Занятие 2 (АиГ1) (Основные занятия по АиГ)

5

Занятие 2. Определители.

2.1. Понятие перестановки. Инверсия, транспозиция. Четность (нечетность) перестановки.

2.2. Определитель -го порядка. Правила Саррюса вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

2.3. Основные свойства определителей.

2.1. Перестановки. Инверсия, транспозиция. Четность (нечетность) перестановки.

Возьмем первые натуральных чисел: 1, 2, …, . Любой набор этих чисел, расставленных в некотором порядке, называется перестановкой.

Пример 1. Наборы , , , , , представляют собой перестановки первых четырех натуральных чисел.

Число различных перестановок из символов 1, 2, …, равно .

Если в некоторой перестановке поменять местами два символа (не обязательно соседние), то получится новая перестановка, Такое преобразование перестановки называется транспозицией.

Пример 2. Перестановка получается транспозицией чисел 3, 4 из перестановки . Эту транспозицию запишем так: . В свою очередь, запись означает, что перестановка получена транспозицией чисел 4, 2 из перестановки .

В перестановке числа составляют инверсию, если , но .

Пример 3. Перестановка содержит 8 инверсий:

- три инверсии; - две инверсии; - две инверсии; - одна инверсия. Всего – 8 инверсий.

Перестановка называется четной (нечетной), если она содержит четное (нечетное) число инверсий. Перестановка из примера 3 содержит 8 инверсий, значит она четная.

Любая транспозиция перестановки меняет ее четность.

Пример 4. Рассмотрим перестановку , полученную транспозицией чисел 3, 1 из четной перестановки . Перестановка должна быть нечетной. Так оно и есть, поскольку перестановка содержит: - три инверсии и - две инверсии. Всего – 5 инверсий.

Четность (нечетность) перестановки можно также определить по количеству транспозиций, переводящих эту перестановку в перестановку .

Перестановка будет четной (нечетной), если для этого требуется провести четное (нечетное) число транспозиций.

Пример 5. Перестановку можно перевести в перестановку с нормальным порядком расположения чисел следующими тремя транспозициями:

; ; . Следовательно, перестановка - нечетная, что согласуется с выводами примера 4, приведенного выше.

2.2. Определитель -го порядка.

Правила Саррюса вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

С каждой квадратной матрицей связано число, называемое определителем (детерминантом) матрицы . Это число обозначается или . Если - квадратная матрица -го порядка, то по определению ее определитель (детерминант) равен

, (1)

где сумма берется по всем перестановкам чисел 1,2, … , ,

- четность перестановки : , если перестановка четная и , если перестановка нечетная. Т.к. имеется различных перестановок, то в сумме (1) присутствуют слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение элементов матрицы (взятых по одному из каждой строки и столбца матрицы), умноженное еще на число .

Выясним, к каким результатам приводит формула (1) для определителей 1,2,3-го порядка.

1) Пусть - квадратная матрица 1-го порядка, тогда согласно (1)

.

В этом случае - четная перестановка (в ней 0 инверсий).

2) Пусть - квадратная матрица 2-го порядка. Количество всех перестановок из двух чисел 1;2 равно 2! =2. Укажем эти перестановки и их четность:

- четная (0 инверсий), для этой перестановки ;

- нечетная (1 инверсия), для этой перестановки .

Следовательно, согласно формуле (1) определитель 2-го порядка равен

.

Окончательная формула имеет вид

. (2)

3) Пусть - квадратная матрица 3-го порядка. Количество всех перестановок из трех чисел 1,2,3 равно 3! =6. Укажем все эти перестановки и их четность:

- четная (0 инверсий), для этой перестановки ;

- четная (2 инверсии: 2>1, 3>1), для этой перестановки ;

- четная (2 инверсии: 3>1, 3>2), для этой перестановки ;

- нечетная (1 инверсия: 2>1), для этой перестановки ;

- нечетная (1 инверсия: 3>2), для этой перестановки ;

- нечетная (3 инверсии: 3>2,3>1,2>1), для этой перестановки .

