Краткие ответы на всю теорию за 1 семестр по матану

1.Промежутки, окресности.Верхняя и нижняя грань числового множества.Точные грани и их свойства.

Интервалы и отрезки - это конечные числовые промежутки. Промежутки бывают следующих типов:

Интервал : строгое неравенство(a<X<b); Отрезок [a;b]; Открытый справа([a;b)) и слева.

: ε –окрестностью числа а называется множество чисел х удовлетворяющие неравенству

a-ε<x<a+ε  x-a  (////////) x  О_ε(а)

Числовое множество называется ограниченным сверху если все числа данного числового множества меньше некоторого числа В

Точная верхняя грань-найменьшая из всех верхних граней(sup{X}). inf{X}-точная нижняя грань

Свойства точных граней: Теорема:

M=Sup{X} необходимо и достаточно выполнение : 1)x>M=>x не принадлежит X. 2)Для любого С < M есть хотя бы 1 х из Х => C<x<=M

Док-во

1Необходимость.Дано M=Sup{X} Доказать 1,2.Док-во

1.т.к.M-sup{X}=> 1 из верхних граней, то по определению для х из Х=> х<=М, а значит он не может быть >M =>x не из Х

2.Берем С<M.Пусть нету х, удовлетвор.2му свойству=> для всякого х<=с, а это значит, что С есть М и при этом С<М, а значит М не есть sup{X}, что противоречит условию=>x>c

2.Достаточность.Дано:1,2.Доказать: что М=sup{X}.Док-во.

1.Из 1пункта следует, что М есть верхняя грань{X},(x>M=>х не их Х=> любое х из Х меньше М)

2.Из пункта 2 есть х>с=> с ни есть верхняя грань=> М наименьшая из всех верхних граней.

В2.Абсолютная величина и ее свойства.

Модуль числа x - это найбольшее из {+x и -x}. Так же модулем числа x называется само число x, если x>=0 и –x при x<0

Свойства

1)|x|>=0 из определения(|x|=max{x, -x})

2)-|x|<=x<=|x|

a)x=0 -0=0=0

б)x<0 x=-|x| |x|=-x -|x|=x<|x|

в)x>0 -|x|<x=|x|

3)если a>=0, |x|<=a -a<=x<=a

x>0 , |x|=x x(>=0)<=a -a(<=0)<=x(>=0) => -a<=x<=a

x<0 , |x|=-x a(<0)>-x(>0) x<=a a>=x>=-a

4) |x+y|<=|x|+|y|

-|x|<=x<=|x| |x|=max{x,-x}

-|y|<= y<=|y| |x|=max{x,-x}

-(|x|+|y|)(это -а)<=x+y<=(|x|+|y|)(это а) –max{x,-x}=-|x|

x>=-max{x,-x} |x-y|<=|x|+|y|

5.|x-y|>=||x|-|y||

|x|=|x-y+y|<=|x-y|+|y| |x-y|>=|x|-|y| |y|=|y-x+x|<=|y-x|+|x|=|x-y|+|y| |x-y|>=|y|-|x| |x-y|>=|y|-|x| |x-y|>=max{|x|-|y|,|y|-|x|}

6. |x*y|=|x||y|

3.Определение функции, способы ее задания.Функции четные и нечетные

Функция - это зависимость одной величины от другой.

Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x).

Определение способа задания:

-аналитически (y=kx+b)

-графический (график)

-таблично

-алгоритмически (с помощью ЭВМ)

Классификация функций:

Чётная функция, функция, удовлетворяющая равенству f(-х)=f(x) при всех х.

Нечётная функция, функция, удовлетворяющая равенству f (-x) = -f (x).

Монотонная функция функция, которая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или хотя бы не убывает), либо всегда убывает (не возрастает).

Определение f(x) монотонности: Пусть Х принадлежит области определение D ( ]xD)

Пусть Х подмножество в области определения в f(x).

Функция у=f(x) называется:

1. Возрастающая на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁<x₂f(x₁)<f(x₂)

1. Убывающий на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁<x₂f(x₁)>f(x₂)

3) Не убывающий на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁<x₂f(x₁)f(x₂)

1. Не возрастающая на Х, если для любого х₁;х₂ принадлежащие Х: х₁<x₂f(x₁)f(x₂)

Определение:

Ограниченность. Пусть Х включает D y=f(x) называется:

1. Ограниченной сверху на Х если существует В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется xR

2. Ограниченной снизу на Х если существует А, так что для любого х принадлежащего Х выполняется Ах

3. Ограниченной и сверху и снизу на Х если существует А,В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется АхВ, или существует С, так что для любого х принадлежащего Х выполняется хС

Обратная функция, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f(x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у: х = ((у), является обратной по отношению к данной функции у = f(x). Например, х = есть О. ф. по отношению к у = х3.

