03Pril_3_2010 (Медицинская техника (лекции))

322

Приложения.

В наборе приложений хочется перечислить вопросы, необходимые для повышения кругозора инженеров, занимающихся разработкой медицинских приборов. Конечно знание этих вопросов не обязательно, но они постоянно встречались в моей практической работе.

Приложение 1

Математические методы.

Основные понятия: Аналитическая функция. Ряды Тейлора. Метод Гаусса. Наименее уклоняющаяся функция. Ряды Фурье. Спектр сигнала. Системы базисных рядов. Норма функции. Ортонормированные ряды. Взаимная корреляция, проекция функции. Расстояние между функциями. Полиномы Лежандра, Лагерра, Эрмита.

Интеграл Фурье. Спектральная плотность. Интегральное преобразование с ядром Ф(gt). Свертка функций. Функции с ограниченным спектром. Теорема отсчетов Котельникова. Связь с разложением Фурье.

Векторное представление сигнала. Скалярное умножение векторов. Матрицы преобразования, Связь с интегральными формами.

δ-функция, функция единичного скачка, отклик фильтра. Весовая функция фильтра. Связь отклика с частотной характеристикой фильтра.

Реальный мир полон событий и процессов. События порождают сигналы, они доступны нашим ощущениям непосредственно и через приборы. Слово сигнал мы понимаем в широком смысле: это регистрируемый потенциал, изображение, обьемное осязание, набор табличных значений, графиков (на расстоянии сигналы передаются сообщениями). Наблюдая сигналы мы или открываем что то неожиданное, незнакомое, или получаем информацию о предполагаемом, но в данный момент неизвестном событии. В первом случае это открытие, во втором диагностика, получение информации, обнаружение. Информация есть мера улучшения нашего знания об интересующих событиях.

Мы приводим сигналы к удобному для нас виду производя преобразования, обработку, снижаем зашумленность, затем делаем измерения и, наконец, формируем наши суждения.

Удобными считаются аналитические функции.

Функцией f называется правило отображения точек х из пространства Х в точки у пространства У. Типовое обозначение функции: у = f(х). Функция может записываться в виде таблицы соответствия, в виде графика (координаты Х называются осью абцисс, У - ординат) или в виде аналитической формулы. Среди безграничного множества функций мы используем очень небольшое их число, те, которые записываются уравнениями в явном виде: у = f(х). Обычно мы предполагаем, что это аналитические функции. Аналитической функцией называется функция, имеющая производные любого порядка в каждой точке Х=Х_i (точнее в ее окрестности). Как следствие, аналитическая функция может быть представлена рядом Тейлора (1686-1731) в любой точке Х₀:

.

Верхними штрихами обозначены производные, а  есть приращение по х. Разложение Тейлора отображает удивительное свой­ство: поведение функции в малой окрестности точки Х₀ определяет вид функции на всем интервале существования! Много ли Вы знаете таких предсказателей? В преобразовании Уитакера/Котельникова мы имеем аналог этого свойства: счетное множество отсчетов функции точно отображает непрерывное ее поведение на всем интервале существования.

Из всех аналитических функций мы будем использовать функции с суммируемым квадратом, т.е.

.

У таких функций можно:

1) выделить норму : .

Функция, поделенная на свою норму называется нормированной.

2) Ввести понятие скалярного произведения двух функций:

Если скалярное произведение функций (f_*Ψ) равно нулю, то функции считаются ортогональными. Скалярное произведение может быть интерпретировано как проекция одной функции на другую. Как следствие возникает воображаемое пространство векторов и можно ввести угол между функциями:

Скалярное произведение так же может рассматриваться как взаимная корреляция функций.

3) Очень важным является понятие расстояния R между функциями:

,

4) В пространстве, где введено понятие расстояние, длина вектора функции равна норме:

Для ортонормированных функций длина равна 1, квадрат расстояния равен 2, а угол равен 90⁰.

Так вводится векторное пространство функций, в котором определены понятия расстояния, длинны вектора, углов и проекций вектора на вектор. Это пространство называется метрическим.

Как было замечено ранее, реальные сигналы мы подменяем более или менее удобными функциями. Наиболее часто встречающиеся "удобные" функции представлены на рис П 1.1. Это степенные полиномы, синусоиды, экспоненты, гиперболы. В преобразованиях сигналов удобна для применения δ - функция (впервые введена Дираком). Она всюду равна нулю кроме точки х=0 - в этой точке она устремляется к бесконечности. Функция подбирается так, что бы интеграл

.

П
римером использования δ - функция является выделение значения непрерывной функции Ф(х) в точке х_о: .

Что бы сохранить свойства аналитичности для δ - функции, ее изображают как предельный переход некой заранее известной аналитической функции, например:

, ν 0.