Таким образом, в силу (1) определитель 3-го порядка равен

.

Окончательная формула для вычисления определителя 3-го порядка имеет такой вид

(3)

Формулы (2), (3) вычисления определителей 2-го и 3-го порядков называются правилами Саррюса. Их легко запомнить и использовать при вычислении определителей 2-го и 3-го порядков.

Пример 6. Вычислить определители

, , ,

, , .

Решение. Воспользуемся правилом (2) для определителей 2-го порядка и правилом (3) для определителей 3-го порядка.

,

,

,

,

.

2.3. Основные свойства определителей.

Определители обладают важными свойствами, которые позволяют проводить простые математические операции с его строками и столбцами. Они позволяют упростить заданный определитель до такого состояния, когда его вычисление становится элементарным. Сформулируем эти свойства, которые верны для определителей любого порядка.

. Если в определителе поменять местами любые две строки (или любые два столбца), то определитель изменяет знак.

Покажем действие свойства на примере определителя 3-го порядка.

.

Здесь над определителем проведены следующие преобразования:

1) в заданном определителе поменяли местами 1-й и 3-й столбцы;

2) во втором определителе поменяли местами 2-ю и 3-ю строчки.

. Определитель не меняет своего значения, если к любой его строке прибавить любую другую строку, умноженную на некоторое число. Аналогичное действие применимо к столбцам определителя, т.е. определитель также не меняет своего значения, если к любому его столбцу прибавить любой другой столбец, умноженный на некоторое число.

Приведем действие свойства на примере определителя 4-го порядка.

.

Здесь к определителю последовательно проведены следующие преобразования:

1) ко 2-му столбцу прибавили 1-й столбец, умноженный на (-1);

2) затем в полученном (втором определителе) ко 2-й строке прибавили 4-ю строку, умноженную на число (-2).

В результате этих действий пришли к новому (третьему) определителю, содержащему пять нулевых элементов.

Очевиден следующий факт: чем больше нулевых элементов в определителе, тем проще его вычисление.

. Определитель, содержащий нулевую строку (или нулевой столбец) равен нулю.

Например,

.

. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на ее главной диагонали. Напомним: квадратная матрица является треугольной, если все ее элементы, стоящие под (или над) главной диагональю равны нулю.

Например,

, ,

.

. Если какая-то строка (столбец) определителя имеет общий множитель , то число можно поставить множителем перед определителем, уменьшив при этом соответствующую строку (столбец) в раз.

Например,

,

В первом определителе множитель 2 вынесен из второй строки.

Во втором определителе множитель 4 вынесен из третьего столбца.

С помощью свойств вычисление любого определителя можно свести к вычислению определителя треугольной матрицы.

Пример 7. Вычислить определитель .

Решение.

Здесь при вычислении заданного определителя были проведены следующие преобразования.

1) В 1-м определителе (с индексом 1 внизу справа) ко 2-му столбцу прибавили 1-й столбец, умноженный на .

2) В полученном 2-м определителе (с индексом 2 внизу справа) поменяли местами 1-й и 2-й столбцы. При этом изменился знак.

3) В полученном 3-м определителе (с индексом 3) поменяли местами 2-ю и 4-ю строки. Опять поменялся знак.

4) В полученном 4-м определителе (с индексом 4) к 3-й строке прибавили 2-ю строку и к 4-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на число .

5) В полученном 5-м определителе (с индексом 5) к 3-й строке прибавили 4-ю строку.

6) В полученном 6-м определителе (с индексом 6) к 4-й строке прибавили 3-ю строку, умноженную на число 4.

7) Полученный определитель (с индексом 7) вычислили, пользуясь свойством .

В заключение отметим следующие факты:

1. Определители матриц и равны, т.е. .

2. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей, т.е. .

_____________________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Определить четность перестановки .

2. Даны квадратные матрицы

, , , .

1) Вычислить определители матриц по правилам Саррюса.

2) Вычислить определитель матрицы с помощью свойств определителей (сведя его к определителю матрицы треугольного вида).

5