http://www.nsu.ru/education/etfm/Lect1/Chapter1.htm

Лекция 1

Базисные финансовые расчеты.

Основная страница

Лекция 1. Базисные финансовые расчеты.

1. Начисление процентов по простой процентной ставке.

2. Начисление процентов по сложной процентной ставке.

3. Дисконтирование и учет.

4. Поток платежей или финансовая рента.

5. Погашение или амортизация долга.

6. Упражнения.

7. Литература.

Лекция 2. Кредит. Ценные бумаги с фиксированным доходом.
Лекция 3. Иностранная валюта.
Лекция 4. Обыкновенные акции.
Лекция 5. Финансовые фьючерсы.
Лекция 6. Опционы.
Лекция 7. Арбитраж и хеджирование.
Лекция 8. Расчет премии опциона методом Монте-Карло.

На начало

Начисление процентов по простой процентной ставке.

    Предоставление денег в долг во временное пользование может осуществляться различными способами: в виде денежной ссуды, сберегательного счета, открытия депозита, покупки облигаций и векселей и т.д. На занятые деньги с должника начисляются проценты. На практике начисление процентов всегда производится в дискретные моменты времени.

Параметры денежной ссуды:

• S₀ - первоначальный размер ссуды;

• S_T - размер выплат по окончании ссуды;

• P - проценты на ссуду;

• T - срок ссуды в днях;

• T_год - временная база (число дней в году);

• r - годовая процентная ставка;

Временная база обычно задается равной 360 или 365 дням.

Для краткосрочных ссуд со сроком меньше года для начисления выплат и процентов обычно используется простая процентная ставка:

,         (1)

.

Сущность простых процентов в том, что они начисляются на одну и ту же величину капитала в течение всего срока ссуды.
 

Пример 1.1   Ссуда в размере 100 млн. руб. выдана на 7 дней под 60% годовых.   S0 =100 000 000; T =7; Tгод = 365; r = 60%;   ST =101 150 685; P =1 150 685.

 
Расчеты

    Процентная ставка может изменяться в некоторые моменты времени в течение срока ссуды. В этом случае для расчетов необходимо задать число периодов начисления, таблицу процентных ставок и продолжительностей периодов начисления:
 

Процентные ставки	r1	r2	...	rK
Периоды начисления	t1	t2	...	tK

Для начисления выплат по переменной простой процентной ставке используется формула

,

.

 

Пример 1.2  Контракт на ссуду в 1 млн. руб. на 2 года предусматривает следующий порядок начисления процентов: первые полгода - под 30% годовых, вторые полгода - под 40% годовых, второй год - под 100% годовых.   S0 = 1 000 000;Tгод = 365; r1 = 30; r2 = 40; r3 = 100; t1 = 182; t2 = 183; t3 = 365;   ST = 2 760 273; P = 1 760 273.

 

    Кредитор полученные по окончании ссуды деньги может снова отдать в долг, т.е. реинвестировать накопленный капитал. В этом случае для расчетов необходимо задать число периодов реинвестирования, таблицу процентных ставок и продолжительностей периодов реинвестирования, аналогичную таблице для переменной процентной ставки. Для начисления выплат при реинвестировании используется формула

.

 

Пример 1.3  Вкладчик полученную через полгода сумму от ссуды в $1 000 000 под 8% годовых снова помещает в банк на год под 12% годовых.  S0 = 1 000 000;Tгод = 360; r1 = 8; r2 = 12; t1 = 182; t2 = 365;   ST = 1 167 032; P =  167 032.

 

На начало

Начисление процентов по сложной процентной ставке.

    Сложные процентные ставки обычно используются для долгосрочных ссуд со сроком более года. При сложной процентной ставке процентный платеж в каждом расчетном периоде добавляется к капиталу предыдущего периода, а процентный платеж в последующем периоде начисляется уже на эту наращенную величину первоначального капитала. Процентный платеж может начисляться как в начале каждого периода (антисипативное начисление процентов), так и в его конце (декурсивное начисление процентов). Последний способ наиболее распространен. Для начисления выплат по постоянной сложной процентной ставке обычно используется формула

.                          (2)

Если число  не целое, то может использоваться смешанный способ начисления процентов:

.                       (3)

Здесь [.] - целая часть числа. Если проценты начисляются только за целые периоды, то

.                       (4)

Как и в случае простой процентной ставки, сложная процентная ставка может изменяться в некоторые моменты времени. Для начисления выплат по переменной сложной процентной ставке используется формула

.

