Шпаргалки по ТеорВер (Шпора по теории), страница 4
Описание файла
Файл "Шпаргалки по ТеорВер" внутри архива находится в папке "shpora-teor". Документ из архива "Шпора по теории", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из , которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "теория вероятности" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Шпаргалки по ТеорВер"
Текст 4 страницы из документа "Шпаргалки по ТеорВер"
Условная функция распределения непрерывной случайной величины: . Условная плотность распределения непрерывной случайной величины: . Эти понятия называют условными законами распределения.
30. Дайте определение условного математического ожидания и докажите его основное свойство.
Условным математическим ожиданием M(X|Y) дискретной случайной величины X относительно дискретной случайной величины Y называют функцию M(X|Y) = g(Y) от случайной величины Y, где область определения функции g(y) совпадает с множеством значений y1, …, ym случайной величины Y, а каждому значению yj аргумента y поставлено в соответствие число g(yj) = M(X|yj). Для непрерывной величины
Свойства условного математического ожидания:
-
M(c|Y) c
-
M(aX+b|Y) = aM(X|Y)+b
-
M(X1+X2|Y) = M(X1|Y)+M(X2|Y)
-
Пусть случайные величины X1 и X2 являются независимыми при условии, что случайная величина Y приняла любое конкретное значение. Тогда M(X1X2|Y) = M(X1|Y) M(X2|Y).
-
MX = M(M(X|Y))
-
Пусть u(X) и v(Y) – функции от случайных величин X и Y. Тогда M(u(X)v(Y)|Y) = v(Y) M(u(X)|Y)
-
Если X и Y – независимые случайные величины, то M(X|Y) MX.
Доказательство:
1),2),3)-опираются на свойства интеграла и суммы (как для безусловного).
4)--????
31. Что понимают под законом больших чисел и что является его основным содержанием? Докажите неравенства Чебышева.
Первое неравенство Чебышева. Для каждой неотрицательной случайной величины X, имеющей математическое ожидание MX, при любом >0 справедливо соотношение: .
Доказательство проведем для непрерывной случайной величины X с плотностью распределения p(x). Поскольку случайная величина X является неотрицательной, то . Так как подынтегральное выражение неотрицательно, то при уменьшении области интегрирования интеграл может только уменьшиться. Поэтому . Заменяя в подынтегральном выражении сомножитель x на , имеем: . Последний интеграл представляет собой вероятность события X , и, значит, MX P{X}, откуда и вытекает первое неравенство Чебышева. Для дискретной случайной величины интеграл заменяется суммой.
Второе неравенство Чебышева. Для каждой случайной величины X, имеющей дисперсию DX=2, при любом >0 справедливо: .
Доказательство. Воспользуемся первым неравенством Чебышева. Применяя к случайной величине Y=(X-MX)2 это неравенство, в котором заменено на 2, получаем: , что и доказывает второе неравенство Чебышева.
Пусть X1, X2, …, Xn, … - последовательность случайных величин, имеющих математические ожидания mi=MXi. Последовательность X1, X2, …, Xn, … случайных величин удовлетворяет закону больших чисел (слабому), если для любого >0: . Иными словами, выполнение закона больших чисел отражает предельную устойчивость средних арифметических случайных величин: при большом числе испытаний они практически перестают быть случайными и совпадают со своими средними значениями.
32. Сформулируйте и докажите теорему Чебышева и теорему Бернулли.
Теорема Чебышева (закон больших чисел в форме Чебышева). Если последовательность X1, X2, …, Xn, … независимых случайных величин такова, что существуют MXi=mi и DXi=i2, причем дисперсии i2 ограничены в совокупности (т. е. i2 С < +), то для последовательности X1, X2, …, Xn, … выполнен закон больших чисел.
Доказательство. Теорема является элементарным следствием второго неравенства Чебышева. Действительно, в силу свойств математического ожидания и дисперсии:
; . Применяя теперь второе неравенство Чебышева к случайным величинам , получаем для любого >0: .Т.е. выполняется закон больших чисел.
Теорема Бернулли (закон больших чисел в форме Бернулли). Пусть проводится n испытаний по схеме Бернулли и Yn – общее число успехов в n испытаниях. Тогда наблюденная частота успехов rn = Yn/n сходится по вероятности к вероятности p успеха в одном испытании, т. е. для любого >0 .
Доказательство. Обозначим Xi число успехов в i-м испытании Бернулли. Тогда частоту успехов в n испытаниях можно определить в виде , причем MXi=p и DXi=pq. Отсюда и вытекает утверждение теоремы(ссылка на следствие из теоремы Чебышева: ).
33. Сформулируйте центральную предельную теорему. Сформулируйте и докажите теорему Муавра-Лапласа.
Центральная предельная теорема. Пусть X1, X2, …, Xn, … - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, MXn=m, DXn=2. Тогда , где Ф(x) – функция стандартного нормального распределения.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Обозначим Sn суммарное число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p и вероятностью неудачи q=1-p. Тогда с ростом n последовательность функций распределения случайных величин сходится к функции стандартного нормального распределения, т. е. .
Доказательство. Пусть Xi – число успехов в i-м испытании. Тогда MXi=p, DXi=pq. Представляя Sn в виде Sn=X1+X2+…+Xn и используя центральную предельную теорему, приходим к утверждению теоремы.
34. Пусть – число успехов в серии из n испытаний по схеме Бернулли и n – велико.
Докажите, что в этом случае , где p – вероятность «успеха» в каждом отдельном испытании.