MODELIRKURS (Математическое моделирование при активном эксперименте), страница 5

Воспользуемся результатами Примера 1 и положим в качестве генерирующего соотношения равениство x₁ = x₂x₃ (т.к. b₂₃ = 0). Тогда матрица планирования и результаты эксперимента (опуская промежуточные данные) будут выглядеть так

Проверим воспроизводимость опытов

откуда следует, что результаты опытов получены правильно, дисперсия строчных выборок равна S²{y} = 8,792 / 4 = 2,198 с числом степеней свободы v₃ = 4·4 = 16.

Оценки коэффициентов уравнения регрессии

аналогично b₂ = -1,44; b₃ = 0,05.

Проверка значимости полученных оценок начинается с определения их СКО

откуда

Табличные значения критерия t_кр(5%;16) = 2,131, следовательно, модель найдена в виде

= 14,09 + 1,88x₁ - 1,44x₂.

Проверка адекватности модели дает

т.е. модель признается адекватной экспериментальным данным.

Сравнение моделей примера 1 и примера 2 показывает, что они имеют совершенно разный вид, а по некоторым факторам - противоположные по смыслу оценки коэффициентов. Отсюда можно сделать несколько общих выводов и рекомендаций (без подробного обоснования), пригодных для использования в рамках теории планирования экспериментов:

1. по одним и тем же экспериментальным данным можно построить несколько математических моделей, каждая из которых будет адекватна для своего набора оценок коэффициентов регрессии;

2. из всех моделей наилучшей признается та, у которой меньше членов и меньше критерий Фишера (или, если угодно, меньше дисперсия адекватности);

3. при большом числе факторов работу по математическому моделированию следует начинать с ДФЭ возможно большей дробности. Если модель получилась неадекватной, ее всегда можно достроить до следующей реплики вплоть до ПФЭ. Это сэкономит количество опытов, время, затраты и т.п.

Заключение.

Применение описанных выше методов математического моделирования полностью оправдало себя в условиях с небольшим числом факторов. Но при очень большом числе факторов и привлечение их к составлению математического описания исследуемого объекта методами ПФЭ или ДФЭ может потребовать увеличения объема экспериментальной работы, что редко может выполняться из-за экономических, технологических и прочих ограничений. Таким образом, возникает необходимость в предварительном отсеивании несущественных и выделении тех факторов процесса, которые оказывают наиболее заметное влияние на целевую функцию. Другим существенным затруднением для применения ПФЭ или ДФЭ в производственных условиях является метод получения оценок коэффициентов регрессии. Оценки вида (11) считаются оптимальными в смысле эффективности (минимума дисперсии), поскольку их вычисление базируется на методе наименьших квадратов, однако предварительным условием такой оптимальности являются требования независимости факторов, ортогональности и симметричности плана эксперимента, а также требование равенства дисперсий условных распределений плотности вероятности f(y/x_k). В свою очередь симметричность плана требует равного количества наблюдений, соответствующих положительным и отрицательным значениям k-го фактора.

На практике в производственных условиях требования симметричности плана и равенства дисперсий условных распределений плотности вероятности f(y/x_k) эксперимента, как правило, нарушаются, особенно в случаях, когда исследователь пытается построить модель по результатам, зафиксированными для случайной системы комбинаций производственных факторов. При этом всегда имеется выбор: либо нарушить одно из требований факторного анализа, либо потерять часть информации, пытаясь выбрать из нее только то, что согласуется с правилами ведения ПФЭ (ДФЭ).

19