164994 (Финансовые расчеты), страница 12

При расчете теоретической премии опциона большое значение имеет, как выбрана математическая модель цены базисного актива. Наиболее часто в настоящее время используется модель в виде скалярного линейного СДУ с мультипликативным шумом с постоянными коэффициентами роста и волатильности:
 

dSt =  St dt + St dw(t).

(1)

Знаменитая формула Блэка-Сколеса расчета премии стандартного опциона купли европейского стиля, полученная для такой модели, записывается в виде

(2)

где

Ф(x) - функция распределения стандартной нормальной случайной величины, K - цена исполнения опциона, S₀ - цена или значение базисного актива в момент покупки опциона, r - безрисковая процентная ставка, T - оставшийся срок до истечения контракта.

Для моделей других типов, а также для опционов американского стиля такой простой формулы не получено. Как видим, формула Блэка-Сколеса связывает размер премии с шестью параметрами:

Pr = Pr(S₀, K, T, r,  , ).

Премия опциона купли европейского стиля прямо пропорциональна цене базисного актива S₀, волатильности  , оставшемуся сроку до истечения контракта T, безрисковой процентной ставке r и обратно пропорциональна цене исполнения K.

Премия опциона продажи может быть записана в аналогичном виде:

(3)

 

При расчете премии параметр  в СДУ задается по-разному в зависимости от типа базисного актива:

• = r для опционов на акции, не выплачивающие дивиденды;

• = r-q для опционов на акции, выплачивающие дивиденды с заданной непрерывной ставкой q;

• = r-r_f для валютного опциона, причем r - безрисковая ставка процента в валюте торговли, r_f - в базисной валюте;

• = r-q для опционов на акционные индексы, где q - осредненная ставка дивидендов, которые выплачиваются по включенным в индекс акциям в течение срока опционного контракта;

• = 0 для опционов на фьючерсные контракты, причем здесь S_t - текущая фьючерсная цена;

• = r-q для облигационных опционов, где q - приведенная купонная процентная ставка, а S_t - текущая цена базисной облигации.

Фактически, выбор значений параметров  и  является составной частью процедуры задания будущего гипотетического поведения цены базисного актива при расчете премии опциона.

На начало

Формулы для расчета премии опциона методом Монте-Карло

Основной вычислительной задачей, обычно решаемой методом Монте-Карло, является задача оценки среднего значения некоторой случайной величины. Применительно к расчету премии опциона купли европейского стиля метод Монте-Карло сводится к оценке математического ожидания

(4)

В данной записи величина e^-rT(S_T-K)⁺ является дисконтированным выигрышем держателя опциона, а в качестве премии выступает средний дисконтированный выигрыш. В формуле (4) вместо стандартного выигрыша (S_T-K)⁺ может использоваться любой нестандартный выигрыш F(S_T,K) 0.

Премия опциона купли американского стиля может быть вычислена как

(5)

а опциона продажи как

(6)

В отличие от формулы Блэка-Сколеса, при использовании метода Монте-Карло для расчета премии опционов по формулам (4)-(6) нет жесткой привязки к линейному СДУ с мультипликативным шумом. В качестве математической модели цены конкретного базисного актива S_t может использоваться любое из исследованных ранее СДУ, дающее оценки премии, более походящие при торговле конкретным опционным контрактом на конкретной бирже.

Для расчета премии опционов американского стиля необходимо построить на интервале моделирования [0,T] равномерную сетку, оценить стандартным образом дисконтированный средний выигрыш  или  во всех узлах сетки и в качестве премии принять максимальное значение сеточной функции {P_t}. Премия опциона европейского стиля совпадает с P_T, а значит, она не может превышать премию соответствующего опциона американского стиля. Заметим, что величина P₀ совпадает с внутренней стоимостью опциона.

Принятие решения, какая модель расчета премии лучше подходит для реальной торговли конкретными опционами на конкретной бирже, связано с большими предварительными расчетами и сравнениями, и в основном опирается на накопленный опыт, а не на статистические критерии проверки гипотез.

