183752 (Математические методы экономики)

Математические методы экономики.

Моделирование сферы потребления. Потребительские предпочтения. Кривые безразличия. Предельная норма замещения благ. Функция полезности и её свойства. Бюджетное ограничение. Равновесие потребителя. Реакция потребителя на изменение цен и дохода. Уравнение Слуцкого. Эффекты дохода и замены. Классификация благ. Индивидуальный и рыночный спрос. Эластичность спроса по ценам и доходу потребителя. Построение функции спроса по опытным данным.

В условиях рыночной системы управления производст­венной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рын­ком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе основой предпринимательской дея­тельности становится изучение потребительского спроса.

Рассмотрим некоторые вопросы моделирования спроса и по­требления.

Уровень потребления об­щества можно выразить целевой функцией потребления U = U(Y), где Y О - вектор переменных разнообразных товаров и услуг. Ряд свойств этой функции удобно изучать, используя геометри­ческую интерпретацию уравнений U(Y) = С, где С - ме­няющийся параметр, характеризующий значение (уровень) целевой функции потребления (например, доход или уровень материального благосостояния).

В совокупности потребительских благ каждому уравнению U(Y) = С соответствует определенная поверхность равноцен­ных, или безразличных, наборов благ, которая называется поверхностью безразличия. Для наглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двух агрегирован­ных групп товаров: продукты питания (y₁) и непродовольст­венные товары, включая услуги (у₂ ). Тогда уровни целевой функции потребления можно изобразить на плоскости в ви­де кривых безразличия, соответствующих различным значе­ниям С (рис. 8.1, где С₁ < С₂ < Сз).

Рис. 8.1. График кривых безразличия

 Из основных свойств це­левой функции потребления можно отметит следующие:

1. функция U(Y) явля­ется возрастающей функ­цией всех своих аргументов, т.е. увеличение потребления любого блага при неизмен­ном уровне потребления всех других благ увеличивает зна­чение данной функции;

2. кривые безразличия не могут пересекаться, т.е. через одну точку совокупности благ (товаров, услуг) можно провести только одну поверхность безразличия;

3. кривые безразличия имеют отрицательный наклон к каждой оси координат, при этом абсолютный наклон кривых уменьшается при движении в положительном направ­лении по каждой оси, т.е. кривые безразличия являются выпуклыми кривыми.

Методы построения целевой функции потребления осно­ваны на обобщении опыта поведения потребителей и тен­денций покупательского спроса в зависимости от уровня благосостояния.

Рассмотрим моделирование поведения потреби­телей в условиях товарно-денежных отношений на базе це­левой функции потребления. В основе модели поведения потребителей лежит гипотеза, что потребители, осуществляя выбор товаров при установленных ценах и имеющемся доходе, стремятся максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей.

Пусть в совокупности п видов товаров исследуется пове­дение потребителей. Обозначим спрос потре­бителей через вектор Y = (y₁, у₂,...,y_n), а цены на различ­ные товары - через вектор Р = (р₁, р₂,…,p_п).  Пусть D - величина дохода. Тогда потребители могут выбирать только такие комби­нации товаров, которые удовлетворяют ограничению     , называемому бюджетным ограничением. 

Пусть U(Y) целевая функция потребления. Тогда простейшая модель по­ведения потребителей в векторной форме можно записать в виде:

                      (8.1)

Геометрическая интерпретация модели (8.1) для двух аг­регированных групп товаров представлена на рис. 8.2.

Линия АВ (в других вариантах А₁В₁, А₂В₂) соответствует бюджетному ограничению  и называется бюджетной линией. Выбор потребителей ограничен треугольником АОВ   (A₁OB₁, A₂OB₂).

 Рис. 8.2. График простейшей модели поведения потребителя

 Набор товаров М, соответствующий точке касания прямой АВ с наиболее отдаленной кривой безразличия, является оп­тимальным решением (в других вариантах это точки К и L). Легко заметить, что линии АВ и A₁B₁ соответствуют одному и тому же размеру дохода и разным ценам на товары y₁ и у₂;  линия A₂B₂ соответствует большему размеру дохода.

На основе теории нелинейного про­граммирования, можно определить математические условия оптимальности решений для модели (8.1). С задачей нели­нейного программирования связывается так называемая функция Лагранжа, которая для задачи (8.1) имеет вид

L(Y, l,) = U(Y) + l(D - PY),

где множитель Лагранжа l является оптимальной оценкой дохода.

Обозначим частные производные функции U(Y) через U_i:  

Они представляют собой предельные полезные эффекты (предельные полезности) соответствующих потребительских благ и показывает на сколько единиц увеличивается целевая функция потребления при  увеличении использования i-гоблага (товара) на некоторую условную «малую единицу».

Необходимыми условиями того что вектор Y⁰ будет оптимальным решением, является условия Куна-Таккера:

при этом

   (товар приобретается)

   (товар не приобретается)                  (8.2)

  Последнее из соотношений (8.2) соответствует полному использованию дохода, и для этого случая очевидно неравенство  .