Возможны другие представления δ - функции: , ν 0 или , ν 0 и т.д.

Важной функцией является функция единичного скачка. Она определяется как интеграл от δ - функции с переменным верхним пределом: скачек . Вычитание одного скачка из другого, сдвинутого по оси абцисс, формирует прямоугольный импульс.

Кроме того следует помнить важнейшую формулу Эйлера, раскрывшую мир комплексных чисел.

exp(jώt)=cosώt+jsinώt (см Приложение 8).

До 18 века математики изучали алгебраические и дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения выражают удивительное свойство. Фиксируя связь значения функции в точке с ее наклоном в этой точке, кривизной (связь функции и ее производных) мы определяем свойства еа всем интервале существования. Ньютоном (1643-1727) такие уравнения открыты свойства всего мироздания, Космоса. В 19 и 20-м веке дифференциальные уравнения в трехмерном пространстве описали нам свойства электромагнитного поля и микромира. Интересное свойство нашей Природы: соотношения в точке определяют поведение в пространстве.

Приложение 2

Преобразование Фурье

Качество совмещения экспериментальной функции с выбранным эталоном может оказаться очень плохой, с большой невязкой Q. Тогда предполагают, что экспериментальная функция должна заменяться не одной, а набором, суммой различных эталонов. Этот набор принято называть базисным рядом Фурье.

Ж.Б. Фурье предложил использовать набор синусоид с кратными частотами. Он показал, что при увеличении числа членов базисного ряда подмена исходной функции происходит не приближенно, а точно. Более того, кратные синусоиды базисного ряда имеется замечательное свойство: они ортогональны. Как следствие, нахождение, оценка параметров одной составляющей базисного ряда никак не влияет на нахождение остальных.

Соответствие функции и ее спектра коротко обозначается:

f(t) с(i ω), т.е. функция Ф(t) имеет спектр с(i ω), i=1,2,3.....

Преобразование утверждает, что функция Ф(t) и сумма синусоид с подобранными спектральными коэффициентами совпадают по форме. Это значит, что преобразование обратимо. Имея спектр мы можем получить точное выражение исходной функции методом обратного преобразования Фурье (т.е. суммированием спектральных синусоид с известными спектральными амплитудами). Таким образом без потери информации вместо Ф(t) мы можем рассматривать график спектра с(iω) или выбирать тот вид представления, который удобен.

Преобразование переводит нас из пространства времени в пространство спектров. В пространстве времени нет понятия спектра, в пространстве спектров нет понятия времени. Операции умножения двух функций в пространстве спектров называются фильтрацией (изменение формы спектра). В пространстве времени операции умножения называются модуляцией или гетеродинированием.

П
ри взятии производной функции ее спектр, умножается на jω. Поэтому преобразование Фурье приводят решение дифференциальных уравнений к решению алгебраических.. Таким образом преобразование Фурье является мощным средством решения дифференциальных уравнений (именно это свойство привлекло Фурье). На рис П.2.1 представлены спектры некоторых периодических сигналов.

Равенство Парсеваля

Теорема отсчетов как преобразование Фурье

Преобразование графика непрерывного сигнала к дискретным отсчетам спектра так же есть преобразование Фурье. Всем хорошо знакомо квантование во времени, однако теперь мы утверждаем, что это есть разложение в ряд, аналогично разложению Фурье с функцией ядра типа sin(t-nT)/(t-nT)). В этом случае взятие отсчетов сопровождается фильтрацией - отбрасыванием всех частот, находящихся выше Fв=1/2Т, Т - интервал взятия отсчетов. Полученные дискретные значения являются спектром разложения исходной функции. Закономерности такого преобразования определяются теоремой отсчетов Котельникова (Уиттакер 1894г, Найквист 1928г. Котельников 1934г. Шеннон 1944г).

Интегральное преобразование Фурье

Ряд Фурье определен на конечном интервале Т. В этом случае мы имеем дискретный (линейчатый) спектр. Для многих функций, например exp(-t) или exp(-x²) интервал существования Т является бесконечным. Разложение в ряд Фурье становится неправомочно или не точно, требует оговорок. Поэтому дискретное преобразование Фурье заменяется интегральным преобразованием. Интегральное преобразование получается пре­дельным переходом при увеличении интервала Т . При этом линейчатые спектральные коэффициенты c(iw) заменяются непрерывной функцией плотности спектра s(w_i) (см рис П.2.2):

s(w_i)*2π/Т=c(iw), где 2π/Т - ширина спектрального расстояния между соседними гармониками n2π/Т или

s(w_i)→ c(iw)Т/2π при Т→ .

В результате функция плотности спектра находятся интегральным преобразованием Фурье:

,