Определение (обратной функции):

Пусть существует D,E,C,R

На D: y=f(x) с областью значений Е. Если для каждого у из y=f(x) найдётся единственный х, то говорят, что на множестве Е задана функция обратная к функции f(x), с областью значений D. Иными словами две функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными если выполняется тождества:

y=f(g(y)),  yE y=f(g(y)), для любого уЕ



x=g(f(x)),  xD x=g(f(x)), для любого хD

Примеры:

1)y=x³  x=³y

D=R

E=R

Элементарные: - функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий (+,-,*,/,введение в степень). Основные элементарные ф-ции:

1. y=xⁿ - степенная

2. y=a^x - показательная

3. y=log_ax - логарифмическая

4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические.

5.y=c где c -постоянная

Сложные:

Y=f(U), где U=(x), Y=f[(x)]

Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U, который зависит от независимой переменной х, то y=f[(x)] называется сложным заданием х.

Пусть задано D,E,G,C,R

На D: y=f(x) с областью значения E

На E: z=g(y) с областью значения G

Тогда на множестве D определена сложная функция z=g(f(x)) с областью значения G. Тогда говорят, что g(f(x)) есть суперпозиция функций g,f.

Пример: Пример

z=sin e^x w=arctgcos e^{xx-ln x}

y=e^x=f(x)

z=sin y=g(y)

D=R

E=R₊

G=[-1;1]

4.Предел функции и его единственность. Бесконечно малые и их свойства. Связь предела с бесконечно малыми.

Число А называется пределом ф-ции f(x) при хx₀, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа . ->0, найдется такое как угодно малое на период заданного >0, что будут выполняться неравенства: Если 0<|x-x₀|<, то |f(x)-A|< и х!=х₀

Основные св-ва:
1.Если величина имеет предел, то только 1.

Док-во

{xn} имеет два разл. Предела a и b, а¹ b. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса e = (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.

2. limC=C, где С- постоянная величина

Св-ва б.м.в.:

Если -б.м.в., то lim=0

Это по определению(d(x) –называется БМВ в точке х₀, если lin d(x)=0 при x->x₀)

1. Если и - бесконечно малые при , то сумма - тоже бесконечно малая при ;

2. Если - бесконечно малая и - ограниченная при , то произведение есть бесконечно малая при .

3. Если и - бесконечно малые при , то произведение - тоже бесконечно малая при ;

Доказательство

1. В качестве выберем такое число , что

Обозначив , получаем:

.

По свойству модулей: , обозначив получаем: . Таким образом, , т.е. - бесконечно малая. 

1. - ограничена при , т.е. .

Тогда в качестве можно выбрать число . Тогда .

Обозначив за получаем: . Значит, , т.е. - бесконечно малая при .

1. Докажем лемму. Если - бесконечно малая при , то она ограничена при . (наоборот - неверно!).Доказательство: возьмем и получим, что . Таким образом, при - бесконечно малые. По доказанной лемме - ограничена. Следовательно, по свойству 2 данной теоремы - бесконечно малая.

 Cвязь предела и БМВ

Теорема Для того, чтобы f(x) имела конечный предел в х₀. Необходимо и достаточно, чтобы она была представима: f(x)= a+A(x), где A(х)- БМВ в х₀ a=Lim f(x) при x->x₀

Док-во: 1.Необходимость.есть хотябы 1 a=Lim f(x) x->0 Доказать: f(x)=a+A(x)Док-во.

Обозначим A(X)=f(x)-a и любое E>0 есть хотябы 1 D>0 тогда, любое х: 0<|x-x₀|<D => |f(x)-a|=A(x)<E чтд

2.Достаточность.Есть f(x)=a+A(x) Доказать a=LimF(x) при х->x₀ Док-во

| любое E>0 есть хотябы 1 D>0 тогда, любое х: 0<|x-x₀|<D => |f(x)-a|=|A(x)|<E чтд

В5.Неограниченные величины. Бесконечно большие и их связь с БМВ.