Из условий оптимальности (8.2) следует, что

Это означает, что потребители должны выбрать товары таким образом, чтобы отношение предельной полезности к цене товара было одинаковым для всех приобретаемых товаров, т.е. в оптимальном наборе предельные полезности выбираемых товаров должны быть пропорциональны ценам.

Функциями спроса называются функции, отражающие зависимость объема спроса на отдельные товары и услуг от совокупности факторов, влияющих на него. Рассмотрим построение функций спроса в зависимости от двух факторов – дохода и цен.

Пусть в модели (8.1) цены и доход рассматриваются как меняющиеся параметры. Переменную дохода будем обозначать Z. Тогда решением оптимизационной задачи (8.1) будет векторная функция  компонентами  которой являются функции спроса на определенный товар от цен и дохода:

Рассмотрим частный случай, когда вектор цен является неизменным, а доход изменяется. Для двух товаров этот случай представлен на рис. 8.3. Если по оси абсцисс отложить  количество единиц товара y₁, которое можно приобрести на имеющий доход Z (точка В), а по оси ординат – то же самое для товара y₂ (точка А), то прямая линия АВ, называемой бюджетной линией, показывает любую комбинацию количеств этих двух товаров, которую можно купить за сумму денег Z. При увеличении дохода бюджетные линии перемещаются параллельно самим себе, удаляясь от начала координат. Вместе с ними перемещаются соответствующие кривые безразличия. Точками оптимума спроса потребителей для соответствующих размеров дохода будут в данном случае точки M_1, M₂, M₃. При нулевом доходе спрос на оба товара нулевой. Кривая, соединяющая точки 0, M₁, M₂, M₃, является графическим отображением векторной функции спроса и дохода при заданном векторе цен.

 Рис. 8.3. График функции спроса и дохода (для двух товаров у₁ и у₂)

 Однофакторные функции спроса от дохода широко при­меняются при анализе покупательского спроса. Соответст­вующие этим функциям кривые  называются кри­выми Энгеля (по имени немецкого экономиста). Формы этих кривых для различных товаров могут быть раз­личны. Если спрос на данный товар возрастает примерно пропорционально доходу, то функция будет линейной (рис. 8.4а). Если по мере роста дохода спрос на данную группу товаров возрастает все более высокими темпами, то кривая Энгеля будет выпуклой (рис. 8.4б).  Если рост значений спроса, начиная с определенного мо­мента, по мере насыщения спроса отстает от роста дохода, то кривая Энгеля имеет вид вогнутой кривой (рис. 8.4в).

предложил специальные виды функции спроса (функции Торнквиста) для трех групп то­варов: первой необходимости, второй необходимости, пред­метов роскоши.

Важным показателем функции спроса является коэффициент эластичности. Ко­эффициент эластичности спроса от дохода показывает на сколько процентов, изменится спрос, если доход увеличится на 1% (при про­чих не изменяющихся факторах), и вычисляется по формуле:

где  - коэффициент эластичности для i-го товара (группы товаров) по доходу Z;y_i - спрос на i-й товар, являющийся функцией дохода: .

                                       Рис. 8.4. Кривые Энгеля

 Аналогичный принцип разграничения групп товаров по типам функций спроса от дохода использовал шведский эконо­мист Л. Торнквист, который

Коэффициенты эластичности спроса от дохода различны по величине для разных товаров, вплоть до отрицательных значений, когда с ростом доходов потребление уменьшается. Принято выделять четыре группы товаров в зависимости от коэффициента эластичности спроса на них от дохода:

• малоценные товары ( );

• товары с малой эластичностью ( );

• товары со средней эластичностью ( близки к единице);

• товары с высокой эластичностью ( ).

К малоценным товарам (с отрицательной эластичностью спроса от дохода) относятся хлеб, а также низкосортные товары. По результатам обследований, коэффи­циенты эластичности для основных продуктов питания нахо­дятся в интервале от 0,4 до 0,8, по одежде, тканям, обуви - в интервале от 1,1 до 1,3 и т.д. По мере увеличения дохода спрос перемещается с товаров первой и второй групп на това­ры третьей и четвертой групп, при этом потребление товаров первой группы по абсолютным размерам сокращается.

Перейдем к рассмотрению и анализу функций покупа­тельского спроса от цен на товары. Из модели поведения по­требителей (8.1) следует, что спрос на каждый товар в об­щем случае зависит от цен на все товары (вектора Р), одна­ко построить функции общего вида очень сложно. Поэтому в практических исследованиях ограничиваются по­строением и анализом функций спроса для отдельных товаров в зависимости от изменения цен на этот же товар или группу взаимозаменяемых товаров: .

Для большинства товаров действует зависимость: чем вы­ше цена, тем ниже спрос, и наоборот. Относительное из­менение объема спроса при изменении цены данного товара или цен других связанных с ним товаров характеризует коэффициент эластич­ности спроса от цен.Этот коэффициент эла­стичности удобно трак­товать как величину изменения спроса в процентах при изменении цены на 1%.

Для спроса y_i на i-й товар относительно его собственной цены p_i коэффициент эластичности исчисляется по формуле: