Шпаргалки по ТеорВер (Шпора по теории), страница 3
Описание файла
Файл "Шпаргалки по ТеорВер" внутри архива находится в папке "shpora-teor". Документ из архива "Шпора по теории", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из , которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "теория вероятности" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Шпаргалки по ТеорВер"
Текст 3 страницы из документа "Шпаргалки по ТеорВер"
Сформулируем правило определения функции распределения FY(y) по заданной плотности распределения pX(x). FY(y) - вероятность события {Y<y}, состоящая из тех элементарных исходов , для которых Y(X()) < y. Для этих же элементарных исходов случайная величина X() будет принимать свои возможные значения на некоторой совокупности {k}, k=1,2,…, непересекающихся промежутков числовой прямой R, т. е. событие {Y(X()) < y} эквивалентно событию , и, следовательно, по расширенной аксиоме сложения вероятностей . Зная плотность распределения pX(x) случайной величины X, имеем: , а следовательно, учитывая свойство аддитивности определенного интеграла, получаем: , где сумма может быть и бесконечной. Поскольку совокупность промежутков {k} определена как множество тех значений случайной величины X(), для которых Y(X()) < y, то для множества , по которому ведется интегрирование, принято обозначение: Y(x) < y. Окончательно получаем: .
22. Сформулируйте и решите задачу о нахождении закона распределения функции : G Q случайных величин, где G Rn, Q Rn и уравнение Y = (X) имеет единственное решение в G для каждого Y Q. ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
23. Дайте определение независимых случайных величин. Каким основным свойством обладает совместный закон распределения независимых случайных величин?
Независимые случайные величины – по значению одной случайной величины нельзя судить о значении другой.
Случайные величины X и Y называются независимыми, если совместная функция распределения FYX(x,y) является произведением одномерных функций распределения FX(x) и FY(y): FYX(x,y)= FX(x)FY(y).
Случайную величину Y = Y(X1, X2) = Y(X1(), X2()) называют функцией (скалярной) от двумерной случайной величины. pij = P{X1=x1i, X2=x2j}. Функция распределения: .
Если X1 и X2 независимые случайные величины, т. е. pX1,X2(x1, x2) = pX1(x1) pX2(x2), а случайная величина Y=X1+X2 . Тогда Y(x1, x2) = x1+x2, по формуле функции распределения находим: . Плотность распределения суммы X1 и X2: . В этом случае говорят, что плотность распределения случайной величины Y является сверткой (композицией) плотностей распределения слагаемых X1 и X2. Соотношение условно записывается в виде: pY = pX2 * pX!.
24. Что называют математическим ожиданием скалярной функции случайных величин? Сформулируйте и докажите основные свойства математического ожидания.
Математическим ожиданием (средним значением) МХ дискретной случайной величины Х называют сумму произведений значений xi случайной величины и вероятностей pi = P{X=xi}, с которыми случайная величина принимает эти значения: . При этом, если множество возможных значений случайной величины счетно, предполагается, что . В противном случае говорят, что МХ не существует.
Математическим ожиданием (средним значением) МХ непрерывной случайной величины называют интеграл . При этом предполагается, что .
Пусть Y(X) – функция от случайной величины
Для функций случайных величин математическое ожидание вычисляется аналогично.
Математическое ожидание удовлетворяет следующим свойствам:
-
Если случайная величина Х принимает всего одно значение с вероятностью 1, то МС=С.
-
M(aX+b) = aMX+b, где a, b – постоянные
-
M(X1+X2) = MX1+MX2
-
M(X1X2) = MX1MX2 для независимых случайных величин.
Доказательство состоит в раскрытии сумм и интегралов.
25. Что называют дисперсией скалярной случайной величины? Сформулируйте и докажите основные свойства дисперсии.
Дисперсией DX(второй центральный момент) случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее среднего значения, т. е. DX = M(X-MX)2.
Дисперсия удовлетворяет следующим свойствам:
-
Если случайная величина Х принимает всего одно значение С, то DC=0
-
D(aX+b) = a2DX
-
DX = MX2-(MX)2
-
D(X+Y) = DX + DY для независимых случайных величин.
Доказательство опирается на свойства математического ожидания.
26. Дайте определение ковариации двух скалярных случайных величин. Сформулируйте и докажите основные свойства ковариации.
Ковариацией (корреляционным моментом) cov(X1, X2) случайных величин X1, X2 называют математическое ожидание произведения случайных величин :
Для дискретных случайных величин X1, X2: .
Для непрерывных случайных величин X1, X2: .
D(X+Y) = DX+DY+2cov(X, Y).
