183752 (Математические методы экономики), страница 13

В общем случае производственную функцию можно записать в неявной форме: , где A - -матрица параметров (технологическая матрица). В некоторых моделях применяется следующее выражение для производственной функции: , где переменные со знаком "-" обозначают затраты, а со знаком "+" - выпуски.

Если в качестве независимых переменных (аргументов) выступают затраты (см. (4.2.1) ), то производственную функцию иногда называют функцией выпуска, если же фиксирована величина выпуска (y), то производственная функция является функцией затрат ( ). Таким образом, функция выпуска и функция затрат являются взаимно обратными друг другу функциями.

Применение производственных функций не ограничивается выявлением зависимости затраты-выпуск. Различные приемы математического аппарата позволяют использовать их для вычисления численных характеристик производства, анализа эффективности изменения масштаба производства и технологического прогресса, исследования эластичности производственных факторов, рационального ведения хозяйства, оптимального планирования и прогнозирования вариантов развития фирмы и др.

Поэтому очень важно, чтобы производственная функция объективно отражала моделируемую действительность, т.е. чтобы она удовлетворяла содержательно-логическим и экономическим требованиям. Основные из них следующие:

• в число аргументов производственной функции должны быть включены все существенные для данного процесса факторы;

• все величины должны иметь отчетливый экономический смысл;

• все экономические величины, входящие в производственную функцию, должны быть измеримы;

• выпуск продукции без затрат невозможен;

• если величина какого-либо ресурса ограничена, то выпуск не может расти бесконечно;

• увеличение затрат не может привести к уменьшению выпуска.

Вопрос об адекватном описании экономической реальности на языке производственных функций тесно связан с их математическими свойствами. Ради простоты эти свойства приведем для однопродуктового производства, т.е. для производственной функции вида (4.2.1) .

1. Монотонность: из и следует .

2. Вогнутость: для любых и справедливо неравенство .

3. Поведение в начале координат: .

4. Однородность: , где - масштабное число, - степень однородности.

Если производственная функция дифференцируема по всем аргументам, то свойства 1 и 2 соответственно могут быть заменены следующими неравенствами:

Частные производные называются предельными продуктами. Условие (4.2.2) , как и свойство 1, означает, что увеличение любого вида затрат не приводит к уменьшению выпуска. Условие (4.2.3) показывает, что увеличение затрат одного вида ресурса (при постоянном уровне затрат других ресурсов) приводит ко все меньшему приросту выпуска. Это свойство в экономической теории называется законом убывающей доходности (отдачи).

Свойство 3 является отражением бездеятельности, так как без затрат нет и выпуска. Свойство 4 описывает реакцию производства на изменение затрат. Параметр показывает масштаб изменения производства (расширения производства - если , сужения производства - если ), а - эффект от изменения масштабов производства. Если , то одновременное увеличение всех факторов в раз приводит к возрастанию объема выпуска больше, чем в раз ( ), т.е. эффект от расширения масштаба производства положителен. При получаем: - выпуск возрастает в той же пропорции, что и затраты. Такие функции называются линейно-однородными (или однородными в первой степени).

Если

то говорят о возрастающем (убывающем) доходе от расширения масштаба производства. Заметим, что свойство 4 определено в точке, тогда как свойства 1 и 2 - во всем пространстве затрат.

Как мы видим, перечисленные (желательные) свойства производственной функции вполне согласуются с ее определением, так как они касаются только соотношения затраты-выпуск. Действительно, здесь нет никаких требований на бесперебойную работу станков, нормирования движения конвейера и т.д. Поэтому производственная функция, как отображение количественной связи между затратами и выпуском, представляет собой регрессионную модель (см. §2.5 ). Следовательно, она может быть построена на основе статистических данных и с применением методов математической статистики. Оставляя подробное обсуждение этого вопроса до §4.4 , сейчас мы приведем примеры наиболее удачно построенных и потому часто применяемых на практике производственных функций. При этом для простоты будем рассматривать двухфакторную однопродуктовую производственную функцию вида

Производственная функция Кобба-Дугласа. Первый успешный опыт построения производственной функции, как уравнения регрессии на базе статистических данных, был получен американскими учеными - математиком Д. Коббом и экономистом П. Дугласом в 1928 году. Предложенная ими функция изначально имела вид:

где Y - объем выпуска, K - величина производственных фондов (капитал), L - затраты труда, - числовые параметры (масштабное число и показатель эластичности). Благодаря своей простоте и рациональности, эта функция широко применяется до сих пор и получила дальнейшие обобщения в различных направлениях. Функцию Кобба-Дугласа иногда мы будем записывать в виде

Легко проверить, что и

Кроме того, функция (4.2.4) линейно-однородна:

.

Таким образом, функция Кобба-Дугласа (4.2.4) обладает всеми вышеуказанными свойствами.

Для многофакторного производства функция Кобба-Дугласа имеет вид:

Для учета технического прогресса в функцию Кобба-Дугласа вводят специальный множитель (технического прогресса) , где t - параметр времени, - постоянное число, характеризующее темп развития. В результате функция принимает "динамический" вид:

где не обязательно . Как будет показано в следующем параграфе, показатели степени в функции (4.2.4) имеют смысл эластичности выпуска по капиталу и труду.

Производственная функция CES (с постоянной эластичностью замещения) имеет вид:

где - коэффициент шкалы, - коэффициент распределения, - коэффициент замещения, - степень однородности. Если выполнены условия

то функция (4.2.5) удовлетворяет неравенствам (4.2.2) и (4.2.3) (проверьте это самостоятельно). С учетом технического прогресса функция CES записывается:

Название данной функции следует из того факта, что для нее эластичность замещения постоянна (см. §4.3 ).

Производственная функция с фиксированными пропорциями. Эта функция получается из (4.2.5) при и имеет вид:

Производственная функция затрат-выпуска (функция Леонтьева) получается из (4.2.6) при :

Содержательно эта функция задает пропорцию, с помощью которой определяется количество затрат каждого вида, необходимое для производства одной единицы выпускаемой продукции. Поэтому в литературе часто встречаются другие формы записи:

или

Здесь - количество затрат вида k, необходимое для производства одной единицы продукции, а y - выпуск.

Производственная функция анализа способов производственной деятельности. Данная функция обобщает производственную функцию затрат-выпуска на случай, когда существует некоторое число (r) базовых процессов (способов производственной деятельности), каждый из которых может протекать с любой неотрицательной интенсивностью. Она имеет вид "оптимизационной задачи"

Здесь - выпуск продукции при единичной интенсивности j-го базового процесса, - уровень интенсивности, - количество затрат вида k, необходимых при единичной интенсивности способа j. Как видно из (4.2.8) , если выпуск, произведенный при единичной интенсивности и затраты, необходимые на единицу интенсивности, известны, то общий выпуск и общие затраты находятся путем сложения выпуска и затрат соответственно для каждого базового процесса при выбранных интенсивностях. Заметим, что задача максимизации функции f по в (4.2.8) при заданных ограничениях-неравенствах является моделью анализа производственной деятельности (максимизация выпуска при ограниченных ресурсах).

Линейная производственная функция (функция с взаимозамещением ресурсов) применяется при наличии линейной зависимости выпуска от затрат:

где - норма затрат k-го вида для производства единицы продукции (предельный физический продукт затрат).

Методы математического моделирования рисковых ситуаций. Риск и неопределенность в осуществлении экономической деятельности. Место методов математического моделирования в общей схеме управления риском. Основные механизмы управления риском — прямое воздействие на факторы риска и диверсификация. Цели моделирования механизмов управления риском. Методы моделирования неопределенности и риска экономической деятельности.