Шпаргалки по ТеорВер (Шпора по теории), страница 2

Скалярную функцию X(), заданную на пространстве элементарных исходов, называют случайной величиной, если для любого xR {: X()<x} – множество элементарных исходов, для которых X()<x является событием.

Функцией распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F(x), значение которой в точке x равно вероятности события {X<x}, т. е. события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов , для которых X()<x: F(x)=P{X<x}. Обычно говорят, что значение функции распределения в точке х равно вероятности того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х.

Функция распределения удовлетворяет следующим свойствам:

1.

2. при x₁<x₂ (F(x) – неубывающая функция)

3.

4.

5. , где (F(x) – непрерывная слева функция)

Доказательство. Поскольку значение функции распределения в любой точке x является вероятностью, то из свойства 4 вероятности (см. вопрос 5) вытекает утв. 1. Если x₁<x₂, то событие {X<x₁} включено в событие {X<x₂} и, согласно свойству 3, , т. е. в соответствии с определением функции распределения выполнено утв. 2. Пусть x₁,…, x_n,… - любая возрастающая посл-ть чисел, стремящаяся к +. Событие {X<+}, с одной стороны, является достоверным, а с другой стороны представляет собой объединение событий {X<x_n}. Отсюда в силу аксиомы непрерывности следует второе равенство в утв. 3. Аналогично доказывается и первое равенство. Событие {X<x₂} при x₁<x₂ представляет собой объединение двух непересекающихся событий: {X<x₁} – случайная величина X приняла значение, меньшее x₁, и - случайная величина X приняла значение, лежащее в промежутке [x₁, x₂). Поэтому в соответствии с аксиомой сложения получаем утв. 4. Наконец, пусть x₁,…,x_n,… - любая возрастающая посл-ть чисел, стремящаяся к x. Событие {X<x_n} является объединением событий {X<x_n}. Снова воспользовавшись аксиомой непрерывности, приходим к утв. 5.

14. Что называют дискретной случайной величиной? Сформулируйте и докажите утверждение о виде функции распределения дискретной случайной величины.

Случайную величину Х называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно.

Рядом распределения (вероятностей) дискретной случайной величины Х называют таблицу, состоящую из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в нижней – вероятности p_i=P{X=x_i} того, что случайная величина примет эти значения.

Функция распределения дискретной случайной величины является кусочно-постоянной функцией, принимающей на промежутке (-, x₁] значение 0, на промежутках (x_i, x_i+1], 1i<n, - значения p₁+…+p_i и на промежутке (x_n, +) – значение 1.

Доказательство. Пусть Х – дискретная случайная величина, заданная своим рядом распределения, причем значения x₁,…, x_n расположены в порядке возрастания. Тогда для всех xx₁ событие {X<x} является невозможным и поэтому в соответствии с определением функции распределения F(x)=0. Если x₁<xx₂, то событие {X<x} состоит из тех и только тех элементарных исходов , для которых X()=x₁, и, следовательно, F(x)=p₁. Аналогично при x₂<xx₃ событие {X<x} состоит из элементарных исходов , для которых либо X()=x₁, либо X()=x₂, т.е. {X<x}={X=x₁}+{X=x₂}, а следовательно, F(x)=p₁+p₂ и т. д. Наконец, при x>x_n событие {X<x} достоверно и F(x)=1.

15. Дайте определение непрерывной скалярной случайной величины и сформулируйте основные свойства ее плотности распределения вероятностей.

Непрерывной называют случайную величину X, функцию распределения которой F(x) можно представить в виде: . Функцию p(x) называют плотностью распределения (вероятностей) случайной величины X.

. Функцию распределения F(x) называют интегральным законом распределения случайной величины, а плотность распределения р(х) – дифференциальным законом распределения той же случайной величины.

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. p(x)0

Доказательство:

1) Функция F(x) является неубывающей, поэтому p(x)=F^/(x)>=0.

2)

3) В частности, если то событие является достоверным.

4)

5) Функция распределения – непрерывна, поэтому =F(x)-F(x)

16. Что называют функцией Лапласа и какими свойствами она обладает?

- интеграл (функция) Лапласа – функция стандартного нормального (гауссова) распределения (m=0, =1).

, (- < m < +, >0) – плотность нормального распределения.

- функция нормального распределения.

X_p – квантилью стандартного нормального распределения уровня р.

Х_1-р= -Х_р Док-во: 1-p=Ф(х_1-р)=1-Ф(-х_1-р) => Ф(-х_1-р)=р => -Х_1-р=Х_р

17. Дайте определение обобщенной плотности распределения вероятностей дискретной скалярной случайной величины и приведите аргументы для обоснования его корректности.??????

18. Выведите понятие n-мерного случайного вектора и сформулируйте основные свойства его функции распределения.

Совокупность случайных величин X₁=X₁(), …, X_n=X_n(), заданных на одном и том же вероятностном пространстве , называют многомерной (n-мерной) случайной величиной, или n-мерным случайным вектором. При этом сами случайные величины X₁, X₂, …, X_n называют координатами случайного вектора.

Функцией распределения (вероятностей) F(x₁, …, x_n) = F_{X1, …, Xn}(x₁, …, x_n) n-мерного случайного вектора (X₁, …, X_n) называют функцию, значение которой в точке (x₁, …, x_n)  Rⁿ равно вероятности совместного осуществления (пересечения) событий {X₁<x₁}, …, {X_n<x_n}, т.е. F(x₁, …, x_n) = F_{X1, …, Xn}(x₁, …, x_n) = P(X₁<x₁, …, X_n<x_n}.

В частности, при n=2 имеем двумерную функцию распределения.

Свойства двумерной функции распределения:

1. 0  F(x₁, x₂)  1

2. F(x₁, x₂) – неубывающая функция по каждому из аргументов x₁, x₂

3. F(-, x₂) = F(x₁, -) = 0

4. F(+, +) = 1

5. P{a₁X₁b₁, a₂X₂b₂} = F(b₁, b₂) – F(b₁, a₂) – F(a₁, b₂) + F(a₁, a₂)

6. F(x₁, x₂) – непрерывная слева в любой точке (x₁, x₂)  R² по каждому из аргументов x₁, x₂ функция

7. F_{X1, X2}(x, +) = F_X1(x), F_{X1, X2}(+, x) = F_X2(x)

Доказательство:

3. События {X₁<- } и {X₂<- } являются невозможными, а пересечение невозможного события с любым событием также невозможное событие, вероятность которого равна нулю

4. События {X₁<+ } и {X₂<+ } так же,как и их пересечение, являются достоверными, вероятность которых равна единице

5) Сами

6) (пусть x₁,…,x_n,… - любая возрастающая посл-ть чисел, стремящаяся к x. Событие {X<x_n} является объединением событий {X<x_n}. Снова воспользовавшись аксиомой непрерывности, приходим к утв)

1. Событие {X₁<+ } является достоверным, поэтому

19. Что называют дискретным случайным вектором? Сформулируйте и докажите утверждение о виде функции распределения дискретного случайного вектора.

Двумерную случайную величину (X, Y) называют дискретной, если каждая из случайных величин X и Y является дискретной, т.е. если множество их возможных значений конечно или счетно.

p_ij = P{X=x_i, Y=y_j} – вероятность совместного осуществления событий {X = x_i} и {Y = y_j}. Совместная функция распределения получается суммированием pij по всем значениям i и j, для которых x_i<x, y_j<y, т. е.

. Доказательство следует из доказательства для одномерной случайной величины.

20. Дайте определение непрерывного случайного вектора. Сформулируйте и докажите основные свойства его плотности распределения вероятностей.

Непрерывной двумерной случайной величиной (X, Y) называют такую двумерную случайную величину (X, Y), совместную функцию распределения которой F(x₁, x₂) = P{X<x₁, Y<x₂} можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла: . Функцию p(x₁, x₂) = p_X,Y(x₁, x₂) называют совместной (двумерной) плотностью распределения случайных величин X и Y, или плотностью распределения случайного вектора (X, Y). .

Двумерная плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. p(x1, x2)  0

7. 8.

Доказательство. Свойства 1­ – 5 аналогичны свойствам одномерной плотности распределения. Свойство 6 является обобщением свойства 2. Докажем утверждения 7 и 8. Из свойства 7 двумерной функции распределения (см. вопрос 18) и определения двумерной плотности распределения вытекает:

, ,

откуда, дифференцируя интегралы по переменному верхнему пределу и учитывая, что , получаем утверждение 7 для одномерных плотностей распределения p_X(x) и p_Y(y) случайных величин X и Y.

21. Что понимают под функцией случайных величин? Сформулируйте и решите задачу о нахождении закона распределения функции случайных величин (общий случай).

Случайную величину Y, которая каждому элементарному исходу  ставит с соответствие число Y() = Y(X()), называют функцией Y(X) (скалярной) от скалярной случайной величины X. Функция Y = Y(X) от дискретной случайной величины также является дискретной случайной величиной, поскольку она не может принимать больше значений, чем случайная величина X. Функция Y = Y(X) от непрерывной случайной величины X может быть как непрерывной, так и дискретной.