PROBABL1 (Лекции ещё одни), страница 4

Таким образом, коэффициент корреляции служит как бы оценкой бли­зости зависимости между случайными величинами к линейной. Для неза­висимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю. Однак он может равняться нулю и для зависимых случайных величин. Например, пусть случайные величины Х и Y связаны параболической зависимостью Y = Х² , т.е. на плоскости (х,у) случайные величинны (X,Y) распределены вдоль параболы, и пусть распределение вероятностей величины Х симметрично относительно начала координат. Тогда Е(Х) = 0 и интеграл, выражающий коэффициент корреляции, окажется симметричным относитель­но оси у, а следовательно, обратится в нуль.

Случайные величины называются коррелированными, если их корреляционныи момент не равен нулю, в противном случае они называются некоррелированными. Независимые случайные величины всегда не коррелирован Понятно, что в общем случае корреляционный момент случайных величин X и Y равен нулю, когда совместное распределение этих случайных ве­личин Р(Х,Y) симметрично относительно хотя бы одной из прямых, парал лельных осям координат и проходящих через точку, определяющую их математические ожидания.

Итак, коэффициент корреляции не может служить характеристикой зани симости или независимости случайных величин. Равенство этого коэффи­циента нулю является лишь необходимым условием независимости, но не достаточным. В следующей теореме указывается необходимое и достатс ное условие независимости; правда, к сожалению, оно является мало пригодным для практической проверки.

Теорема 3.1. Случайные величины Х и Y являются независимыми в том и только том случае, если для любых непрерывных функций (на вещественной оси)  и, обращающихся в нуль вне конечного интер­вала, имеет место равенство:

Е((Х)(Y)) = Е((Х))·Е((Y)).

Доказательство. Необходимость очевидна: при независимости величин математическое ожидание, представляющее соббй интеграл от пары функ­ций, интегрируемых каждая по своей вероятностной мере, распадается на произведение интегралов. При доказательстве достаточности следуе вспомнить, что , по определению, случайные величины называются неза­висимыми, если вероятность их совместной реализации равна произведению вероятностей каждой из них. Но из условия теоремы получаем что вероятность совместной реализации равна произведению вероятносте при 

Рассмотрим теперь вероятностные меры, функции распределения и математические ожидания на произвольных подмножествах конечномерног пространства и на произведении пространств. Приведенные ниже интег­ральные представления для случая плоскости понятным образом распрост раняются на многомерные пространства.

Пусть на множестве R² координатные величины Х и Y являются случайными. Их распределение нa  задается вероятностной мерой Р, определенной на алгебре подмножеств множества . Вероятно­стная мера Р на множестве , может быть записана в виде одного из следующих, равных друг другу интегралов:

(3.1.)

где Пр_x - проекция множества  на ось x, (x) - сечение множества  некоторой прямой х=const. Все пять введенных мер Р(х,у), Р₁(х), P₂(у), Р₁(х/у) и Р₂(у/х) являются вероятностными мерами. Меры Р₁(х) и P₂(y) называются маргинальными (проекциями мер Р на оси х и у), а меры Р₁(х/у) и Р₂(у/х) - условными мерами. Соответствующие этим мерам функции распределения вероятностей называются соответственна маргинальными и условными распределениями. Нетрудно основываясь на одной из трех приведенных форм интегрального представ ления вероятности, определить функции распределения F(x)= P(X x) и F(у)= Р(У  у) или же функцию распределения F(х,у) = Р(Х х, Y  у). Приведем, например, одно из возможных представле­ний для функции распределения F(х,у):

Область = (Xx, YY )изображен на рис.

В приведенном подходе к анализу случайных величин Х и Y исходным понятием y нас являлась область  на плоскости (х,у) с определенной на ее подмножествах вероятностью P. Однако весьма часто бывает и нао­борот: задаются независимые случайные величины Х и Y, каждое со свои собственным вероятностным распределением, т.е. исходными являются дв частных (маргинальных) распределения, а вероятности на плоскости (т.е. Р(х,у)) получаются из них с помощью произведений пространств. Рассмотрим два произвольных вероятностных (выборочных) пространства ₁ и ₂, на алгебрах U₁ и U₂ которых определены вероятно­стные меры P₁ и Р₂, соответственно. Можно, в частности, принять ₁=R^m и ₂=Rⁿ. Пусть А₁ - произвольное подмножество из ₁, принадлежащее алгебре U₁, а А₂ - аналогичное подмножество ₂. На произведении пространств ₁₂ рассмотрим множества вида A₁А_2. Множества такого вида будем наделять вероятностями по правилу умножения:

Р(A₁А₂) = Р₁(A₁)·Р₂(А₂).

