ВОПРОСЫ и ОТВЕТЫ к экзаменудля студентов 1 курса по математике, страница 2

Рассмотрим

. (2.2)

В таком случае сложная функция

F(u)=F(j(x)) является первообразной для подинтегральной функции интеграла (2.2)

dF(u) = F^/(u)du = f(u)du (2.3)

и, следовательно,

. (2.4)

Поэтому

,

где F^/(u)=f(u).

Таким образом, из справедливости (2.1) следует (2.4). На основании этого получаем обобщенную таблицу простейших интегралов.

(m¹-1)

и т.д., где u - любая непрерывная дифференцируемая функция.

И тогда мы можем значительно расширить таблицу простейших интегралов.

Пример: Пусть

.

а) заменим х на Sinx, получим

, то есть

.

б) заменим х на lnх

или

.

Теперь понятно, почему важно уметь проводить f(x)dx=g(u)du, где u есть некоторая функция от х и g - функция, более простая для интегрирования, чем f.

Отметим несколько преобразований, полезных в дальнейшем:

1. dx = d(x + b) , b = const

2. , a- const ¹ 0

3. , a,b – const ¹ 0

4.

5.

6.

7. j^/(x)dx = dj(x) (*)

Пример.

1. .

2. .

1. Основные методы интегрирования: метод разложения, метод подстановки (введение новой переменной), интегрирование по частям.

Понятие об основных методах интегрирования

а). Метод разложения.

Пусть f(x) = f₁(x) + f₂(x). Тогда на основании свойства 4

.

f₁, f₂ стараемся подобрать так, чтобы интегралы брались непосредственно.

Пример:

1. ?

Воспользуемся .

.

2. =

= .

б). Метод подстановки (введение новой переменной)

Так как неопределенный интеграл не зависит от выбора аргумента и, учитывая, что

dx = j^/(t)dt,

получаем формулу замены переменной в неопределенном интеграле

. (2.5)

То есть интеграл, стоящий в правой части, может оказаться проще интеграла в левой части.

Пример.

1. .

2. .

3. .

в) Метод интегрирования по частям

Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции от х.

d(u×v) = udv + vdu.

Отсюда

udv=d(u×v)-vdu.

Интегрируя обе части этого уравнения, получим

или

. (2.6)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Пример.

1. .

2. .

1. Интегрирование рациональных дробей. Примеры.

Нужно вычислить интеграл вида

, где

Р(х) - целый многочлен; а,b,c - const, a ¹ 0.

Разделив Р(х) на знаменатель, получаем

.

Теперь все сводится к вычислению

. (2.7)

Примеры.

Выведем два основных интеграла

I. (a¹0)

II. (a¹0).

Тогда имеем

(а¹0).

III. .

Результаты записать в таблицу основных интегралов.

Основной прием вычисления интегралов (2.7) состоит в следующем :

квадратный трехчлен а×х² + b×x + c дополняют до полного квадрата, если он не является таковым.

Если m = 0, то (2.7) сводится либо к I, либо к II.

Если m ¹ 0, то (2.7) сводится к I и III, либо к II и III.

Рассмотрим это на примерах:

1. .

2.

.

а). Понятие о методе неопределенных коэффициентов

Если квадратный трехчлен имеет действительные различные корни х₁, х₂, то для вычисления (2.7) можно воспользоваться разложением подынтегральной функции на простейшие дроби:

º .

Для определения коэффициентов А и В приведем правую часть тождества к общему знаменателю и, приравнивая числители, получим, что коэффициенты при одинаковых степенях х должны быть равны.

m×x + n = A×(x - x₂) + B×(x - x₁)

тогда, отсюда следует

.

Пример.

?

.

1. Интегрирование простейших иррациональностей.

1. Если подынтегральная функция содержит лишь линейную иррациональность

(а ¹ 0),

то полезна подстановка

. (*)

2. Интеграл от простейшей квадратной иррациональности

вычисляется с помощью дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата и сводится к одному из двух интегралов типа

,

которые вычисляются подстановкой Эйлера:

I. (a¹0)

, где t- новая переменная.

То есть

х² + a = t² - 2×t×x + x² или a = t² - 2×t×x.

Возьмем дифференциал от обеих частей, получим

da = 0 = 2tdt - 2xdt - 2tdx или

tdx = (t - x)dt, тогда

, то есть .

Таким образом,

.

.(a¹0). (2.9)

II. . (2.10)

З а м е ч а н и е. Необходимо (2.9) и (2.10) дописать в таблицу интегралов.

1. Интегрирование тригонометрических функций.

1. Универсальная замена

Рассмотрим интеграл вида

. (2.11)

Подстановка сводит интеграл (3.1) к интегралу от рациональной дроби.

,

,

то есть х = 2×arctgu, ,

поэтому

. (2.11^\)

Пример.

.

З а м е ч а н и я.

