PROBABL1 (Лекции ещё одни), страница 2

убеждаемся, что оно как раз совпадает с ранее вычисленным нами зна­чением для вероятности Р(А/В). Таким образом, получаем

Р(А·В) = Р(A/В)·Р(В).

Проводя аналогичные рассуждения, поменяв местами А и В, получим

Р(А·В) = Р(В/А)·Р(А)

Равенства

Р(А·B) = Р(А/В)·Р(В) = Р(В/А)·Р(А)

называют теоремой умножения вероятностей.

Рассмотренный пример позволяет также наглядно убедиться в спра­ведливости следующего равенства при A·B :

Р(A + В) == Р(А) + Р(В) - Р(А·В).

Пример 1.1. Пусть дважды бросается рсается игральная кость и требуется определить вероятность P(A/B) выпадения в сумме 10 очков, если в первом бросании выпало 4.

Выпадение во втором бросании 6 имеет вероятность 1/6. Следовательно,

Пример1.2. Пусть имеется 6 урн :

в урне типа А₁ - два белых и один черный шар, в урне типа А₂- два белых и два черных шара, в урне типа А₃ - два черных и один белый шар. Имеется 1 урна типа А₁, 2 урны типа А₂ и 3 урны типа А₃. Случайно выбирается урна и из нее шар. Какова ве­роятность, что этот шар белый? Обозначим через В событие вытаски­вания белого шара.

Чтобы решить задачу, предположим, что некоторое событие В реали­зуется только вместе с одним из n несовместимых событий А₁,..., А_n, т.е. В = , где события ВА_i и ВА_j с разными индексами i и j несовместимы. Из свойства аддитивности вероятности Р следует:

Подставляя сюда зависимость (1.1), получаем

эта формула носит название формулы полной вероятности. Для решения последнего примера воспользуемся формулой полной вероятности. Так как белый шар (событие В) может быть взят из одной из трех урн (события А₁, А₂, А₃ ), то можно записать

В = А₁В + А₂В + А₃В .

Формула полной вероятности дает

Подсчитаем вероятности, входящие в эту формулу. Вероятность, что шар взят из урны типа А₁ , очевидно равна Р(А₁) = 1/6, из урны типа А₂: Р(А₂) = 2/6 == 1/3 и из урны типа А₃: P(A₃) = 3/6 = 1/2. Если шар взят из урны типа А₁, то Р(В/А₁) = 2/3 , если из урны типа А₂, то Р(В/А₂)=1/2, а если из урны типа А₃, то Р(В/А₃)= 1/3. Таким образом,

Р(В) =(1/6)(2/З)+ (1/3) (1/2) + (1/2) (1/3) = 4/9.

Условная вероятность Р(В/А) обладает всеми свойствами вероятности Р(В/А)0, В(В/В) = 1 и P(В/А) аддитивна.

Поскольку

Р(А·В) == Р(В/А)-Р(А) = Р(А/В)·Р(В) ,

то отсюда следует, что если А не зависит от В, то есть если

Р(А/В) = Р(А),

то и В не зависит от А, т.е. Р(В/А) = Р(В).

Таким образом, в случае независимых событий теорема умножения принимает наиболее простой вид:

Р(А·В) = Р(А)·Р(В) (1.3)

Е сли события А и В независимыми, то независимы также и каждое из следующих пар событий: (A,В), (А,B), (A,В). Убедимся, например, что если А и В независимы, то независимы и А и Б . Поскольку Р(В/А) + Р(B/А) = I, то отсюда с учетом условия независимости собы­тий А и В, т.е. условия Р(В/А) = Р(В), следует: Р(В/А) = 1 - Р(В) = Р(В).

События могут быть попарно независимыми, но оказаться зависим-ыми в совокупности. В связи с этим вводится также понятие взаимной неза­висимости: события А₁,..., А_n называются взаимно независимыми, если для всякого подмножества Е индексов 1,2,...,n выполняется равен­ство

На практике нередко приходится оценивать вероятности гипотез после того, как проведено некоторое испытание. Пусть, например, со­бытие В может реализоваться лишь с одним из несовместимых событий А₁,...,А_n , т.е. и пусть событие В реализовалось.Требуется найти вероятность гипотезы (события) А_i при условии,

что В произошло. Из теоремы умножения

Р(А_iВ) = Р(В) Р(А_i/В) = Р(А_i) Р(В/А_i)

cледует

С учетом формулы полной вероятности для Р(В) отсюда следует

Эти формулы носят название формул Байеса.

Пример 1.3. Пусть в примере 1.2 вытащен белый шар и требуется оп­ределить, какова вероятность, что он взят из урны типа 3.

2.