Хеджирующая стратегия

Рассуждения о справедливой стоимости опциона основываются на предположении, что подписчик опциона за весь срок контракта будет использовать хеджирующую стратегию, обеспечивающую ему гарантированный выигрыш или хотя бы отсутствие проигрыша при исполнении опциона держателем. На момент подписания в распоряжении подписчика опциона купли находится портфель из наличных и акций, общая стоимость которого совпадает с размером полученной премии Pr^call. Подписчик наличные может положить в банк под безрисковый процент r, а также может изменять соотношение между количеством наличных и акций путем покупки или продажи акций. Таким образом, стоимость портфеля подписчика изменяется во времени в соответствии с формулой

(7)

где коэффициент  определяет сумму стоимостей на банковском счете на момент времени t, а коэффициент хеджа  определяет сумму в акциях. В данном способе формирования портфеля нет ограничений на возможные значения коэффициентов  и  , т.е. допускается занятие в долг. Коэффициент хеджа  в формуле (7) выступает в качестве меры корреляции между стоимостью хеджирующего портфеля и ценой базисного актива в любой момент действия опционного контракта. Под минимальным хеджем понимается хеджирующая стратегия, обеспечивающая гарантированные опционные платежи при минимальной премии.

Для опциона купли европейского стиля на акции без выплаты дивидендов Блэк и Сколес получили формулы для коэффициентов  и  для минимального хеджа:

		(8)
		(9)

 Формулы получены исходя из предположения, что в любой момент времени t стоимость портфеля X_t совпадает со справедливой стоимостью опциона на текущий момент времени при известной текущей стоимости базисной акции S_t. Для опциона купли американского стиля стоимость минимального хеджирующего портфеля в любой момент времени может быть определена как условное математическое ожидание

(10)

а для опциона продажи как

(11)

Расчет коэффициентов чувствительности премии к изменениям параметров

На рынке наблюдаются постоянные изменения цены базисного актива опциона. В результате соответственно изменяется стоимость опциона. Коэффициент "дельта" представляет собой отношение изменения стоимости опциона, вызванное изменением цены базисного актива, к изменению цены актива:

Коэффициент  показывает, в какой мере изменится стоимость опциона при изменении цены базисного актива на один пункт. Теоретически, но не на практике, стоимость опциона не может увеличиться или уменьшиться в большей степени, чем стоимость актива, лежащего в основе контракта. Это значит, что должны выполняться неравенства 0 1 для опциона купли и -1 0 для опциона продажи. То, что для опциона продажи коэффициент  имеет отрицательное значение означает, что стоимость опциона изменяется в противоположном направлении относительно цены базисного актива. Опциону продажи с  -1 соответствует большой выигрыш, а с  0 большой проигрыш. Сравнивая  и коэффициент хеджа  , видим, что  = . Кроме коэффициента  с премией опциона связаны такие коэффициенты, как  ,  ,  и  .

Заметим, что знание справедливой стоимости опциона имеет малое значение при спекулятивных операциях с опционами. Однако при формировании хеджирующих или арбитражных стратегий с различными опционами модели ценообразования опционов становятся более полезными, так как позволяют сравнивать опционы между собой по стоимости.

На начало

Оценка неизвестных параметров математической модели цены

Исторической волатильностью называется оценка волатильности по результатам наблюдений за ценой финансового инструмента на некотором прошедшем периоде времени. А подразумеваемая волатильность - это волатильность цены базисного актива, соответствующая рыночной стоимости опциона за вычетом внутренней стоимости в рамках используемой теоретической модели расчета стоимости опциона. Подразумеваемая волатильность не связана с текущей ценой базисного актива. Сравнивая историческую и подразумеваемую волатильность, биржевые торговцы делают вывод о завышенной или заниженной рыночной стоимости опциона, что позволяет сравнивать различные опционы между собой.

Задание прогнозируемой волатильности, используемой при расчете справедливой стоимости опциона, считается высшим искусством в ценообразовании опционов, хотя это всего лишь один из элементов процедуры задания гипотетической рыночной ситуации. Основой для задания прогнозируемой волатильности все же служит оценка исторической волатильности цены базисного актива. Для СДУ (1) оценка максимального правдоподобия исторической волатильности по данным дискретных наблюдений за стоимостью или значением базисного актива хорошо известна:

(12)

где