Ковариация имеет следующие свойства:
-
cov(X, X) = DX
-
cov(X1, X2) = 0 для независимых случайных величин X1 и X2
-
Если Yi = aiXi+bi, i=1,2, то cov(Y1, Y2) = a1a2cov(X1, X2)
-
cov(X1, X2) = M(X1X2) – MX1 MX2.
Доказательство. Утверждение 1 вытекает из очевидного соотношения: cov(X, X) = M(X-MX)2. Если случайные величины Х1 и Х2 являются независимыми и имеют математические ожидания, то cov(X1, X2) = M((X1-MX1)(X2-MX2) = (M(X1-MX2))(M(X2-MX2)), откуда приходим к утверждению 2. Пусть Y1 = a1X1+b1, Y2 = a2X2+b2. Тогда cov(Y1, Y2) = M((Y1-MY1)(Y2-MY2)) = M((a1X1+b1-a1MX1-b1)(a2X2+b2-a2MX2-b2)) = M(a1a2(X1-MX1)(X2-MX2)). Поэтому справедливо утверждение 3. Рассмотрим дисперсию случайной величины Yx = xX1-X2, где х – произвольное число. В силу свойств дисперсии и свойства 3 ковариации DYx = D(xX1)+2cov(xX1,-X2)+D(-X2) = x2DX1-2xcov(X1, X2)+DX2. Дисперсия DYx, как функции от x, представляет собой квадратный трехчлен. Но дисперсия любой случайной величины не может быть меньше нуля, а это означает, что дискриминант D = (2cov(X1, X2))2-4DX1DX2 квадратного трехчлена DYx является неположительным, т. е. имеет место утверждение 4. Далее, пусть выполнено равенство 5. Значит дискриминант равен нулю, и уравнение DYx = 0 имеет решение, которое обозначим a. Тогда случайная величина Ya = aX1-X2 принимает всего одно значение (допустим, b), и, следовательно, X2 = aX1+b. Наоборот, пусть выполнено X2 = aX1+b. Тогда в соответствии со свойством 1 дисперсии DYx = 0, а значит дискриминант является неотрицательным. Поскольку при доказательстве свойства 4 было показано, что этот дискриминант неположителен, то он равен нулю, откуда следует . Утверждение 6 получается раскрытием скобок в формуле ковариации и использованием свойств математического ожидания.
27. Что понимают под коэффициентом корреляции двух скалярных случайных величин? Сформулируйте и докажите основные свойства коэффициента корреляции.
Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют число = (X, Y), определяемое равенством (предполагается, что DX>0 и DY>0): .
Коэффициент корреляции имеет следующие свойства:
-
(X, X) = 1
-
Если случайные величины X и Y являются независимыми (и существуют DX>0 и DY>0), то (X, Y) = 0.
-
(a1X1+b1, a2X2+b2) = (X1, X2). При этом знак плюс нужно брать в том случае, когда a1 и a2 имеют одинаковые знаки, минус – разные.
-
–1 (X, Y) 1
-
|(X, Y)| = 1 тогда и только тогда, когда случайные величины X и Y линейно зависимы.
Доказательство следует из свойств ковариации.
28. Дайте определение ковариационной матрицы случайного вектора. Сформулируйте и докажите основные свойства ковариационной матрицы.
Матрицей ковариаций (ковариационной матрицей) случайного вектора называют матрицу , состоящую из ковариаций случайных величин Xi и Xj.
Свойства матрицы ковариаций.
-
Матрица ковариаций является симметрической.
-
Пусть m-мерный случайный вектор получен из n-мерного случайного вектора с помощью линейного преобразования B, т. е. . Тогда матрица ковариаций случайного вектора связана с матрицей ковариаций случайного вектора соотношением .
-
Матрица ковариаций является неотрицательно определенной, т. е. для всех векторов
Доказательство. Утверждение 1 следует из определения матрицы ковариаций. Пусть матрица В линейного преобразования имеет вид B = (bij). Вычислим ковариацию случайных величин Yi и Yj: . Записывая последнее равенство в матричной форме, получаем утверждение 2. Для доказательства утверждения 3 рассмотрим скалярную случайную величину . В случае скалярной случайной величины Y ее дисперсия , и поэтому в соответствии с утверждением 2 имеем: , откуда в силу неотрицательности дисперсии получаем утверждение 3.
29. Что понимают под условным законом распределения? Докажите равенство , где - непрерывный случайный вектор.
Для двумерной дискретной случайной величины (X, Y) условной вероятностью , того, что случайная величина X примет значение xi при условии Y = yj, называют условную вероятность события {X=xi} при условии события {Y=yj}, т. е. . Набор вероятностей характеризует условное распределение дискретной случайной величины X при условии Y = yj.