Занятие 3 (АиГ1) (Основные занятия по АиГ)

5

Занятие 3. Определители (продолжение). Обратная матрица

3.1. Миноры и алгебраические дополнения.

3.2. Разложение определителя по строке (столбцу).

3.3. Обратная матрица, ее нахождение. Невырожденные и вырожденные матрицы.

3.1. Миноры и алгебраические дополнения.

Часто применяемым, а потому важным приемом вычисления определителей является «правило разложения определителя по строке или столбцу ». Этот прием позволяет свести вычисление определителя -го порядка к вычислению не более, чем определителей -го порядка. Чтобы правильно пользоваться этим правилом требуется уметь находить следующие величины: миноры и алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы. Напомним их определения.

Минором элемента квадратной матрицы называется определитель, полученный из определителя вычеркиванием -й строки и -го столбца, т.е. строки и столбца на пересечении которых стоит элемент .

Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называется число , где -минор элемента .

Перейдем к примерам.

Пример 1. Найти миноры и алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы .

Решение.

1) Согласно определению минора, минор получается из определителя матрицы вычеркиванием 2-й строки и 1-го столбца. Следовательно, .

2) Минор получается из определителя матрицы вычеркиванием 2-й строки и 1-го столбца. .

3) .

4) .

Пример 2. Найти миноры и алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы .

1) .

2) . .

Вычисление определителей и получение окончательного ответа предоставляем читателю.

3.2. Разложение определителя по строке (столбцу).

Разложение определителя по й строке производится по формуле:

. (1)

Аналогично разлагается определитель по му столбцу:

. (2)

Пример 3. Вычислить определитель матрицы из примера 1 тремя способами: по правилу Саррюса; разложением по 2-й строке; разложением по 3-му столбцу.

Решение.

1) По правилу Саррюса: .

2) Разложение определителя по 2-й строке согласно формуле (1) имеет вид:

.

Т.к. и

,

получаем .

3) Разложение определителя по 3-му столбцу согласно формуле (3) дает:

.

Следовательно,

Во всех трех случаях получен один и тот же результат, что и должно быть.

Пример 4. Вычислить определитель матрицы из примера 2 двумя способами: разложением по 2-й строке и разложением по 3-му столбцу.

Решение.

1) Разложение определителя по 2-й строке имеет вид:

.

,

,

.

Следовательно, .

2) Разложение определителя по 3-му столбцу имеет вид:

.

,

,

.

Следовательно, .

Комбинирование основных свойств определителей с методом разложения определителя по строке (столбцу) является наиболее эффективным средством вычисления определителей 4-го и более высоких порядков.

Пример 5. Вычислить определитель .

Решение.

.

Здесь над определителем проведены следующие действия.

1. Ко 2-му столбцу прибавили 1-й столбец, умноженный на (-1).

2. Полученный определитель (с индексом 2 внизу) разложили по 2-му столбцу.

Пример 6. Вычислить определитель .

Решение.

Здесь индексами отмечены следующие действия.

1. К 2-й строке определителя прибавлена 1-я строка,

к 3-й строке прибавлена 1-я строка, умноженная на ,

к 4-й строке прибавлена 1-я строка, умноженная на ,

к 5-й строке прибавлена 1-я строка, умноженная на 4.

2. Полученный определитель (с индексом 2 внизу) разложили по 1-му столбцу.

3. В определителе с индексом 3

к 2-й строке прибавили 1-ю, умноженную на 11,

к 3-й строке прибавили1-ю, умноженную на 5,

к 4-й строке прибавили 1-ю, умноженную на .

4. Определитель с индексом 4 разложили по 1-му столбцу.

5. В определителе с индексом 5 к 1-му столбцу прибавили 3-й столбец, умноженный на 9.

6. Определитель с индексом 6 разложили по 1-й строке.

3.3. Обратная матрица, ее нахождение. Невырожденные и вырожденные матрицы.

Пусть - квадратная матрица. Матрица называется обратной матрицей для матрицы , если , где единичная матрица. Т.к. , то отсюда выводится, что , т.е. обратная матрица определяется только для матриц , определитель которых не равен нулю. Такие матрицы называются невырожденными (квадратные матрицы, у которых определитель равен нулю называются вырожденными). Для неквадратных матриц размером , обратная матрица не определяется.

Приведем последовательность действий, позволяющих найти по заданной матрице .

1. Вычисляем . Если , то делается вывод: не существует. Если матрица существует и для ее нахождения переходим к выполнению следующих пунктов.

2. Находим все алгебраические дополнения матрицы и составляет из них матрицу .

3. Находим .

4. Вычисляем по формуле: .

Пример 7. Найти обратную матрицу для матрицы .

Решение.

1. матрица не вырождена и матрица существует.

2. Вычислим все алгебраические дополнения матрицы и составим из них матрицу .

.

3. Транспонируем матрицу . .

4. Находим искомую матрицу . .

Сделаем проверку. Должно быть и , где - единичная матрица.

1-я проверка. , где

Следовательно, .

2-я проверка. , где

Следовательно, .

Ответ. .

Пример 8. Найти обратную матрицу для матрицы .

Решение. Ответ. не существует.

Пример 9. Найти обратную матрицу для матрицы .

Решение.

1. существует.

2. Найдем все алгебраические дополнения матрицы и составим из них матрицу .

.

.

3. .

4.

Проверка.

.

Ответ. .

Домашнее задание.

1. Дана матрица .

Найти миноры и алгебраические дополнения

Вычислить определитель матрицы двумя способами:

а) разложением по 3-й строке; б) разложением по 4-му столбцу.

2. Найти обратные матрицы для матриц , .