составитель: к.ф.-м. н. Г.Ф.Ефимова

Неопределенный интеграл

1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Геометрическая интерпретация неопределенного интеграла.

В математическом анализе первоо́бразной (первообра́зной) или примити́вной функцией данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Для примера: F(x) = x³ / 3 является первообразной f(x) = x². Так как производная константы равна нулю, x² будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как x³ / 3 + 45645 или x³ / 3 − 36 … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции x² можно обозначить как F(x) = x³ / 3 + C, где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально друг относительно друга, и их положение зависит от значения C.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов:

Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную с F(0) = 0.

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

Первообразная функция.

   Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией  функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

  Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

Неопределенный интеграл.

   Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

  Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

  Свойства:

1.

2.

3.

4.  где u, v, w – некоторые функции от х.

6.     

Интегральное исчисление решает обратную задачу по отношению к дифференциальному исчислению: по данному дифференциалу, а следовательно, и производной неизвестной функции F(x), требуется определить эту функцию.

Пусть известна функция f(x) и нужно по данной функции определить F(x) таким образом, чтобы

dF(x) = f(x)dx

или соответственно . (1.1)

Для простоты будем предполагать, что равенство (1.1) выполнено на некотором промежутке (конечном или бесконечном).

Определение 1.1. Пусть функция f определена на некотором промежутке, т.е. на отрезке, интервале или полуинтервале числовой оси. Функция F, определенная на этом же промежутке называется первообразной функции f , если выполнено (1.1) для каждого х из указанного промежутка.

Очевидно, что если F является первообразной для f на <a,b>, то функция F+ C (C-Const ), также является первообразной для f на <a,b>.

Действительно,

[F(x) + C]' = F'(x) = f(x), х Î<a,b>. (1.2)

Теорема 1.1. Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на некотором промежутке <a,b>, отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть F и Ф - две первообразные для f на некотором промежутке <a,b>, т.е. F'(x) = f(x) и Ф'(x) = f(x), но тогда

[F(x) - Ф(х)]' = 0, х Î<a,b> и, следовательно,

F(x) = Ф(х) + С тогда они отличаются на некоторую константу.

Геометрическая интерпретация.

у = F(x)+C

tga = F'₁(x) = F'₂(x) = f(x),

F₁(x) - F₂(x) = C.

С л е д с т в и е. Прибавляя к какой - либо первообразной F(x) для данной функции, определенной на <a,b>, всевозможные постоянные С получим все первообразные для f(x).

Рис. 1.1

1. Основные свойства неопределенного интеграла.

   Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

  [an error occurred while processing this directive]

  Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

  Свойства:

1.

2.

3.

4.  где u, v, w – некоторые функции от х.

6.     

1. Таблица простейших неопределенных интегралов. Теорема Коши (без док-ва).

Простейшие приемы интегрирования

Операция нахождения неопределенного интеграла есть обратная операция по отношению к операции дифференцирования. Поэтому нетрудно получить таблицу простейших интегралов. Обращая формулы дифференцирования, получим

Теорема Коши.

( Коши (1789-1857)- французский математик)

  Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g¢(x) ¹ 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что

.

  Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке e.

[an error occurred while processing this directive]

 Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка e для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это- очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.

  Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

,

которая на интервале [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка e,

a < e < b, такая, что F¢(e) = 0. Т.к.

, то

  А т.к. , то

  Следует отметить, что рассмотренная выше теорема Лагранжа является частным случаем (при g(x) = x) теоремы Коши. Доказанная нами теорема Коши очень широко используется для раскрытия так называемых неопределенностей. Применение полученных результатов позволяет существенно упростить процесс вычисления пределов функций, что будет подробно рассмотрено ниже.

1. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента. Примеры.

Пусть х - независимая переменная, а f(х) - непрерывная функция на данном промежутке, F(x) - ее первообразная, то есть F^/(x)=f(x). Имеем

. (2.1)

Положим теперь u = j(x), где опять предположим, что j^/(х) - непрерывна, то есть j(х) - непрерывно-дифференцируемая функция.