Занятие 8 (АиГ1) (Основные занятия по АиГ), страница 2

ответ: - каноническое уравнение прямой .

4) Обозначим прямую, идущую по биссектрисе треугольника из вершины через . Найдем направляющий вектор прямой . Сначала найдем векторы ,

, затем их орты ,

. Сумма ортов - вектор, направленный по диагонали параллелограмма, построенного на векторах . Т.к. эти векторы имеют одинаковую длину , то параллелограмм является ромбом, а диагональ ромба является одновременно его биссектрисой. Следовательно, вектор

- направляющий вектор прямой . Вместо вектора в качестве направляющего вектора прямой лучше взять вектор . Найдем уравнение прямой .

координаты векторов пропорциональны

ответ: - каноническое уравнение прямой .

Пример 6. Стороны треугольника лежат на прямых заданных общими уравнениями. .

Найти длину высоты этого треугольника из вершины .

Решение. Сначала найдем вершину , которая служит точкой пересечения прямых и . Поскольку эта точка лежит на обеих прямых, ее координаты можно определить из системы . Решение этой системы найдем по правилу Крамера:

.

Из уравнения прямой находим нормальный к ней вектор , который будет параллелен прямой , идущей по высоте , т.е. является направляющим вектором прямой . Найдем общее уравнение прямой .

координаты векторов пропорциональны

- каноническое уравнение прямой

- общее уравнение прямой .

Теперь найдем точку пересечения прямых и , как решение системы

. Эту систему тоже решим по правилу Крамера.

.

Точка является проекцией точки на прямую .

.

8.3. Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

Две прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельны, совпадать. Полезную информацию о взаимном расположении двух прямых дают направляющие векторы и векторы нормали этих прямых. Например, угол (острый или тупой) между прямыми равен углу (острому или тупому) между направляющими векторами этих прямых. Этот же угол равен углу между нормалями к этим прямым.

Расстояние от точки до прямой можно вычислить по формуле: .

Пример 7.

При каких значениях параметров прямые а) пересекаются в одной точке, б) параллельны, но не совпадают, в) совпадают?

Решение. Из общих уравнений прямых найдем их нормальные векторы.

, .

Если прямые параллельны или совпадают, то . Следовательно, ответ на вопрос а) такой: прямые пересекаются в одной точке при .

Если прямые совпадают, то помимо пропорциональности координат векторов , система из дух уравнений должна быть эквивалентна одному уравнению. Уравнение должно быть пропорционально уравнению .

Ответ на вопрос в): прямые совпадают при .

Ответ на вопрос б) вытекает из полученных двух ответов: прямые параллельны, но не совпадают при таких, что и .

Пример 8.

Выяснить взаимное расположение прямых : , : .

Если прямые пересекаются, то найти точку их пересечения и угол между прямыми.

Решение. Из параметрических уравнений прямых , легко находятся их направляющие векторы .

: . : .

Координаты векторов не пропорциональны, значит эти векторы не коллинеарны и значит, прямые , пересекаются в одной точке. Эту точку можно найти такими рассуждениями:

, .

,

. Эту точку можно по-другому. Из параметрических уравнений найдем общие уравнения прямых , . Система из общих уравнений прямых определяет .

: .

: .

.

Чтобы найти угол между прямыми, найдем угол между направляющими векторами , . ,

. Данное значение дает тупой угол между прямыми , .

Острый угол между прямыми , равен .

Пример 9. Стороны треугольника лежат на прямых заданных общими уравнениями. .

Найти длину высоты этого треугольника из вершины .

Решение. Данная задача уже решена примером 6. В отличие от используемых там методов теперь найдем высоту с использованием формулы расстояния точки до прямой. Начало решения повторяет решение в примере 6: находим точку пересечения прямых и .

Теперь отходим от решения в примере 6 и воспользуемся тем, что равно расстоянию от точки до прямой . Следовательно, по формуле

получаем .

_________________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точки .

2. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

3. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .