PROBABL1 (Лекции ещё одни), страница 3

где в отношении функции U(х) предполагается, что она является функ­цией ограниченной вариации и непрерывна в тех точках в которых F(x) разрывна.

Если функция U(х) непрерывна, а функция распределения F(х) терпит разрыв в точке с(а,b), то имеет место представление:

На практике редко когда бывает известно вероятностное распределе­ние случайной величины,и для получения всевозможного рода оценок пользуются некоторыми количественными характеристиками случайных величин, среди которых наиболее важны математическое ожидание, дис­персия и моменты различных порядков (2).

Понятие математического ожидания, или среднего ожидаемого значения пришло из теории игр, где под этим понятием подразумевается ожидаемы выигрыш в игре. Определим это понятие сначала для дискретного случая Пусть _i элементарные события из некоторого дискретного выборочного пространства , вероятность появления i-го из которых имеет величину р_i. Тогда под математическим ожиданием cлучайной величины понимается величина E(х), определяемая рядом

причем этот ряд предполагается абсолютно сходящимся. Если же ряд не сходится абсолютно, то операция усреднения (определения математичес­кого ожидания) теряет смысл.

Приведенное определение математического ожидания для дискретного ны борочного пространства нетрудно распространить на континуумиальные выборочные пространства, например, на подмножества . Пространства Rⁿ Сначала это распространение целесообразно провести для случая наи­более простого представления случайной величины U, задаваемой сту­пенчатой функцией U(х), принимающей значения a₁,…,a_n . По аналогии с дискретным случаем математическое ожидание будет задаваться

где I_k - интервалы, на которых функция U(х) принимает значения a_k, a F{I_k}- вероятности реализации значений a_k .

Математическое ожидание Е(U) обладает следующими свойствами:

а) Линейностью: Е(_U₁+ _) = _Е (U1) + _Е(U₂);

в) Положительностью: Е( U ) > 0 при U;

с) Нормированностью: Е(1) = 1.

Вышеопределенное математическое ожидание Е(U) можно продолжить на более широкий класс функций с сохранением свойств а)-с). Известно, что непрерывные функции можно рассматривать как предел последователь­ности ступенчатых функций, a эти последние можно продолжить до бэровски функций. В этом случае математическое ожидание определяется при заме­не конечных сумм интегралом Лебега-Стилтьеса :

где предполагается абсолютная сходимость интеграла.

Из свойств интеграла следует, что математическое ожидание постоян­ной равно этой постоянной и математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий. Столь же естественно из свойств интеграла следует, что математическое ожидание произведени независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Математическое ожидание можно определить, вообще говоря, двумя способами. Выше мы определили его как интеграл , где F(х) - распределение вероятностей на множестве . Однако U(х), как функция переменной х, распределенной по закону F(х) на множестве , сама является случайной величиной, значения которой распределены на оси R¹ с некоторой вероятностью G(U), индуцируемой вероятностью F(х). Следовательно, математическое ожидание случайной величины Х = U(х) можно также записать в виде

Наряду с математическим ожиданием, большую роль в приложениях иг­рает еще одна характеристика случайных величин - дисперсия, представ­ляющая собой математическое ожидание квадрата уклонения случайной ве­личины Х = U(х) от ее математического ожидания М = E(U). Но опред лению, дисперсия D(Х) равна

где F(х) - функция распределения на множестве  , G(U) –функция распределения значений U(х) и Н(у) - функция распределения случайной величины (U - М)².

Очевидно, дисперсия постоянной величины С равна нулю.

Предложение 2.1. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин Х и Y

равна сумме их дисперсий.

Доказательство. Из независимости Х и Y следует независимость также и разностей (X - Е(Х)) и (Y - Е(Y)). Tогда утверждение следует из следующей цепочки элементарных преобразований:

D(X + У) = Е[(Х+У - Е( Х+У)]² = E[Х+У - Е(Х) - Е(У)]² = Е [(X - Е(Х))+ (У - Е(У))]² =

= DХ +DУ + 2 Е[(Х - Е(Х))( У - Е(У)] = DX + DУ + 2 Е(Х - Е(Х))·Е(У - Е(У)) .

 

Следствие 2.1. Если X₁ ,..., X_n - случайные величины, каждая из ко­торых независима от суммы остальных, то дисперсия их суммы равна сум ме дисперсий каждой из них.

Следствие 2.2. дисперсия суммы конечного числа попарно независимых случайных величин Х₁,..., Х_n равна сумме их дисперсий.

Доказательство:

Нормированным уклонением случайной величины Х называется величина

Если воспользоваться тем, что случайные величины Х и (постоянная) Е(Х

независимы и что дисперсия постоянной равна нулю, то можно получить:

Нетрудно получить, что D(Х - У) =D(X)+D(y), где Х и Y - независимые случайные величины. В самом деле, D(- Y) = (-1)² D(y) = D(Y)

В качестве аналога математического ожидания случайной величины мож но рассматривать центр масс стержня неоднородной массы, а механичес­ким аналогом дисперсии может служить центральный момент инерции стержня. Чем больше масса стержня сосредоточена в окрестности его центра масс, тем меньше момент инерции, характеризующий разброс массы отно сительно центра масс; аналогично, с уменьшением разброса случайной величины относительно среднего значения уменьшается и дисперсия, ха­рактеризующая этот разброс.

На практике вместо дисперсии, имеющей размерность квадрата случай­ной величины, предпочитают пользоваться величиной

имеющей размерность самой случайной величины и называемой средним квадратическим отклонением.

Следует отметить, что на практике нередко удобнее рассчитывать дисперсию не по формуле Е( Х - Е(Х))² по формуле,а получающейся из нее после возведения в квадрат величины (X - Е(Х)) и следующего уп­рощения с использованием свойств математического ожидани

D(Х) = Е( Х² - 2 Х Е(Х) +[E(X)]²)= Е(Х²) - 2 Е(Х) Е(Х) +[Е(Х )]²= Е(Х²) – [Е(Х)]² .

Эта формула аналогична известной формуле механики, определяющей мо­мент инерции тела относительно любой оси через момент инерции относи­тельно параллельной оси, проходящей через центр масс тела.

В качестве примера вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х , равномерно распределенной в интервале (а,b):

таким образом, математическое ожидание совпадает с серединой интервал подсчитаем теперь дисперсию по формуле: Е(Х² ) – [Е(Х)]² . Находим

подставляя в формулу для дисперсии Е(Х) и Е(Х²), получаем

Отсюда видно, что чем больше длина интервала (а,b), на котором расп­ределена случайная величина X, тем больше дисперсия, т.е. дисперсия играет роль характеристики рассеяния случайной величины около матема­тического ожидания.

3.

Математическое ожидание и дисперсию называют также моментами пер­вого и второго порядка случайной величины X. Для многих приложений важны не только первые два момента, но и моменты более высоких поряд­ков. Моментом к-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание величины (X - а)^k , т.е.

Если а = 0, то момент называется начальным. Начальный момент первого порядка есть, очевидно, математическое ожидание. Если а = Е(X), то момент называется центральным. Нетрудно убедиться, что центральный момент первого порядка равен нулю, а центральный момент второго по­рядка есть дисперсия. Между центральными и начальными моментами суще ствуют относительно простые полиномиальные зависимости, которые могут быть получены в результате выполнения операций вычисления степеней, входящих в определение этих моментов. Несколько первых центральных и начальных моментов играют большую роль в статистике. Например, если известен закон распределения случайной величины с точностью до нескол ких постоянных, то эти постоянные могут быть найдены во многих случая с помощью нескольких первых моментов. Если же функция распределена неизвестна, то даже с помощью всех целочисленных моментов не представ ляется возможным ее определить, поскольку один и тот же набор счет­ного числа целочисленных моментов может относиться к различным функ­циям распределения. В связи с этим возникает проблема моментов; дана последовательность чисел с₀ = I, с₁ , с₂ .... и требуется найти, при каких условиях существует такая функция распределения F(х), для ко­торой при всех n имеют, место равенства и когда эта функция единственна? В настоящее время эта задача решена.

Дадим определение дисперсии n - случайных величин (Х₁ , ..., Х_n ), или , что то же самое, n-мерной случайной величины (Х₁,…, X_n ). Дисперсией (или корреляционной матрицей) n-мерной случайной величины называется совокупность n² чисел, определяемых по формулам:

Числа и представляют собой элементы неотрицательно определенной матрицы

,

диагональные элементы которой, как легко видеть, представляют собой дисперсии соответствующих случайных величин: b_ij = D(X_i).

Числа b_ij при ij называются смешанными центральными моментами второго порядка случайных величин X_i, и X_j, . Очевидно, bij=bji. Коэфициенты b_ij обычно называют коэффициентами ковариации, а нормированные следующим образом коэффициенты ковариации

называют коэффициентами корреляции между случайными величинами Х_i и Х_j

Значения коэффициентов r_ij лежат в диапазоне [-1, 1] , причем значения  достигаются только в случае линейной зависимости между X_i, и X_j, что нетрудно подсчитать непосредственно. В самом деле,

а следовательно, r_ij

Равенство r_ij = 1 возможно в том и только том случае, если

поскольку это равенство имеет место одновременно с равенством (I - r_ij) = 0. Но дисперсия равна нулю только от постоянной величины следовательно,

A последнее равенство выражает линейную связь между. Аналогичная линейная связь лишь со знаком + вместо - в левой части имеет место для случая r_ij= - I.

Задав линейную связь между Х_i и Х_j , нетрудно подсчитать, что коэффициент корреляции между Х_i и X_j равен .