Занятие 5(Фдз 6) (Занятия и Фдз по АиГ)

4

Занятие 5 (Фдз 6).

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

5.1. Определение собственного вектора и собственного значения линейного оператора, их геометрический смысл. Главные направления линейного оператора. Примеры нахождения собственных векторов и собственных значений линейного оператора.

5.1. Собственным вектором линейного оператора называется такой элемент , что , при этом число называется собственным числом линейного оператора . Нулевой элемент пространства исключается из множества собственных векторов по той причине, что и . Другими словами, элемент не выявляет каких-либо различий у различных линейных операторов.

Если - векторное пространство, то собственный вектор приобретает ясный геометрический смысл: - собственный вектор оператора тогда и только тогда, когда его образ параллелен вектору (т.к. ).

Если - собственный вектор оператора , то вектор при любом значении постоянной также является собственным вектором оператора с тем же собственным значением , которое отвечает вектору . Действительно,

.

Таким образом, собственный вектор с собственным значением оператора определяет в пространстве прямую, образованную векторами и называемую главным направлением оператора с собственным значением .

Одной из основных задач теории линейных операторов является задача по нахождении собственных значений, собственных значений и главных направлений заданного линейного оператора.

Пример 1. Найти собственные значения, собственные векторы, главные направления линейного оператора , действующего в линейном пространстве векторов на декартовой плоскости следующим образом: проектирует векторы на ось .

Решение.

Собственные векторы и отвечающие им собственные значения заданного линейного оператора легко определяются, исходя из геометрического смысла собственного вектора и геометрии действия оператора.

Рассмотрим единичные векторы на осях и соответственно. Эти векторы образуют базис пространства .

- собственный вектор оператора с собственным значением .

- собственный вектор оператора с собственным значением .

Главными направлениями оператора являются:

ось (с собственным значение ) и ось (с собственным значением ).

Пример 2. Найти собственные значения, собственные векторы, главные направления линейного оператора , действующего в линейном пространстве векторов на декартовой плоскости следующим образом: поворачивает каждый вектор на угол против часовой стрелки вокруг начала координат – точки .

Решение.

Собственные векторы у этого оператора есть только при двух значениях угла : и .

1) Если , то заданный оператор является тождественным отображением.

. Следовательно, любой ненулевой вектор плоскости является собственным вектором линейного оператора с собственным значением , и любая прямая, проходящая через начало координат, будет главным направлением оператора с собственным значением .

2) Если , то оператор осуществляет отображение по закону:

. Следовательно, любой ненулевой вектор плоскости является собственным вектором линейного оператора с собственным значением , и любая прямая, проходящая через начало координат, служит главным направлением оператора с собственным значением .

3) Если , то такой оператор поворота векторов не имеет ни одного собственного вектора. В этом случае, вектор не параллелен вектору , и значит, не существует числа такого, что .

Пример 3. Найти собственные значения, собственные векторы, главные направления линейного оператора , действующего в линейном пространстве векторов декартова пространства следующим образом: проектирует каждый вектор на плоскость .

Решение.

Также как и в примерах выше, собственные векторы и отвечающие им собственные значения заданного линейного оператора легко находятся из геометрического смысла собственного вектора.

1) Если вектор лежит на плоскости (или параллелен этой плоскости), то . Значит, любой такой вектор является собственным вектором линейного оператора , с собственным значением . Указанные векторы имеют координаты .

Соответственно, главными направлениями с собственным значением является множество всех прямых в плоскости , проходящих через начало координат.

2) Другими собственными векторами рассматриваемого оператора будут все векторы , параллельные оси . Для них , т.е. векторы - собственные векторы линейного оператора с собственным значением . Указанные векторы имеют координаты .

Соответственно, главным направлением со значением является ось .

Других собственных векторов, отличных от указанных выше, у оператора нет.

Пример 4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , действующего в линейном пространстве векторов декартова пространства следующим образом: зеркально отражает каждый вектор пространства от плоскости .

Решение.

1) Любой вектор , направленный перпендикулярно плоскости , при зеркальном отражении от этой плоскости изменяет свое направление на противоположное, не меняя при этом своей длины. Т.е. . Следовательно, все такие векторы - собственные векторы с собственным значением . Из уравнения плоскости легко находится вектор , перпендикулярный этой плоскости. Т.к. параллелен , то , где . Таким образом, множество всех собственных векторов линейного оператора с собственным значением образуют векторы с координатами , где .

2) Теперь рассмотрим векторы , лежащие в (или параллельные) плоскости . Эти векторы при зеркальном отражении от указанной плоскости не меняются, т.е. . Значит векторы - собственные векторы линейного оператора с собственным значением .

Других собственных векторов у заданного линейного оператора нет.

Пример 5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , действующего в линейном пространстве векторов декартова пространства следующим образом: поворачивает каждый вектор на вокруг прямой , проходящей через начало координат .

Решение.

Рассмотрим сначала векторы , лежащие на заданной прямой. Эти векторы параллельны направляющему вектору , и значит, имеют координаты , где .

Под действием оператора векторы переходят в себя, т.е. .

Следовательно, векторы - собственные векторы линейного оператора с собственным значением .

Другими собственными векторами оператора будут векторы , перпендикулярные прямой . Под действием векторы переходят в векторы , т.е. .

Следовательно, векторы - собственные векторы линейного оператора с собственным значением .

Если обозначить координаты векторов через , то возможные значения этих координат найдутся из условия ортогональности векторов и , и будут представлять ненулевые решения уравнения .

Пример 6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , действующего в линейном пространстве векторов декартова пространства следующим образом: проектирует каждый вектор на прямую .

Решение.

Векторы , лежащие на прямой , являются собственными векторами оператора с собственным значением . Оператор не меняет эти векторы. .

Векторы , перпендикулярные прямой , проектируются в точку (т.е. нулевой вектор) на этой прямой. . Следовательно, векторы - собственные векторы линейного оператора с собственным значением .

Пример 7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , где , и оператор действует по правилу , где .

Решение.

Данный линейный оператор рассматривался в примере 4 занятия 4. Там установлено, что

.

Согласно определению собственного вектора линейного оператора ненулевая матрица будет собственной матрицей (вектором) оператора , если , т.е. когда .

Из 1-го и 4-го уравнений полученной системы видно, что , либо .

Рассмотрим первый случай: . Из уравнений системы выводим

, где .

Следовательно, собственными матрицами линейного оператора со значением являются все матрицы из ядра этого оператора.

Рассмотрим второй случай: . Теперь из уравнений системы выводим

. (*)

Здесь в свою очередь: либо ; либо .

1) Если , то из системы (*) находим: , где . Учитывая, что в рамках второго случая , заключаем: матрицы вида являются собственными матрицами линейного оператора с собственным значением .