rpd000003061 (161400 (24.05.05).С1 Прицельно-навигационные системы ЛА), страница 3

Прикрепленные файлы: ПЗ5.doc

Описание: Иллюстрация алгоритма оптимального управления линейной системой в условиях присутствия случайных возмущенийц на примере однопараметрической коррекции траектории наведения ракеты

1.6.2. Оптимальное стохастическое управление космическим летательным аппаратом вм бессиловом поле(АЗ: 4, СРС: 0)

Форма организации: Практическое занятие

Прикрепленные файлы: ПЗ6.doc

Описание: Реализация алгоритма оптимального управления линейной динамической системой при наличии случайных возмущений на примере коррекции орбиты космичесского летательного аппарата

1. Лабораторные работы

1. Типовые задания

Приложение 3
к рабочей программе дисциплины
«Алгоритмы оптимального управления »

Прикрепленные файлы

ПЗ6.doc

Практическое занятие 9. Оптимальное стохастическое управление летательным аппаратом в бессиловом поле

Постановка задачи. Предположим, что в бессиловом поле движется летательный аппарат под действием силы тяги двигателя. Математическая модель движения подобного ЛА может быть представлена в виде

где - скорость ЛА; - путь ЛА, пройденный к текущему моменту времени - программная (неслучайная) составляющая управляющего ускорения; - случайное возмущение. Будем считать, что статистические характеристики случайного возмущения полностью известны, причем:

.

Поставим задачу отыскания такой программы управления , которая обеспечила бы перевод ЛА из заданного начального состояния , в требуемое конечное , с минимальным значением критерия

.

Интегральная компонента в критерии выражает среднее значение расхода топлива, затрачиваемого на процесс управления, а величина является мерой близости конечного состояния ЛА к требуемому. Коэффициент имеет смысл весового коэффициента, за счет выбора которого устанавливается компромисс между этими составляющими критерия.

Схема решения. Для решения задачи воспользуемся необходимыми условиями оптимальности для непрерывной стохастической системы. Гамильтониан в данном случае имеет вид

Сопряженная система

,

Граничные условия

.

Необходимое условие оптимальности

Отсюда находим искомое управление:

Из сопряженной системы уравнений с учетом граничных условий следует, что

Поэтому

.

В этом выражении - математические ожидания переменных состояния ЛА в конечный момент времени. Как следует из модели движения ЛА для математических ожиданий переменных состояния справедливы дифференциальные уравнения

,

которые необходимо интегрировать при начальных условиях

,

Интегрируя эту систему дифференциальных уравнений с учетом условий

получим:

Если в последних выражениях принять , то придем к алгебраическим уравнениям относительно неизвестных вида

Решив эту систему алгебраических линейных уравнений, определим . Подставив полученные значения в выражение для сопряженной переменной

,

а затем в выражение для управления

получаем искомую программу управления.

ПЗ5.doc

Практическое занятие 8. Пример оптимизации процесса однопараметрической коррекции в условиях случайных возмущений

Постановка задачи. Покажем на примере однопараметрической коррекции траектории движения ракеты, как могут быть использованы необходимые условия оптимальности для дискретных стохастических систем. Математическую модель процесса коррекции запишем в виде

где как и ранее - прогнозируемый в момент промах; - корректирующее воздействие; - коэффициент влияния - случайное возмущение, обусловленное ошибками измерения траекторных параметров ошибками реализации корректирующего воздействия. Будем считать, что статистические характеристики случайных возмущений полностью известны:

Будем искать корректирующие воздействия в виде

Задача, следовательно, состоит в определении таких коэффициентов , при которых достигается минимум критерия

С учетом принятой структуры управления

.

Схема решения. Известно, что в задаче с критерием

выражение для гамильтониана имеет вид

То есть , в нашем случае

Поскольку в рассматриваемой задаче ограничения на управление не накладываются, необходимые условия оптимальности принимают вид:

Раскроем выражение для производной гамильтониана

Тогда математическое ожидание

,

где - дисперсия промаха.

Определим сопряженный вектор, воспользовавшись каноническим уравнением

,

.