Известно, что на наименьшей алгебре, содержащей все множества типа A₁А₂, существует единственная вероятностная мера Р, такая, что вероятности «прямоугольников» задаются приведенным правилом умно­жения. Эта наименьшая алгебра обозначается U₁U₂, а опреде­ленная на ней мера Р называется произведением мер Р₁ и Р₂.

Понятно, что в рассмотренном выше случае, когда мы сначала опреде ляли вероятности Р(х,у) на произведении пространств (х,у), а затем уже вводили маргинальные распределения Р₁(х) и Р₂(у), исходная алгебра U на (х,у) не могла быть меньше алгебры произведения.

В общем случае случайными величинами мы назвали выше не сами эле­менты алгебры U, а функции U, определенные на  и измеримые от­носительно U (и, в частности, бэровские функции). В частном случае эти функции могут тождественно равняться единице; и тогда объектом исследования оказываются сами элементы алгебры - случайные вели­чины. Записанное выше равенство (3.1) выражает собой частный случай теоремы Фубини о повторном интегрировании на произведении пространен когда рассматривается единичная функция. В более общем случае теорем Фубини утверждает существование повторных интегралов при выполнении весьма слабых требований к классу функций U(х,у), определенных на  (например, измеримых относительно алгебры-произведения) и к классу условных вероятностей (например, регулярных в определенном ниже смысле).Согласно этой теореме имеет место равенство (теорема умножения вероятностей):

В отношении, например, первого из повторных интегралов в (3.2) регу­лярность условной вероятности означает, что интеграл

есть измеримая относительно алгебры U₁ функция от х и есть вероятносная мера на алгебре U₂.

Понятно, что левая часть равенств (3.2) определяет в общем случае математическое ожидание случайной величины U(х,у), определенной на подмножестве  некоторого конечномерного пространства, а правые части определяют два возможных представления математического ожида­ния в виде повторных интегралов. Внутренние интегралы в каждом из повторных интегралов в (3.2) определяют условные математические ожи­дания. Аналогичным образом строятся повторные интегралы на произве­дении более чем двух пространств.

Определенные проблемы возникают в связи с тем, что вероятности можно приписывать разным подмножествам выборочного пространства  Наиболее широко распространенным подходом в теории вероятности явля­ется подход, при котором вероятности приписывают борелевским множествам U^b. Но возможны подходы, при которых алгебра является не первичным по отношению к вероятностной мере понятием, а вторичным, и некоторые из подобных подходов мы рассмотрим ниже. Некоторые из воз­никающих при этом проблем состояв в следующем. Например, в случае классического определения вероятностей на борелевских множествах U^b следует иметь в виду, что любое борелевскюе множество ВU^b содержит неборелевские подмножества. Следовательно, множество борелевской меры нуль может содержать подмножества, на которых вероятности не определены. Т.е. ситуация оказывается странной: мы имеем множества нулевой меры, подмножества которых, вообще говоря, никак не оценива­ются с точки зрения вероятности. Вообще говоря, эту неприятность не­трудно обойти, приняв, что если А  В и Р{В}=0 , то Р{А}=0. Подобное допущение требует расширения алгебры U^b до минимальной алгебры U, содержащей U^b и все подмножества нулевых множеств. Подобное расширение называется лебеговским пополнением исходного ве­роятностного пространства. Множество А принадлежит пополненной алгебре U^b тогда и только тогда, когда А-В и В-А содержатся в нулевом множестве. Лебеговское пополнение удобно в задачах, в ко­торых задано всего одно распределение Р. Если же вероятностных рас ределений более одного, то возможны неприятности, связанные с тем, что, например, пополненная алгебра U, построеннная с применением распределения Р₁, будет отличатьcя от пополненной алгебры,построенной с применением распределения Р₂ , а следовательно, величины, случайные по отношению к одной из этих алгебр, перестанут быть таковыми по отношению к дру­гой алгебре.