Занятие 4 (АиГ1) (Основные занятия по АиГ)

5

Занятие 4. Использование матриц и определителей при решении линейных алгебраических систем.

4.1. Совместные, несовместные линейные системы. Матричная запись линейной системы.

Невырожденные линейные системы.

4.2. Решение невырожденных систем по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы.

4.1. Совместные, несовместные линейные системы. Матричная запись линейной системы.

Невырожденные линейные системы.

Напомним необходимые определения.

1. Системой линейных алгебраических уравнений называется система уравнений вида

, (1)

где - неизвестные величины, - заданные числа,

называются коэффициентами системы, - свободными членами.

2. Решением системы (1) называется набор чисел , после подстановки которого все уравнения системы (1) становятся числовыми равенствами.

3. Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Система (1) называется несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Пример 1.

Система уравнений является линейной системой из двух уравнений, содержащей три неизвестные величины . Коэффициенты системы: . Свободные члены: .

Эта система совместна, т.к. набор чисел после подстановки в уравнения системы превращает эти уравнения в числовые равенства .

Пример 2.

Система есть линейная система с двумя неизвестными . Эта система не имеет решений. Действительно, если предположить, что какой-то набор чисел является ее решением, то получим и , что невозможно, т.к. . Следовательно, данная система несовместна.

Линейная система (1) эквивалентна матричному уравнению

, (2)

где , ,

- матрица размера из коэффициентов системы, называется матрицей системы,

- матрица размера , называется вектор-столбцом неизвестных,

- матрица размера , называется вектор-столбцом свободных членов.

Запись системы (1) матричным уравнением (2) называется матричным представлением линейной системы.

Пример 3. Записать заданные две линейные системы в матричном виде.

1) , 2) .

Решение.

1) или или ,

где , , .

2) или или ,

где , , .

Особую роль среди систем (1) играют системы, у которых число уравнений (число ) совпадает с числом неизвестных (числом ), т.е. системы вида

(3)

Такие системы называются линейными квадратными системами или системами -го порядка. В матричном представлении этой системы присутствуют:

матрица системы - квадратная матрица -го порядка;

вектор-столбец неизвестных и вектор-столбец свободных членов .

Определитель называется главным определителем системы (3). Если , то система (3) называется невырожденной системой, если же , то система (3) называется вырожденной.

Например, система уравнений из примера 2 является вырожденной, т.к. эта система – система второго порядка, и ее главный определитель равен нулю.

4.2. Решение невырожденных систем по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы.

Перейдем к рассмотрению двух важных методов решения линейных невырожденных систем. Это - метод Крамера и матричный метод.

Метод Крамера вытекает из следующей теоремы. Если главный определитель системы (3) отличен от нуля, то система имеет только одно решение, и это решение можно найти по формулам

, (4)

где - главный определитель системы, - вспомогательные определители, получающиеся из главного определителя заменой в нем -го столбца столбцом свободных членов. Формулы (4) называются формулами Крамера.

Пример 4. Решить методом Крамера систему .

Решение.

Найдем главный определитель системы.

.

Следовательно, заданная система невырождена и имеет только одно решение. Найдем его по формулам Крамера. Для этого вычислим вспомогательные определители .

1) получается из определителя заменой его первого столбца столбцом свободных членов.

.

2) получается из определителя заменой его второго столбца столбцом свободных членов.

.

2) получается из определителя заменой его третьего столбца столбцом свободных членов.

.

Согласно формулам Крамера (4) получаем

.

Проверка: подтверждает правильность найденного решения.

Пример 5. Решить методом Крамера систему .

Решение.

1) система невырождена и имеет только одно решение.

2) , .

3) .

Ответ. - решение системы.

Замечание. Если система линейных уравнений (3) вырождена, то метод Крамера не применим. Исследование вырожденных систем проводится другими методами (например, методом Гаусса, изучаемым на занятии 5). Пока же отметим, что вырожденная система либо несовместна, либо имеет более одного решения.

Например, вырожденная система несовместна (см. пример 2), а

вырожденная система совместна и имеет бесконечно много решений: , где - произвольное действительное число.

Матричный метод решения невырожденных линейных систем, который еще называют методом решения систем с помощью обратной матрицы, заключается следующем.

1. Представим систему (3) матричным уравнением .

2. Найдем матрицу . Эта матрица существует, т.к. .

3. Умножив слева уравнение на матрицу , получим решение в виде

. (5)

Если система (3) вырождена, то матрица не определена. Поэтому матричный метод решения линейных систем и метод Крамера применимы к одному и тому же классу линейных систем, а именно к множеству линейных невырожденных систем.

Пример 6. Решить матричным методом систему из примера 4.

Решение.

1. Заменим систему матричным уравнением , в котором

, , .

2. . Следовательно, существует. Вычисления (их предоставляем читателю, при затруднениях следует просмотреть занятие 3) показывают, что .

3. Находим решение по формуле (5).

Таким образом выводим: . Этот же ответ получен в примере 4 с помощью правила Крамера.

Матричный метод применим (помимо невырожденных линейных систем) при решении следующих матричных уравнений: ; ; , в которых - заданные невырожденные квадратные матрицы, - неизвестная матрица, - заданная матрица.

1) В случае решение получаем после умножения уравнения слева на матрицу . Ответом будет .

2) В случае решение находится после умножения уравнения справа на матрицу .

Ответ: .

3) В случае надо умножить это уравнение слева на матрицу и справа на матрицу . Ответ: .

Пример 7. Решить матричное уравнение .

Решение. Дано уравнение , где , , ,

- невырожденная матрица, ее определитель равен 1. Неизвестную матрицу находим по формуле . Вычисление матрицы опять оставляем читателю. Приведем итоговые результаты.

, .

Пример 8. Решить матричное уравнение .

Решение. Дано уравнение , где .

- невырожденная матрица, , . Вычисление матрицы оставляем читателю.

Неизвестную матрицу находим по формуле .

Пример 9. Решить уравнение .

Решение. Имеем матричное уравнение с матрицами

.

(см. пример 7). (см. пример 8).

.

Проверка. Подставим найденную матрицу в заданное уравнение и убедимся, что полученное произведение трех матриц дает матрицу

.

_____________________________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Решить систему двумя способами

а) с помощью правила Крамера; б) с помощью обратной матрицы.

2. Решить следующие матричные уравнения:

; .