Занятие 1 (АиГ1) (Основные занятия по АиГ)
Описание файла
Файл "Занятие 1 (АиГ1)" внутри архива находится в папке "Основные занятия по АиГ". Документ из архива "Основные занятия по АиГ", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "алгебра и геометрия (линейная алгебра)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Занятие 1 (АиГ1)"
Текст из документа "Занятие 1 (АиГ1)"
5
Занятие 1. Матрицы. Операции над матрицами.
1.1. Операции с матрицами: равенство матриц; умножение матрицы на число; сложение матриц; перемножение матриц. Основные свойства операций сложения и умножения матриц.
1.2. Транспонирование матрицы.
1.3. Квадратные, треугольные, диагональные, симметрические матрицы. Единичная матрица.
1.4. Возведение квадратной матрицы в натуральную степень.
Сначала вспомним определение матрицы. Матрица – прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов, записанная в круглых скобках или двойных прямых чертах.
Пример 1.
1) - матрица размером , содержащая 3 строки и 2 столбца.
3) - матрица размером . Матрицу с одним столбцом часто называют вектор-столбцом.
4) - матрица размером . Матрицу с одной строкой также называют вектор-строкой.
Элементы матрицы обозначаются , где первый индекс означает номер строки, - номер столбца, на пересечении которых стоит соответствующий элемент. Так в примере 1 для матриц имеем
1.1. Операции над матрицами.
1.1.1. Равенство матриц. Матрица равна матрице , если у обеих матриц одинаковые размеры и , т.е. совпадают соответствующие элементы этих матриц для всех возможных наборов индексов .
Пример 2.
3) , т.к. матрицы имеют различные размеры.
1.1.2. Умножение матрицы на число происходит по правилу:
Пример 3.
1.1.3. Сложение матриц и возможно только для матриц с одинаковыми размерами и производится по правилу: , где .
Пример 4.
Операции сложения матриц и умножение матриц на число обладают следующими свойствами:
- свойство коммутативности сложения матриц;
- свойство ассоциативности сложения матриц;
- первый закон дистрибутивности;
- второй закон дистрибутивности.
1.1.4. Нахождение разности матриц определяется с помощью рассмотренных выше операций умножения матрицы на число и сложения матриц: . Аналогично, .
Пример 5.
1.1.5. Перемножение матриц. Матрицу можно умножить слева на матрицу (или матрицу можно умножить справа на матрицу ) и, тем самым, найти произведение только тогда, когда число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы . Если под матрицами написать их размеры, то
где
Формула (1) показывает, какие размеры будет иметь матрица , а формула (2) определяет правило, по которому находятся элементы матрицы . Говорят также, что элемент матрицы есть результат «скалярного произведения» -й строки матрицы на -й столбец матрицы .
(скалярному произведению 1-й строки матрицы на 1-й столбец матрицы )=
(скалярному произведению 1-й строки матрицы на 2-й столбец матрицы )=
(скалярному произведению 2-й строки матрицы на 1-й столбец матрицы )=
(скалярному произведению 2-й строки матрицы на 2-й столбец матрицы )=
(скалярному произведению 1-й строки матрицы на 1-й столбец матрицы )=
(скалярному произведению 1-й строки матрицы на 2-й столбец матрицы )=
(скалярному произведению 1-й строки матрицы на 3-й столбец матрицы )=
(скалярному произведению 2-й строки матрицы на 1-й столбец матрицы )=
(скалярному произведению 2-й строки матрицы на 2-й столбец матрицы )=
(скалярному произведению 2-й строки матрицы на 3-й столбец матрицы )=
(скалярному произведению 3-й строки матрицы на 1-й столбец матрицы )=
(скалярному произведению 3-й строки матрицы на 2-й столбец матрицы )=
(скалярному произведению 3-й строки матрицы на 3-й столбец матрицы )=
Операции умножения матриц и сложения матриц имеют следующие свойства:
- свойство коммутативности умножения матриц в общем случае
не выполняется (это видно уже из примера 6);
- свойство ассоциативности умножения матриц;
- первый закон дистрибутивности;
- второй закон дистрибутивности.
1.2. Транспонирование матрицы. Транспонирование матрицы обозначается и означает операцию переписывания строк (столбцов) матрицы в виде соответствующих столбцов (строк).
Пример 7.
1.3. Квадратные, треугольные, диагональные, симметричные матрицы. Единичная матрица.
Матрица называется квадратной, если число строк и столбцов в ней одинаково.
Примеры квадратных матриц:
1) - матрица с размерами - квадратная матрица 1-го порядка;
2) - матрица с размерами - квадратная матрица 2-го порядка;
3) - квадратная матрица 3-го порядка.
Элементы квадратной матрицы -го порядка образуют главную диагональ этой матрицы. Квадратная матрица называется треугольной, если под ее главной диагональю (или над ее главной диагональю) все элементы равны нулю.
Примеры треугольных матриц:
, - верхне-треугольные матрицы 2-го и 3-го порядка соответственно;
- нижне-треугольные матрицы 3-го и 4-го порядка соответственно.
Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы при .
Примеры диагональных матриц:
, , - диагональные матрицы 2-го, 3-го и 4–го порядка соответственно.
Для диагональных матриц выполнен закон коммутативности умножения матриц .
Квадратная матрица называется симметрической, если или другими словами .
Например,
Единичными матрицами называются диагональные матрицы, у которых все диагональные элементы равны единице. Эти матрицы обычно обозначаются буквой .
Примеры единичных матриц:
, , - единичные матрицы 2-го, 3-го и 4–го порядка соответственно. Эти матрицы получили такое название в связи с тем, что для любой матрицы размера выполнены равенства и . Если же - квадратная матрица порядка , то .
1.4. Возведение квадратной матрицы в натуральную степень.
Домашнее задание.