Основные соотношения теории вероятностей, как это ни покажется парадоксальным, выглядят боолее естественно и гораздо более понятны, ее ли они рассматриваются не в дискретном, а в непрерывном выборочном пространстве, в котором определение вероятности дается через теорию меры и интегрирование. В связи с этим основные положения теории веро ятностей мы рассмотрим в пространстве Rⁿ. Как уже говорилось, в дискретных выборочных пространствах вероятность приписывается веем подмножествам, в то время как в непрерывных пространствах подобный подход неприемлем, так как приводит к противоречиям. Соответственно и не всякая функция на непрерывном пространстве может рассматриватьс. в качестве случайной величины. Для большинства приложений достаточно ограничиться алгеброй борелевских множеств и беровскими функция ми, измеримыми относительно этой алгебры U.

Определение 2.1. Функция точки F(t) на прямой есть функция распределения некоторой случайной величины, если она

а) неубывающая функция, т.е. F(a)F(b) при а < b ;

в) непрерывна справа, т.е. F(а) = F(а+) ;

с) удовлетворяет условиям F(-  ) = 0, F() = I.

Между вероятностной мерой Р, определенной на алгебре подмно­жеств из R¹ и вероятностной функцией распределения F(t) имеет место отношение

F(t)=P{x t}.

Полагая t = а и t = b, получаем

F(b)-F(a)=P{a<XbP{(a,b]}

Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a,b] можно также обозначать посредством. Соответственно, можно написать: F{(а,b]}=F(b)-F(a-), F{(a,b)]=F(b-)-F(a), F{[a,b)}=F(b-)-F(a-).

Понятие функции распределения можно обоощить и на многомерные про­странства. В Rⁿ функция распределения F(х) является функцией точки х = (х₁,..., х_n)Rⁿ. А в общем случае можно показать, что по заданной в Rⁿ функции точки можно построить аддитивную функцию F{(a,b]} промежутка (а,в] по формуле

(2.1)

где с = (с₁,..., с_n ) - это множество всех угловых точек промежутка

(а,в], т.е. точек с_i=а_i, и с_j= b_j, , а l(c) - число входящих в с компонент а_j. Например, для пространства R² получаем

F{(а,b]} = F(b₁,b₂) - F(а₁, b₂) - F(b₁,a₂) + F(а₁,а₂ ).

Понятно, что в многомерном случае функции распределения становятся весьма неудобными для использования . Из формулы (2.1) видно, что любая функция распределения порождает вероятностную меру на алгебре борелевских множеств в Rⁿ .

Рассмотрим дискретные случайные величины, т.е. такие, которые при­нимают только конечное или счетное множество значений х₁, х₂, ..., х_n,...- с вероятностями P_k>0, т.е. p_k=P{X=x_k}. Расп­ределение подобных случайных величин описывается функцией

Легко видеть, что функция распределения дискретных случайных величин кусочно-постоянна и величина ее скачков в точках х_k равна F(x_k+0) - F(х_k - 0) = р_k .

Если же случайные величины непрерывно распределены на вещественной оси, то функция их вероятностного распределения будет задаваться интегралом типа Лебега-Стилтьеса:

Очевидно, F( = I. Если же случайные величины распределены на некотором подмножестве А в R¹, то можно записать

Если существует такая интегрируемая по Лебегу функция (x), что

то говорят, что функция Fабсолютно непрерывна относительно меры Ле­бега, а функцию x называют плотностью (или производной Радона-Никодима) функции F относительно меры Лебега. Согласно теореме Радона-Hикодима, распределение F абсолютно непрерывно относительно меры Лебега тогда и только тогда, когда для любых подмножеств A оси R¹ нуле вой длины оказывается F{A}=0.

Говорят, что вероятностное распределение F сингулярно относительно меры Лебега, если оно сосредоточено на множестве меры Лебега нуль т.е. на множестве нулевой протяженности.

Теорема Лебега о разложении. Любое вероятностное распределение F является смесью атомического (дискретного), абсолютно непрерывного и сингулярного непрерывного распределений.

Примером сингулярного непрерывного распределения является функция Кантора

Эта функция является кусочно-постоянной, возрастающей лишь на множестве Лебега нуль, представляющем собой совершенное множество (замкнутое и плотное в себе), т.е. содер­жащее все свои предельные точки и одновременно содержащееся во множестве всех своих предельных точек, причем это совершенное множество нигде не плотно, т.е. его замыкание не содержит открытого множества.

Интеграл Лебега-Стилтьеса удовлетворяет всем свойствам обычного интеграла Лебега и для интегрируемых функций U(х) записывается в виде (на Rⁿ) :

Для распределений в R¹ имеет место следующая формула интегрирования по частям: