Занятие 5 (АиГ1) (Основные занятия по АиГ)

5

Занятие 5. Метод Гаусса решения линейных алгебраических систем.

Приведение системы к треугольному виду.

Выделение свободных и базисных неизвестных.

Получение общего решения системы или вывода о несовместности системы.

Изучаемый ниже метод Гаусса решения линейных алгебраических систем

(1)

является универсальным и предоставляет возможность полностью исследовать любую линейную систему. Он показывает, совместна или несовместна заданная система и в случае ее совместности позволяет найти ее общее решение. Напомним, что общим решением системы называется множество всех ее решений.

Основная идея метод Гаусса состоит в том, чтобы решение исходной системы уравнений свести к решению более простой системы. Сформулируем определения и элементарные операции, составляющие основу метода Гаусса.

. Две линейные системы уравнений называются эквивалентными, если они имеют одно и то же общее решение.

. Над системой можно проводить следующие элементарные операции, переводящие заданную систему в эквивалентную ей систему.

1) В системе можно поменять местами любые два уравнения.

2) В системе, во всех ее уравнениях сразу, можно поменять местами слагаемые с любыми двумя выбранными неизвестными.

3) Любое уравнение системы можно умножить на число, отличное от нуля.

4) К любому уравнению системы можно прибавить любое другое уравнение (этой же системы), умноженное на некоторое число.

Далее, эквивалентные системы будем соединять значком ~ .

Пример 1. Дана система уравнений .

1. Поменяв в заданной системе местами 2-е и 3-е уравнения, получим эквивалентную ей систему, т.е.

.

2. Поменяв в заданной системе (во всех уравнениях сразу) местами слагаемые с неизвестными , получим эквивалентную систему, т.е.

.

3. Умножив 3-е уравнение заданной системы на число (-0.5), получим эквивалентную систему, т.е.

.

4. Прибавим к первому уравнению заданной системы второе уравнение, умноженное на (-2), получим новую эквивалентную систему.

.

В примере 1 к заданной системе применены бессистемные элементарные произведения, не преследующие каких-либо целей. В противоположность им, метод Гаусса – целенаправленная последовательность элементарных преобразований, приводящих в итоге линейную систему (1) к системе треугольного вида:

, (2)

в которой все первые коэффициенты отличны от нуля. В этой системе неизвестные , связанные с коэффициентами , называются базисными, а оставшиеся неизвестные - свободными.

В процессе элементарных преобразований системы некоторые уравнения системы могут перейти в равенства 0=0. Появление таких равенств означает, что исходная система содержит «лишние» уравнения, которые являются следствиями других уравнений системы. В этом случае равенства 0=0 отбрасываются. Число уравнений системы при этом уменьшается. Поэтому число уравнений системы (2) может оказаться меньше числа уравнений исходной системы (3).

Если в ходе проведения метода Гаусса появляются невыполнимые равенства типа и т.д., то исследуемая линейная система несовместна.

Еще один совет: элементарные преобразования системы будут выполняться проще, если с помощью этих преобразований добиваться, чтобы коэффициенты , становились равными или .

Общее решение системы (2) находится так: свободным неизвестным присваивают произвольные числовые значения; затем, последовательно двигаясь от последнего уравнения системы (2) вверх к первому уравнению, определяют базисные неизвестные в порядке .

Приведем конкретные примеры применения метода Гаусса к линейным системам

Пример 2. Найти общее решение системы .

Решение. Применим метод Гаусса.

1. Поменяем местами первое и второе уравнения, получим эквивалентную систему

.

2. С помощью первого уравнения исключим неизвестную из второго и третьего уравнений системы . Для этого:

а) прибавим во 2-му уравнению 1-е уравнение, умноженное на число ;

б) к 3-му уравнению прибавим 1-е уравнение.

В результате получим систему

.

3. Два последних уравнения системы образуют подсистему, независящую от неизвестной .

Чтобы упростить последующие преобразования сделаем коэффициент , равным . Для этого вычтем из 2-го уравнения 3-е уравнение (т.е. прибавим ко 2-му уравнению 3-е уравнение, умноженное на число ). После этой операции получим систему

.

4. Теперь, в системе с помощью 2-го уравнения исключим неизвестную из 3-го уравнения. Для этого прибавим к 3-му уравнению 2-е уравнение, умноженное на число .

В итоге получим систему треугольного вида

.

В ней - базисные неизвестные, - свободная неизвестная.

5. Теперь из системы найдем общее решение. Положим , где - произвольное действительное число. Из 3-го уравнения находим .

Для облегчения последующих вычислений положим , где , как и , принимает произвольные действительные значения. Тогда .

Из 2-го уравнения находим .

Наконец, из 1-го уравнения находим .

Таким образом, получен следующий результат: система совместна, и ее общее решение представимо в виде

, , , , где .

Проведем проверку. Для этого подставим найденные выражения неизвестных во все уравнения исходной системы (3).

.

Проверка подтвердила истинность решения .

Обычно для сокращения записей метод Гаусса проводят на расширенных матрицах системы. Расширенной матрицей системы называют матрицу , где - матрица системы, - вектор столбец свободных членов. Для системы (1) расширенная матрица запишется так:

.

1). Операция «перестановка уравнений системы» означает перестановку соответствующих строк расширенной матрицы.

2). Операция «перестановка поменять местами слагаемых с двумя выбранными неизвестными» означает перестановку соответствующих столбцов матрицы .

3). Операция «умножение уравнения на число, отличное от нуля» означает умножение на это число соответствующей строки расширенной матрицы.

4). Операция «прибавление к уравнению системы другого уравнения, умноженного на число» означает аналогичную операцию над строками расширенной матрицы.

Изложение метода Гаусса в примере 2 с применением расширенных матриц запишется в виде.

~ ~

~ ~ ~ система .

Внизу, справа под матрицами указаны выполняемые над системой элементарные операции, выполненные над системой:

1. Переставили местами 1-е и 2-е уравнения.

2. Прибавили ко 2-му уравнению 1-е, умноженное на число ( ).

Прибавили к 3-му уравнению 1-е.

3. Прибавили ко 2-му уравнению 3-е, умноженное на число ( ).

4. Прибавили к 3-му уравнению 2-е, умноженное на число ( ).

Далее находится общее решение системы (см пункт 5. решения примера 2).

Пример 3. Найти методом Гаусса общее решение системы

Решение проведем с использованием расширенных матриц.

~ ~ ~

1. Переставили местами 1-ю и 3-ю строки.

2. Прибавили ко 2-й строке 1-ю строку, умноженную на число 2.

Прибавили к 3-й строке 1-ю строку, умноженную на число ( ).

Прибавили к 4-й строке 1-ю строку, умноженную на число ( ).

Прибавили к 5-й строке 1-ю строку, умноженную на число ( ).

3. Прибавили 2-ю строку к 3-й строке.

Прибавили 2-ю строку к 4-й строке.

~ ~ ~

4. Прибавили к 5-й строке 4-ю строку, умноженную на число ( ).

5. Отбросили 3-ю и 5-ю нулевые строки (они эквивалентны равенству ).

Переставили местами 3-й и 4-й столбцы и над столбцами написали соответствующие

неизвестные.

- система треугольного вида.

свободные неизвестные, базисные неизвестные.

Положим , где . Из 3-го, 2-го, 1-го уравнений системы последовательно находим неизвестные .

.

Ответ. Система совместна, и ее общее решение представимо в виде

, где .

Пример 4. Найти методом Гаусса общее решение системы .

Решение.

~ ~ ~

~ .

1. Прибавили 2-ю строку к 1-й строке.

2. Прибавили ко 2-й строке 1-ю строку, умноженную на 2.

Прибавили к 3-й строке 1-ю строку, умноженную на ( ).

3. Прибавили к 3-й строке 2-ю строку, умноженную на 2.

Наличие в полученной системе невыполнимого равенства означает несовместность заданной системы уравнений.

___________________________________________________________________________________

Домашнее задание.

Решить методом Гаусса следующие системы (или доказать несовместность):

1) ; 2) .