ТВиМС (Теория вероятностей и математическая статистика. Теория и примеры решения задач), страница 7

Обратно, если задана функция распределения непрерывной случайной величины, то (см. теорему об интеграле с переменным верхним пределом) плотность распределения этой случайной величины будет определяться равенством

Таким образом, имеется два равноправных способа задания непрерывной случайной величины: с помощью или плотности распределения, или функции распределения.

Пример. Пусть плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

Найти функцию распределения.

Решение. Пусть . Тогда

Если , то

Если , то

Таким образом, окончательно, искомая функция распределения имеет вид

(см. рис. 6).

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Ф ормулы для вычисления математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины аналогичны соответствующим формулам для дискретной случайной величины (см. § 3.3). Действительно, рассмотрим следующую таблицу.

Таким образом, переходя при записи этих формул от дискретной к непрерывной случайной величине, суммирование заменяется интегрированием по всей числовой оси, а вместо вероятности используется плотность распределения .

Пример. Функция распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Для нахождения и нам потребуется плотность распределения данной случайной величины (см. приведенные выше формулы). Получаем:

или

Тогда имеем

Геометрически, полученное значение математического ожидания есть абсцисса центра тяжести фигуры под графиком плотности распределения, т.е. абсцисса прямоугольного треугольника ОАВ (см. рис. 7; напомним, что центр тяжести треугольника есть точка пересечения медиан этого треугольника, а медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины).

Завершая решение, найдем дисперсию рассматриваемой случайной величины.

1. Нормальный закон распределения

Определение. Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами и , если ее плотность распределения имеет вид

Параметры а и  нормального закона тесно связаны с параметрами распределения рассматриваемой случайной величины. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и . Тогда

Отметим, что график – результат деформации Гауссовой кривой (см. § 2.3). Рассмотрим, как изменяется этот график при изменении параметров а и нормального закона.

На рис. 8 изображены графики при одинаковом значении параметра : изменение параметра а нормального закона приводит к параллельному переносу графика плотности распределения вдоль оси абсцисс.

На рис. 9 изображены графики при одинаковом значении параметра а : изменение параметра нормального закона приводит к “растяжению” графика вдоль оси ординат при сохранении площади под кривой равной 1 (заметим, что на рис. 9 ).

Теорема. Пусть случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и . Тогда справедливы формулы:

(1)

(2)

где – функция Лапласа, – функция распределения случайной величины Х.

Заметим, что график функции распределения нормально распределенной случайной величины получается в результате деформации из графика функции Лапласа (см. рис. 10 и 2).

П ример. Случайная величина Х – ошибка измерительного прибора распределена по нормальному закону с дисперсией равной 16 мк².

Систематическая ошибка отсутствует. Найти вероятность того, что при одном измерении ошибка:

а) превзойдет по модулю 6 мк;

б) окажется в промежутке от 0,5 до 3,5 мк.

Решение. а) Отсутствие систематической ошибки означает, что значения случайной величины Х группируются около нуля, поэтому (см. § 3.3). Искомой является вероятность . Воспользуемся переходом к противоположному событию: . Так как ,

то , т.е. последняя вероятность точно того вида, что может быть вычислена по формуле (2). Используя формулу (2) при , , получаем

Окончательно имеем

б) Искомая вероятность вычисляется по формуле (1) при :

Упражнение. Пусть случайная величина Х нормально распределена с параметрами а и  . Проверить, что Дать геометрическую интерпретацию этому результату.

Домашнее задание. 3.62, 3.63, 3.65, 3.66.

4.3. Центральная предельная теорема

и теоремы Муавра-Лапласа как следствия из нее

Центральная предельная теорема. Пусть случайные величины – независимы и одинаково распределены. Тогда закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному при неограниченном увеличении числа n эти х случайных величин.

Отметим, что центральная предельная теорема является частным случаем более общего утверждения – теоремы Ляпунова (подробнее см. учебник Н.Ш. Кремера).

Следствие. Биномиальный закон распределения неограниченно приближается к нормальному при неограниченном увеличении параметра n этого закона.

Доказательство. Пусть случайная величина Х – биномиально распределена с параметрами n и p . Рассмотрим сначала тот конкретный пример, когда Х – число наступлений некоторого события А в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых это событие наступает с вероятностью p. Введем в рассмотрение случайные величины такие, что – число наступлений события А в i –ом испытании, где Случайная величина принимает значение 1, если в i –ом испытании событие А наступило и значение 0 – в противном случае. Сумма случайных величин принимает значение m тогда и только тогда, когда число Х наступлений события А в n испытаниях равно m., т.е.

.

Тогда по центральной предельной теореме для случайной величины Х получаем требуемое утверждение. Аналогично данное Следствие доказывается и в общем случае.

Данное Следствие при работе с биномиально распределенными случайными величинами (при достаточно больших n ) позволяет использовать формулы, известные для нормально распределенных случайных величин. Именно это и происходит при применении теорем Муавра-Лапласа. Так, заменяя в формуле (1) из § 4.2 а и математическим ожиданием и средне квадратическим отклонением биномиально распределенной случайной величины ( см. § 3.3), обозначая также , приходим к интегральной теореме Муавра-Лапласа.

Геометрически приближение биномиального распределения к нормальному означает, что с ростом n точки плоскости с координатами неограниченно приближаются к кривой плотности нормального закона (здесь m – неотрицательное целое, не превосходящее n, значение вычисляется по формуле Бернулли; см. рис. 11).

Т огда справедливо приближенное равенство

где , которое, записанное явно, и есть локальная теорема Муавра-Лапласа.

Тема 5. Двумерные случайные величины

5.1. Совместные распределения и их параметры

Определение. Вектор , компоненты Х и Y которого являются случайными величинами, называется случайным вектором или двумерной случайной величиной.

Пример. Пусть Х – рост человека, Y – вес человека. Тогда – (непрерывная) двумерная случайная величина.

Пример. Пусть Х и Y – числа попаданий в мишень первого и второго стрелков (соответственно). Тогда – (дискретная) двумерная случайная величина.

Сравнивая между собой одномерную (см. выше темы 3, 4) и двумерную случайные величины, заметим, что, если результат измерения первой – точка на прямой, то результат измерения второй – точка плоскости.

Определение. Закон распределения одной из переменных при фиксированном значении другой называется условным распределением.

Определение. Связь между переменными называется статистической, если каждому значению одной переменной ставится в соответствие условное распределение другой переменной.

Отметим, что задание двумерной случайной величины равносильно заданию статистической связи между переменными.

Рассмотрим сначала двумерную дискретную случайную величину.