ТВиМС (Теория вероятностей и математическая статистика. Теория и примеры решения задач), страница 6

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной случайной величины равна нулю, т.е.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат, т.е.

где – произвольное число.

1. Справедливо равенство:

1. Дисперсия суммы (разности) двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих случайных величин, т.е.

где случайные величины Х и Y – независимы.

1. Пусть случайные величины – независимы и где Тогда

Замечание. называется средним квадратическим отклонением случайной величины Х и обычно обозначается через .

Отметим также, что свойство 3 дисперсии более удобно для ее вычисления по сравнению с исходным определением дисперсии.

Пример. Пусть закон распределения случайной величины Х имеет вид

X:		1	2
		0,6	0,4

Найти используя свойство 3 дисперсии.

Решение.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины называются параметрами распределения этой случайной величины.

Теорема. Пусть случайная величина – биномиально распределена с параметрами и p , тогда параметры ее распределения могут быть найдены по формулам:

Также справедливы равенства

Пример. Пусть случайная величина Х биномиально распределена с параметрам и . Тогда

Очевидно, что использование формул последней теоремы упрощает и ускоряет вычисление математического ожидания и дисперсии биномиально распределенной случайной величины по сравнению с применением исходных определений для М(Х) и

3.4. Функция распределения дискретной случайной величины

Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется такая функция значение которой в точке x численно равно вероятности того, что в произвольном испытании значение случайной величины Х окажется меньше чем х, т.е.

Данное определение задает функцию распределения не только для дискретных, но и для непрерывных случайных величин.

Пример. Пусть закон распределения случайной величины Х имеет вид

X:		1	2
		0,3	0,7

Найти функцию распределения этой случайной величины.

Решение. Найдем сначала F(x) для некоторых значений переменной х. Например,

так как данная случайная величина не имеет значений меньших нуля, а потому событие (Х < 0) для нее является невозможным. Аналогично, при любом значении переменной х, которое менее или равно 1, будем иметь Далее имеем:

Аналогично, при любом значении переменной х таком, что , будем иметь

(Или, другими словами, так как все значения данной случайной величины менее 2,5, то событие (Х < 2,5) является достоверным, а потому его вероятность равна 1.) Аналогично, при любом значении переменной х, которое более или равно 2, будем иметь

Окончательно имеем:

Г рафик найденной функции распределения изображен на рис. 3.

Свойства функции распределения

1. Функция распределения является неубывающей функцией.

2. Область значений:

3. Асимптотические свойства: (другими словами, прямые у =0 и у =1 являются асимптотами (левой и правой соответственно) графика y =F (x ) ).

4. Вероятность того, что в произвольном испытании значение случайной величины Х будет принадлежать полуинтервалу где и – произвольные числа, вычисляется по формуле

.

Доказательство. Значение функции распределения равна вероятности соответствующего события, но область значений вероятности есть отрезок – тем самым доказано свойство 2.

Используя определение функции распределения, получаем . Но произвольное значение случайной величины принадлежит числовой прямой, поэтому событие является невозможным. Вероятность невозможного события равна нулю (см. § 1.3), поэтому

Аналогично, учитывая, что событие является достоверным, а вероятность такого события равна 1, получаем

Нетрудно видеть, что

причем события правой части этого равенства несовместны. Принимая во внимание определение функции распределения и теорему сложении вероятностей для несовместных событий, получаем

что равносильно свойству 4.

Доказательство свойства 1 мы оставляем читателю в качестве упражнения (указание: используйте рассуждении от противного и свойство 4).

Тема 4. Непрерывная случайная величина

4.1. Плотность распределения непрерывной случайной величины

Неформально говоря, случайная величина непрерывна, если ее значения полностью заполняют некоторый интервал. Более точно, справедливо

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна на всей числовой прямой и дифференцируема при всех х за исключением, быть может, отдельных значений.

Определение. Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х называется такая функция что вероятность того, что в произвольном испытании значение случайной величины Х окажется принадлежащим некоторому отрезку , вычисляется по формуле

Принимая во внимание геометрический смысл определенного интеграла, получаем

Геометрический смысл плотности распределения. Вероятность того, что в произвольном испытании значение случайной величины Х окажется принадлежащим некоторому отрезку , численно равна площади под кривой плотности распределения на данном отрезке (см. рис. 4).

Пример. Пусть плотность распределения случайной величины Х имеет вид:

Найти вероятности:

а) б) в)

Решение. а) По определению плотности распределения,

Вместе с тем, данная плотность распределения задана аналитически по-разному на промежутках и отрезка интегрирования. Соответственно, используя свойства определенного интеграла, получаем

По геометрическому смыслу плотности распределения, полученная вероятность численно равна площади под кривой плотности распределения (см. рис. 5) на отрезке , т.е. равна площади фигуры, составленной из отрезка длины 1 и прямоугольника со сторонами и 0,6.

б) Неравенство равносильно тому, что . Учитывая, что на промежутке данная плотность распределения равна 0, получаем

в) Аналогично предыдущим пунктам задачи, имеем

Рассмотрение геометрического смысла результатов последних двух пунктов данного примера мы оставляем читателю в качестве упражнения. ▶

Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения неотрицательна, т.е. при всех х.

2. Интеграл от плотности распределения на всей числовой прямой равен 1, т.е.

.

(Данное свойство называется условием нормировки плотности распределения.)

Доказательство. Предположим противное: пусть найдется такой отрезок , что плотность распределения отрицательна на этом отрезке. Тогда (см. свойства определенного интеграла) имеем

Но, по определению плотности распределения, интеграл, стоящий в левой части последнего неравенства равен . Так как вероятность события не может быть отрицательной, приходим к противоречию, что доказывает справедливость свойства 1.

По определению плотности распределения,

Но событие является достоверным, поэтому его вероятность равна 1. Тем самым доказано свойство 2.

Парадокс нулевой вероятности

Теорема. Для непрерывной случайной величины вероятность принять произвольное числовое значение равно нулю.

Доказательство. Пусть – произвольное число. События и – равны, поэтому, по определению плотности распределения, получаем

(см. свойства определенного интеграла).

Из парадокса нулевой вероятности вытекает, что для любой непрерывной случайной величины вероятности попадания в произвольный отрезок числовой оси или в соответствующий полуинтервал (интервал) равны между собой, т.е. справедливо

Следствие. Пусть Х непрерывная случайная величина и – произвольные числа. Тогда верно следующее равенство

Доказательство. Очевидно, что

причем события и – несовместны. Используя последнее равенство и теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем

Но, согласно парадоксу нулевой вероятности, .Тем самым доказано первое из трех равенств Следствия.

Доказательство оставшихся двух равенств мы оставляем читателю в качестве упражнения.

Функция распределения непрерывной случайной величины

Пусть Х – непрерывная случайная величина и  ее плотность распределения. Используя определения функции распределения (см. § 3.4) и плотности распределения, получаем

.