 
 

Пример 1.4  Инвестор хочет поместить $100 000 на десять с половиной лет под сложную процентную ставку в 15% годовых.  S0 = 100 000;Tгод = 365; T = 3832; r =15.   В зависимости от способа начисления процентов накопленная сумма будет составлять ST = 433 755 (формула (2)), ST = 434 814 (формула (3)), ST = 404 556 (формула (4)).

Пример 1.5  Контракт на ссуду в $1 млрд. на 20 лет предусматривает следующий порядок начисления процентов: первые 5 лет - под 8% годовых, вторые 5 лет - под 10% годовых, второе десятилетие - под 20% годовых.   S0 = 1 000 000 000;Tгод = 365; r1 = 8; r2 = 10; r3 = 20; t1 = 1825; t2 = 1825; t3 = 3650;   ST =  14 651 924 216; P = 13 651 924 216.

Расчеты

При расчете выплат может приниматься во внимание инфляция, т.е. уменьшение покупательной способности денег. В этом случае выплаты расчитываются либо по точной формуле:

,

либо по приближенной:

.

Здесь r - реальная процентная ставка, p - годовой темп инфляции.
 

Пример 1.6   Ссуда в размере 100 млн. руб. выдана на 2 года под 64% годовых.   Ожидается, что ежегодный темп инфляции будет равен 24%.  S0 =100 000 000; T =730; Tгод = 365; r = 40%; p = 24%  ST =301 369 600; P =201 369 600.

 

При начислении сложных процентов m раз в году выплаты расчитываются по формуле

.

Ставку r в этом случае принято называть номинальной годовой процентной ставкой.
 

Пример 1.7  Ссуда в размере $100 000  выдана на пять с половиной лет под 6% годовых. Проценты начисляются в конце каждого квартала. S0 = $100 000; T = 2007; Tгод = 365; r = 6; m = 4; ST = $138 756; P = $38 756.

 

Для вычисления простой процентной ставки, дающей эквивалентный результат к выплатам по сложной процентной ставке, достаточно приравнять финальные выплаты при обоих способах начисления процентов и одинаковой начальной сумме капитала и найти простую процентную ставку из возникшего уравнения.
 
 

Пример 1.8.  Ссуда в размере $1 000  выдана под сложные проценты на два с половиной года под 9% годовых. Эквивалентная простая процентная ставка находится с помощью формул (1) и (2). S0 = $1 000; T = 912; Tгод = 365; rслож = 9; ST = $1 240;  rпрост = 9.6.

 
Расчеты

На начало

Дисконтирование и учет

    Обычно при удержании процентов в момент выдачи ссуды, при учете векселей, при покупке депозитных сертификатов возникает задача определения по заданной сумме S_T, которую следует уплатить через время T, сумму получаемой ссуды S₀ при заданной годовой процентной ставке d. В этой ситуации начальную сумму S₀ принято называть современной величиной (приведенной стоимостью), ставку d - дисконтной или учетной процентной ставкой, величину D = S_T  - S₀ - дисконтом, а процедуру определения современной величины - дисконтированием.
    Существует два способа дисконтирования при простой процентной ставке:

• математическое дисконтирование

• банковский учет

    При дисконтировании обычно задают T_год = 360.
 

Пример 1.9  Через полгода заемщик должен уплатить 1 млн. рублей.  Ссуда выдана под 40% годовых. При заключении сделки заемщик получит S0 = 833 333 руб. при математическом дисконтировании и S0 = 800 000 руб. при банковском учете.

 

    Для определения учетной ставки, дающей эквивалентный результат к математическому дисконтированию, достаточно приравнять современные величины при обоих способах дисконтирования и при одинаковой конечной сумме капитала и найти учетную ставку из возникшего уравнения.

Для дисконтирования при сложной процентной ставке используется формула

при начислении процентов один раз в году и формула

при начислении процентов m раз в году.