Основная проблема использования необходимых условий оптимальности в стохастических задачах состоит в раскрытии операции математического ожидания. В данном случае необходимо найти математическое ожидание , котрое зависит от искомых коэффициентов .

Раскроем связь сопряженной переменной с промахом с помощью выражений

и

получим

,

где параметр удовлетворяет рекуррентному соотношению

С учетом выражения для выражение для принимает вид:

,

откуда находим искомые коэффициенты

Сравним полученный результат с оптимизацией однопараметрической коррекции в детерминированном случае.

Постановка задачи. Рассмотрим задачу коррекции траектории ЛА по некоторому скалярному параметру (задачу однопараметрической коррекции) с целью минимизации конечной ошибки. Пусть - скалярная переменная, представляющая величину ошибки (промаха) по выбранному параметру траектории. Обозначим - промах, прогнозируемый в момент совершения коррекции; - величина корректирующего воздействия, - заданный коэффициент влияния -го корректирующего воздействия на конечный промах. Тогда в качестве математической модели процесса коррекции можно рассмотреть следующую скалярную дискретную модель

количество корректирующих воздействий фиксировано . Предполагается, что начальный (до выполнения программы коррекции) прогнозируемый промах известен.

Необходимо определить такую последовательность корректирующих воздействий , которая при располагаемых энергетических возможностях обеспечит минимум конечного промаха . Ограничение по энергетическим затратам на проведение коррекции учитываются в виде неравенства следующего вида

.

Для того, чтобы учесть энергетические ограничения на проведение коррекции будем использовать критерий следующего вида

,

где - некоторая неотрицательная константа, которую в дальнейшем будем определять из условия

.

Таким образом имеем задачу программирования оптимального управления вида

Заметим, что в данном случае ограничения на управления в отельные моменты коррекции отсутствуют.

Итак, имеет место задача программирования оптимального управления для линейной дискретной динамической системы с критерием оптимальности общего вида. Ранее было получено выражение для гамильтониана задаче управления динамической системой

С критерием вида

.

Применительно к рассматриваемой задаче гамильтониан записывается как

Условием оптимальности управления является минимум гамильтониана

Воспользуемся необходимым условием экстремума

Поскольку в данном случае гамильтониан является выпуклой функцией управления, стационарная точка, определяемая на основе необходимых условий экстремума, является точкой минимума.

Откуда

Определим значение сопряженной переменной

То есть

С учетом этого

Воспользоваться приведенным выражением для оптимального управления затруднительно, поскольку по условию задачи конечный промах не задан (он должен быть минимизирован). Однако, это выражение определяет структуру управления. Подставим выражение для оптимального управления в модель динамической системы

Имеем:

По индукции получаем:

Решив это уравнение находим:

С учетом этого выражение для оптимального управления принимает вид:

Неизвестный параметр  определим из условия

Разрешив полученное алгебраическое квадратное уравнение относительно неизвестного  найдем оптимальное управление, удовлетворяющее энергетическим ограничениям.

ПЗ1.doc

Практическое занятие 1. Оптимальное управление вертикальным спуском летательного аппарата.

Рассмотрим движение ЛА при вертикальном спуске на поверхность земли. При формировании математической модели движения будем считать, что поверхность земли в точке приземления плоская, на ЛА действует сила тяжести , где : - масса ЛА, - ускорение свободного падения, и сила тяги двигателя , где : ,а - секундный расход топлива (или что то же самое секундное изменение массы ЛА). Сопротивление атмосферы не учитывается.

При сделанных предположениях уравнения движения ЛА в процессе вертикального спуска могут быть представлены в виде:

,

где - высота полета ЛА. После преобразований имеем:

В качестве управления будем рассматривать секундный расход топлива, предполагая, что он удовлетворяет ограничениям

Граничные условия следующие:

.

В данном случае начальная масса ЛА , его начальная высота и вертикальная скорость предполагаются заданными, время спуска не фиксировано и должно быть определено в процессе поиска оптимального управления.

Задача заключается в выборе такого управления , которое обеспечивает посадку ЛА при минимальном расходе топлива. Фактически это означает выполнение условия:

,

но поскольку начальная масса задана, то в окончательном виде критерий оптимальности можно записать как

Введем вектор состояния в рассматриваемой задаче с компонентами