164994 (Финансовые расчеты), страница 13

{t_n} - неравномерная сетка по времени на интервале наблюдения [0,T_data], N_data - количество дискретных наблюдений {S_n} на этом интервале, h_n = t_n+1 - t_n - интервал времени между наблюдениями S_n+1 и S_n. Оценку параметра  также несложно получить:

При оценке исторической волатильности обычно используют несколько различных периодов наблюдения [0,T_data], так как замечено, что оценка  в модели Блэка-Сколеса сильно зависит от объема используемых данных N_data, т.е. от числа дней торговли, учитываемых при оценке. Оценка  разная для данных о цене базисного актива за последний месяц, за последний квартал, за последние полгода и т.д. Чем больший период наблюдения [0,T_data] используется при оценке, тем более осредненная оценка исторической волатильности получается.

На начало

Расчет премии подписчика опциона методом Монте-Карло

Метод Монте-Карло, в отличие от аналитического "мартингального" метода, позволяет при расчете премии опциона использовать в качестве математической модели цены базисного актива любую линейную или нелинейную систему СДУ, а не только скалярное линейное СДУ с мультипликативным шумом с постоянными коэффициентами роста и волатильности, любую нестандартную функцию выплаты, любую формулу оценки премии и любую, не обязательно хеджирующую, стратегию формирования портфеля подписчиком опциона. Все ниже перечисленные вычисления, связанные с опционами европейского и американского стиля, могут быть осуществлены методом Монте-Карло:

• расчет премии опциона для заданных параметров опциона;

• определение зависимости премии опциона от изменения параметров опциона;

• определение зависимости премии опциона от используемой математической модели цены или значения базисного актива;

• моделирование хеджирующей стратегии и расчет коэффициента хеджа;

• расчет коэффициентов чувствительности  ,  ,  ,  и  для заданных параметров опциона;

• моделирование динамики премии опциона при случайных флуктуациях цены базисного актива и безрисковой процентной ставки.

На рис.1 приведены графики зависимости премий стандартных опционов купли и продажи европейского стиля на акции с выплатой дивидендов от оставшегося времени до истечения контракта T, а на рис.2 - от цены исполнения K. Выплата дивидендов в модели учитывается посредством непрерывной процентной ставки q=10%.

Рис.1. Зависимость премии опционов купли и продажи европейского стиля от времени до истечения контракта

Расчеты получены по формулам Блэка-Сколеса при S₀=40, K=42, T=0.5, r=25%,  =15%,  =33.5% с использованием простейшей квадратурной формулы прямоугольников для вычисления интегралов. Для таких параметров опционов получены следующие величины премий: Pr^call = 4.058, Pr^put = 3.073.

Рис.2. Зависимость премии опционов купли и продажи европейского стиля от цены исполнения

 
Согласно неравенству Чебышева, погрешность оценки премии методом Монте-Карло убывает пропорционально  , где N_sample - объем моделируемых траекторий решения СДУ. Это значит, что при необходимости увеличения точности расчета премии в 10 раз, объем моделируемых траекторий потребуется увеличить в 100 раз. Например, для приведенных выше параметров опциона при N_sample=100 получены оценки премий Pr^call = 3.523, Pr^put = 3.185, при N_sample = 10000 имеем Pr^call = 4.138, Pr^put = 3.077, а при N_sample = 1000000 имеем не менее двух цифр после запятой, совпадающих с расчетом по формулам Блэка-Сколеса: Pr^call =4.058, Pr^put =3.070. При статистическом моделировании значений S_T использовалась точная формула
 

с шагом h = 0.5.

На рис.3 приведены графики дисконтированного среднего выигрыша P_t для опционов купли и продажи американского стиля, полученные для приведенных выше параметров опциона при объеме выборки N_sample = 100000. При моделировании значений S_t использовалась формула (14) с шагом h = 0.025.

Рис.3. Дисконтированный средний выигрыш P_t для опционов купли и продажи американского стиля

Как видно из рисунка, максимальное значение дисконтированного среднего выигрыша для обоих опционов достигается в конце интервала [0,T]. Это означает, что при выбранных параметрах премии опционов купли и продажи европейского и американского стиля совпадают и равны Pr^call = 4.06, Pr^put = 3.07.

В реальной жизни в каждом опционном классе премию приходится рассчитывать для целого набора цен исполнения, предлагаемых администрацией биржи перед торгами. Для метода Монте-Карло это означает, что необходимо провести расчеты премии последовательно для всех цен исполнения. Но так как цена базисного актива S_t не зависит от цены исполнения К, то расчет премий для разных К может осуществляться одновременно на одном и том же моделируемом ансамбле траекторий СДУ, что значительно снижает трудоемкость алгоритма. На рис.4 приведены графики зависимости премии опционов продажи американского и европейского стиля от цены исполнения. Как видно из рисунка, премии опционов американского и европейского стиля совпадают до тех пор, пока цена исполнения K  44, а затем премия опциона американского стиля постепенно начинает превышать премию опциона европейского стиля, причем разрыв увеличивается с ростом цены исполнения. Фактически, при K>44 премия опциона продажи американского стиля совпадает с внутренней стоимостью опциона: Pr^put = K - S₀. Расчеты проведены при объеме выборки N_sample = 100000. При статистическом моделировании значений S_t использовалась формула (14) с h=0.025.

Рис.4. Зависимость премии опционов продажи американского и европейского стиля от цены исполнения

Одним из наиболее серьезных рисков для подписчика опциона является неточная оценка будущей волатильности цены или значения базисного актива, так как это может привести к значительной ошибке в оценке стоимости опциона. В связи с этим желательно знать степень зависимости премии от изменения величины волатильности. Для получения такой зависимости методом Монте-Карло для каждого значения  приходится моделировать свой ансамбль траекторий СДУ. На рис.5 приведены графики зависимости премии опционов продажи американского и европейского стиля от величины волатильности. Как видно из рисунка, премия опциона американского стиля превышает премию опциона европейского стиля, пока волатильность меньше 25%. При  < 22% премия опциона продажи американского стиля совпадает с внутренней стоимостью опциона: Pr^put = K - S₀ = 2.

Рис.5. Зависимость премии опционов продажи американского и европейского стиля от волатильности

Большой интерес представляет чувствительность премии опциона к движениям начальной цены базисного актива. Для метода Монте-Карло ситуация схожа с предыдущей: для каждого значения начальной цены S₀ необходимо моделировать свой ансамбль траекторий СДУ. На рис.6 приведены графики зависимости премии опционов продажи американского и европейского стиля от цены акции. Как видно из рисунка, премия опциона американского стиля превышает премию опциона европейского стиля, пока цена акции менее 38. При S₀<38 премия опциона продажи американского стиля совпадает с внутренней стоимостью опциона.

Рис.6. Зависимость премии опционов продажи американского и европейского стиля от цены акции

Все предыдущие расчеты были связаны с линейной непрерывной моделью цены базисного актива (1). Оценим премию опциона купли американского стиля, основываясь на дискретной модели цены базисного актива

при  =0.5 и  =199.4%. Дисконтирование выигрыша держателя опциона выполним для простой процентной ставки:

На рис.7 приведены графики зависимости премии опциона купли американского стиля от цены исполнения, вычисленные по линейной непрерывной и нелинейной дискретной модели цены базисного актива. Решение о том, какая из этих двух моделей лучше соответствует реальным данным, принимается в каждом конкретном случае.

Рис.7. Премия опциона купли американского стиля для непрерывной и нелинейной дискретной модели