1. С принципиальной точки зрения интегралы вида (3.1) всегда можно привести к интегралам от рациональной дроби указанным способом, но практическое применение иногда приводит к громоздким вычислениям.

2. Иногда гораздо полезнее делать замены вида

u = Sinx, u = Cosx, u = tgx.

Рассмотрим эти методы на примерах.

1.

= .

2.

.

3. Другие примеры с использованием

Sin²x + Cos²x = 1

.

Сравните 2 и 3.

2. Интеграл вида:

. (2.12)

Пусть m и n - рациональные числа. Тогда (2.12) с помощью подстановки (см. замечание 2) сводится к интегралу от дифференциального бинома.

Пусть u = Sinx, тогда

du = Cosxdx, , и тогда

. (2.13)

а) В частном случае, когда m и n - целые (даже не обязательно положительные), то тогда целесообразно делать подстановки ( замечание 2). Например, если m = 2×n + 1 (соответственно n = 2×k+1), то есть нечетное число, то можно делать подстановку вида u = Cosx (u = Sinx):

(получаем рациональную дробь).

Аналогично, если

.

б) m>0, n>0, четные (или одно из них 0).

Тогда целесообразно применить

, .

Пример.

.

3. Интегралы вида

, , . (2.14)

При вычислении интегралов (3.4) нужно вначале воспользоваться формулами

.

Пример.

.

Определенный интеграл

1. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о независимости интеграла от выбора первообразной (док-во). Следствие. Теорема существования.

Пусть функция f(х) определена на отрезке и a=x₀<x₁<…<x_n=b – произвольное разбиение этого отрезка на n частей. Сумма вида

где

называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [а, b].

 

 

Предел интегральной суммы S_n при условии, что число разбиений отрезка [а, b] неограниченно увеличивается, , а наибольшая из разностей (длин частичных отрезков разбиения) стремится к нулю, называется определенным интегралом от функции f(х) на отрезке [а, b] и обозначается символом

 

 

 

т.е.

где f(x) – подынтегральная функция;

а – нижний предел интегрирования;

            b - верхний предел интегрирования.

Формулой Ньютона - Лейбница называется равенство вида:

При этом предполагается, что подынтегральная функция f(x) непрерывна при всех значениях x, удовлетворяющих условиям

a £ x £ b.

Теорема существования определённого интеграла. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема по этому отрезку.
Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любого найдётся такое число , что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству , то, независимо от выбора точек выполняется неравенство . Требование непрерывности f(x) достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на [a,b] при условии их ограниченности (т.е. все точки разрыва должны быть точками разрыва первого рода). Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если f(x) неограничена на [a,b], то она неограничена на каком-либо [x_i-1 , x_i], т.е. на этом отрезке можно найти такую точку , что слагаемое , а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа).

1. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.

Интеграл с переменным верхним пределом. Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования: (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой t, а буквой x обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что x - переменная, в результате интеграл будет функцией Ф(x) своего верхнего предела: . Легко доказать, что если f(t) интегрируема, то Ф(x) непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема:
Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция f(t) непрерывна в окрестности точки t = x, то в этой точке функция Ф(x) дифференцируема, и .
Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.
Док-во. Дадим верхнему пределу x приращение . Тогда , где c - точка, лежащая между x и (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим . При этом (c- точка, расположенная между x и ). Так как f(t) непрерывна в точке t = x, то . Следовательно, существует , и . Теорема доказана.

Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функция f(x) имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой . Другим важным следствием этой теоремы является формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.

1. Геометрический смысл определенного интеграла.

Геометрический смысл определённого интеграла. Как следует из пункта 11.1.1, если f(x) >0 на отрезке [a,b], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).

1. Физический смысл определенного интеграла.

1. Основные свойства определенного интеграла: общие свойства, свойство аддитивности, свойства линейности, свойства монотонности.

1. Линейность. Если функции y = f(x), y = g(x) интегрируемы по отрезку [a,b] , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация A f(x) + B g(x) (A, B = const), и
.
Док-во: для любого разбиения отрезка и любого выбора точек выполняется . Перейдем в этом равенстве к пределу при . Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства.
2. Аддитивность. Если y = f(x) интегрируема по отрезку [a,b] и точка c принадлежит этому отрезку, то .
Док-во. Если f(x) удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку [a,b], то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам [a,c] и [c,b]. Будем брать такие разбиения отрезка [a,b] , чтобы точка c являлась одним из узлов x_i: c = x_i0, . Тогда . В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для , вторая - для . Переходим к пределу при . Пределы для всех трёх сумм существуют, и .
Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу. Пусть, например, c < b < a, и f(x) интегрируема по [c, a]. Тогда, по доказанному, . Отсюда и из определения интеграла для случая, когда нижний предел больше верхнего, следует, что .
При формулировании и доказательстве следующих свойств предполагаем, что b > a.

1. Теорема о среднем. Доказательство. Следствие.