Площадь поверхности, описанной ломаной равна:

Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что

Тогда  - формула вычисления площади поверхности тела вращения.

1. Некоторые физические приложения определенного интеграла: элементарная работа силы, количество вещества в вертикальном столбе, сила притяжения однородного стержня, сила давления воды на вертикальный круг.

1. Приближенное вычисление определенных интегралов: вывод формулы прямоугольников, формулы трапеций, формулы парабол – формулы Симпсона.

Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.

1. Двойной интеграл. Определение и геометрический смысл.

Пусть  ограниченная замкнутая область плоскости с кусочно-гладкой границей и пусть функция определена и ограничена на  . Посредством сетки кусочно-гладких кривых разобьем на конечное число элементарных областей с площадями (разбиение ). Пусть - наибольший из диаметров областей , получающийся при разбиении . В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку . Число   называется интегральной суммой и ставится в соответствие каждому разбиению и каждому выбору точек . Если существует   и он не зависит от выбора разбиения  и точек , то функция называется интегрируемой по Риману в области , а сам предел называется двойным интегралом от функции  по области и обозначается    или   . Двойной интеграл существует, если  непрерывна на . Допустимы точки разрыва первого рода, лежащие на конечном числе гладких кривых в .

1. Свойства двойного интеграла: линейность, монотонность, теорема о среднем значении, аддитивность.

Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла:

Линейность:  
. Аддитивность:
, если S1 и S2 две области без общих внутренних точек.

Если для каждой точки  выполнено неравенство  , то .

Если  интегрируема на , то функция   также интегрируема, причем .

Если  и  наименьшее и наибольшее значения функции в области, а ее  площадь, то .

Теорема о среднем значении: если  непрерывна в связной области , то существует, по крайней мере, одна точка такая, что   .

1. Вычисление двойного интеграла.

Вычисление двойного интеграла.

Если  , где -   непрерывные на функции, то двойной интеграл может быть вычислен двумя последовательными интегрированиями: . Аналогично, если , то     .

1. Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле.

Пусть задан двукратный интеграл      . Если область интегрирования D (рис. 15), задаваемая неравенствами      является также правильной относительно оси ОУ, т.е. граница области D пересекается прямой y = c (c постаянная) не более чем в двух точках, то область D можно задать другими неравенствами:

.

Здесь  α, β   - соответственно наибольшее и наименьшее значение y в области D ;
x = ψ₁(y)  - левая часть границы;
x = ψ₂(y)    - правая часть границы области D .

Тогда в двукратном интеграле можно изменить порядок интегрирования:

Рис. 15

 

Вычисление площадей плоских фигур

В прямоугольной системе координат площадь ограниченной правильной в направлении оси ОХ области      равна

1. Двойной интеграл в полярных координатах.

Площадь правильной области           в полярных координатах находится так:

     .

1. Замена переменных в двойном интеграле. Функциональный определитель – якобиан.

Пусть функции взаимно однозначно отображают открытое множество, содержащее область плоскости на открытое множество, содержащее область , и пусть является образом . Если и их частные производные непрерывны, а определитель   , то . Выражение  называется элементом площади в криволинейных координатах, функциональный определитель - якобианом.

Якобиан, функциональный определитель ½a_ik½₁ⁿ с элементами , где y_i = f_i (X₁,..., X_n), l £ i £ n, — функции, имеющие непрерывные частные производные в некоторой области А; обозначение:

  .

  Введён К. Якоби (1833, 1841). Если, например, n = 2, то система функций

  y₁ = f₁ (. x₁, x₂), y₂ = f₂ (x₁, x₂) (1)

  задаёт отображение области D, лежащей на плоскости x₁, x₂, на часть плоскости y₁, y₂. Роль Якобиан для этого отображения во многом аналогична роли производной для функции одной переменной. Например, абсолютное значение Якобиан в некоторой точке М равно коэффициенту искажения площадей в этой точке (т. е. пределу отношения площади образа окрестности точки М к площади самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю). Якобиан в точке М положителен, если отображение (1) не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае. Если Якобиан не обращается в нуль в области D и j (y₁, у₂) — функция, заданная в области D₁ (образе D), то



(формула замены переменных в двойном интеграле). Аналогичная формула имеет место для кратных интегралов. Если Якобиан отображения (1) не обращается в нуль в области Д, то существует обратное отображение

  x₁ = j₁ (y₁, y₂), x₁ = j₂(y₁, y₂),

  причём

 

  (аналог формулы дифференцирования обратной функции). Это утверждение находит многочисленные применения в теории неявных функций. Для возможности явного выражения в окрестности точки М (x₁⁽⁰⁾,..., x_n ⁽⁰, y₁⁽⁰⁾,..., y_m ⁽⁰⁾) функций y₁,..., у_т, неявно заданных уравнениями F_k (x₁,..., x_n, y₁,..., у_м) = 0, (2)

  1 £ k £ m,

  достаточно, чтобы координаты точки М удовлетворяли уравнениям (2), функции Fk имели непрерывные частные производные и Якобиан

 

  был отличен от нуля в точке М.

1. Применение двойного интеграла: вычисление геометрических величин – площади области, объема тела, площади поверхности тела.

1. Применение двойного интеграла: вычисление физических величин – массы пластины, моментов инерции плоской материальной пластины, координат центра тяжести материальной пластины, статических моментов пластины.

1. Тройной интеграл. Определение. Геометрический и физический смысл тройного интеграла.

Пусть - ограниченная замкнутая пространственная область, границей которой является кусочно-гладкая поверхность, и пусть функция  определена и ограничена в  . Посредством сетки кусочно-гладких поверхностей разобьем на конечное число элементарных областей   с объемами (разбиение ). Пусть . наибольший из диаметров областей  , получающийся при разбиении . В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку . Число ставится в соответствие каждому разбиению  и каждому выбору точек и называется интегральной суммой. Если существует   и он не зависит от выбора разбиения и точек, то функция называется интегрируемой по Риману в области  , а сам предел называется тройным интегралом от функции   по области  и обозначается  . Свойства тройных интегралов такие же, как и у двойных интегралов.

1. Вычисление тройного интеграла.

Пусть  является цилиндрическим телом, проекция которого на плоскость  есть область и которое ограничено снизу поверхностью , а сверху v поверхностью , где   - непрерывные функции в . Тогда , то есть интегрированием по z тройной интеграл сводится к двойному интегралу по области . Для областей более сложной формы вычисление двойных и тройных интегралов производится разбиением областей на конечное число простых областей с уже рассмотренными свойствами.

1. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические координаты. Сферические координаты.

Пусть посредством функций производится взаимно однозначное отображение открытого множества, содержащего область пространства на открытое множество, содержащее область пространства и  есть образ . Если эти три функции непрерывны вместе со своими первыми частными производными в области и якобиан , то . Выражение называется элементом объема в криволинейных координатах .

Цилиндрическая система координат