rpd000003061 (161400 (24.05.05).С1 Прицельно-навигационные системы ЛА), страница 8

Детерминированные дискретные задачи оптимального управления динамическими системами используют модель функционирования динамической системы следующего вида

,

где - шаги функционирования динамической системы; - вектор состояния динамической системы, ; - вектор управления. То есть в отличие от непрерывной системы, способной изменять свое состояние в любой произвольный момент времени, дискретная система изменяет свое состояния только в фиксированные моменты времени, число которых конечно (счетно). Для детерминированных дискретных задач также возможны постановки задач программирования и синтеза оптимального управления.

Детерминированная задача программирования оптимального управления предполагает отыскание такой последовательности управлений , , которая доставляет экстремум функционала качества следующего вида:

Детерминированная задача синтеза оптимального управления предполагает отыскание на каждом шаге функционирования динамической системы управлений , в зависимости от вектора состояния системы, таких которые доставляют экстремум вышеприведенного функционала качества.

Стохастические дискретные задачи оптимального управления динамическими системами используют модель функционирования динамической системы следующего вида

,

где - вектор случайных возмущений.

Для стохастических задач оптимального управления также могут быть сформулированы задачи программирования и синтеза оптимального управления, которые могут быть сведены к детерминированным задачам путем перехода к функционалу качества

Все ранее рассматриваемые постановки задач оптимального управления динамическими системами опирались на предположение о том, что в процессе управления измерению доступен вектор состояния динамической системы . Подобные задачи управления называются задачами управления по полным данным. Однако, на практике распространены ситуации, когда измерению доступен не сам вектор состояния динамической системы , а некоторый вектор , связанный с вектором состояния некоторым соотношением

где - в общем случае вектор ошибок измерений. В подобном случае возникает задача оптимального управления (в детерминированной и стохастической постановке) по неполным данным.

Мы рассмотрели классификацию динамических задач оптимального управления, отражающую их многообразие. Обсуждение методов решения всех перечисленных задач оптимизации требует достаточно большого объема времени. Поэтому в рамках нашего курса мы ограничимся лишь детерминированными задачами оптимального управления по полным данным.

ТЕМА 11.doc

Тема 11. Необходимые условия оптимальности для непрерывных систем. Стохастический принцип максимума.

Ранее были получены условия оптимального управления для детерминированных систем в виде принципа максимума Понтрягина. Напомним основные соотношения детерминированного принципа максимума. Модель динамической системы имеет вид:

(15.1)

В общем случае используется интегро-терминальный критерий оптимальности вида

(15.2)

Применительно к задаче программирования оптимального управления для динамической системы (15.1) с критерием оптимальности (15.2) реализация принципа максимума опирается на следующие соотношения:

, (15.3)

, , (15.4)

Гамильтониан

(15.5)

Условие оптимальности управления:

(15.6)

В вычислительном плане реализация приведенных необходимых условий оптимальности приводит к необходимости решения краевой задачи для канонической системы дифференциальных уравнений.

Приведенные выше необходимые условия оптимальности управления распространяются на случай, когда в модели динамической системы присутствуют случайные возмущения, то есть модель имеет вид

, (15.7)

где - соответственно векторы состояния и управления, начальное состояние динамической системы задано, - вектор функция, предполагаемая непрерывно-дифференцируемой по своим аргументам, - случайный процесс с известными статистическими характеристиками.

В качестве критерия оптимальности в этом случае, как и в случае дискретной системы, выступает

(15.8)

Для получения необходимых условий оптимальности для рассматриваемой системы необходимо осуществить дискретизацию исходной непрерывной системы, применить необходимые условия оптимальности для полученной дискретной задачи и осуществить обратный предельный переход к непрерывному случаю. В результате приходим к следующим соотношениям, выражающим стохастический принцип максимума

, (15.9)

, , (15.10)

Гамильтониан

(15.11)

Условие оптимальности управления:

(15.12)

Для задачи Майера (задачи управления конечным состоянием)

(15.14)

выражения (15.9) - (15.12), реализующие стохастический принцип максимума сохраняют свою силу. Различия заключаются в записи гамильтониана, который записывается в виде

Как следует из приведенных выше выражений особенностью стохастического принципа максимума является зависимость гамильтониана от случайных факторов, что чрезвычайно осложняет решение задачи по сравнению с детерминированным случаем. Если в детерминированной задаче реализация принципа максимума приводила к необходимости решения краевой задачи, о в данном случае не только решать краевую задачу для канонической системы дифференциальных уравнений, но одновременно выполнять статистическое усреднение значений гамильтониана по множеству реализаций случайного вектора в процессе максимизации гамильтониана.

ТЕМА 10.doc

Тема 10. Задачи оптимального управления при действии случайных возмущений. Необходимые условия оптимальности для дискретных систем

Все рассмотренные ранее задачи оптимального управления динамическими системами базировались на предположении о том, что их математическое описание может быть проведено с помощью детерминированных (непрерывных или дискретных) математических моделей. В реальных условиях на летательный аппарат действуют случайные возмущения, влияние которых необходимо учитывать.

Далее будут рассмотрены некоторые проблемы программирования и синтеза оптимального управления при действии случайных возмущений с известными статистическими характеристиками. Прежде всего сформулируем в подобной ситуации необходимые условия оптимальности для дискретных динамических систем.

Будем полагать, что динамическая система описывается разностным нелинейным уравнением вида:

(14.1)

где как и ранее - вектор состояния динамической системы на текущем шаге ее функционирования размера , - вектор управления размера ; - вектор случайных возмущений; - вектор-функция, описывающая изменение состояния динамической системы в процессе функционирования. На каждом шаге функционирования динамической системы на управления накладываются ограничения .

Будем считать, что статистические характеристики случайных векторов полностью известны. Также положим, что начальное состояние динамической системы известно, поскольку возможные случайные разбросы начальных условий могут быть учтены соответствующими компонентами вектора .

Задача программирования оптимального управления, как и в случае детерминированной системы, заключается в определении последовательности , которая обеспечивает перевод системы (14.1) из начального состояния в конечное с минимальным значением некоторого критерия.

В процессе исследования задач программирования оптимального управления для детерминированных систем было показано, что задачи Больца и Лагранжа путем соответствующей замены переменных всегда могут быть сведены к задаче Майера управления конечным состоянием. То есть в качестве универсального критерия в детерминированных задачах оптимального управления можно использовать некоторую функцию конечного состояния . Однако, в условиях присутствия случайных факторов конечное состояние динамической системы является случайной величиной, а значит, и функция также случайная величина. В этих условиях в качестве критерия оптимальности управления следует рассматривать некоторую статистическую характеристику этой случайной величины, например, ее математическое ожидание. Исходя из этого в качестве критерия оптимальности будем рассматривать критерий вида:

(14.2)

В соответствии с определением математического ожидания в развернутом виде выражение (14.2) можно представить следующим образом:

(14.3)

где - плотность распределения вероятностей случайного вектора ; множество - множество реализаций случайного вектора .

Получим необходимые условия оптимальности управления в данной задаче, применяя схему рассуждений, использованную ранее в процессе исследования детерминированных систем. Будем полагать, что на конечное состояние системы влияют управляющие воздействия на каждом шаге функционирования системы и возмущения , то есть

В данной записи - блочный вектор, компонентами которого являются векторы управления на каждом шаге функционирования ДС, то есть , - блочный вектор с компонентами , отражающими влияние случайных возмущений на каждом шаге функционирования.

Если - оптимальное управление (оптимальная последовательность управлений), доставляющая минимум критерия , то:

, (14.4)