Теория вероятности, страница 3

Если события А и В несовместны, то А + В – это событие А, или событие В.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в совместном появлении и события А, и события В.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в их совместном появлении.

Событием, противоположным событию А, называется событие, обозначаемое и состоящее в том, что в результате опыта событие А не наступит.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Следствие1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А₁ + А₂+ …+ А_n) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) + …+ P(A_n).

Следствие 2. Если события А₁, A₂, A₃, …An образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице: P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) + …+ P(An) = 1.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

P(A) + P( ) = 1.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло это событие В или нет.

Вероятность события А, вычисляемая при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события а и обозначается P_B(A)

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое из них произошло:

P(AB) = P(A)P_A(B) = P(B)P_B(A).

Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

P(AB) = P(A)P(B).

Для вычисления вероятности совместного появления большего числа событий, например, четырех, используют формулу:

P(ABCD) = P(A)P_A(B)P_AB(C)P_ABC(D).

Для нескольких независимых в совокупности событий вероятность их произведения равна произведению их вероятностей:

P(A₁A₂…A₃) = P(A₁)P(A₂)…P(A_n).

Следствие 3. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁,A₂…A_n., независимых в совокупности, равна разности единицы и произведения вероятностей противоположных событий ₁, ₂,… _n: PA₁ + A ₂ + …A_n) = 1 – P( ₁) P( ₂)… P( _n)

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей

1) В магазин поступило 30 телевизоров, 5 среди которых имеют скрытые дефекты. Наудачу отбираются 2 телевизора для проверки. Какова вероятность того, что оба они не имеют дефектов?

2) Вероятность безотказной работы двух независимо работающих сигнализаторов равна 0.6 и 0.7. Найти вероятность того, что сработают: а) оба сигнализатора, б) хотя бы один сигнализатор.

3) Изделия проверяются на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно равна 0.8. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартно.

4) Партия товара, состоящая из 15 ящиков, подлежит приемке, если при проверке наугад двух выбранных ящиков окажется, что содержащиеся в них изделия удовлетворяют стандарту. Найти вероятность приемки партии, содержащей в 5 ящиках нестандартные изделия.

5) В группе специалистов 3 экономиста и 5 юристов. Для проведения проверки работы фирмы наудачу отбираются 4 специалиста. Какова вероятность того, что в эта группа состоит из двух юристов и двух экономистов?

6) В партии деталей 12 стандартных изделий и 3 нестандартных. 5 деталей, выбранных наудачу, проверяют на соответствие стандарту. Найти вероятность того, что среди них не окажется нестандартных.

7) В экзаменационном билете три вопроса, Вероятность ответа на первый вопрос - 0.9; на второй - 0.7; на третий - 0.5. Найти вероятность различных оценок.

8) На складе телевизионного ателье из имеющихся 20 микросхем 6 изготовлены первым заводом, остальные - вторым. Найти вероятность того, что две наудачу взятых микросхемы изготовлены первым заводом.

9) Студент знает 20 вопросов из 25-ти. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

10) В рабочем поселке 11 торговых точек, 8 из которых - ИЧП. Для проверки наудачу отбираются 5. Какова вероятность того, что в число проверяемых попадут только частные торговые предприятия?

11)Брошены монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: «появился герб», появилось 6 очков».

12)Монета бросается до тех пор пока 2 раза подряд не выпадет одной и той же стороной. Найти вероятности следующих событий: а)опыт окончится до шестого бросания; б)потребуется четное число бросаний.

13)Вероятности поражении цели первым стрелком равна 0,8, вторым 0,6. Найти вероятности следующих событий: а) цель поражена двумя попаданиями; б) одним выстрелом; в) цель не поражена.

14)В урне находится 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар, при втором черный и при третьем – синий.

15)Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.

16)В урне 7 белых и 9 красных шаров. Из урны наугад вынимают первый шар, определяют цвет. Затем второй шар. Найдите вероятность, что они оба белые.

16.1)Из урны (задача 16) одновременно вынимают два шара. Найдите вероятность того, что они оба белые. (Это разные задачи?)

Формула полной вероятности

Пусть событие А может произойти в результате осуществления одного события из некоторой полной группы событий H₁, H₂, …H_n.

События этой группы обычно называют гипотезами. Тогда

P(A) = P(H₁)P_H1(A) + P(H₂) PH₂ +…+ P(Hn)P_Hn(A) (1)

(формула полной вероятности), причем

P(H₁) +P(H₂) +…+ P(Hn) = 1.

Пусть в результате испытания произошло событие А, которое могло наступить только вместе с одним из событий H₁, H₂,…Hn, образующих полную группу событий (они называются гипотезами). Требуется найти вероятность событий H_1, H_2,… Hn после испытания, когда событие А имело место, т.е. P_A(Hi), i = 1,2,…n. Для нахождения этих вероятностей используют формулы Байеса (формулы гипотез):

P_A (H_i) = (2)

Замечания.

1. Вероятности P_A(H₁) называются послеопытными (апостериорными) вероятностями гипотез Hi, а вероятности P(Hi) - доопытными (априорными) вероятностями гипотез Hi. Эти вероятности различаются.

2. Знаменатель в правой части формулы (2) совпадает с правой частью формулы (1) и равен P(A).

Задачи

1 Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0.06, на втором - 0.02. Производительность первого автомата втрое больше, чем второго. а) Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь нестандартна. б) Взятая с конвейера деталь оказалась нестандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом автомате.

2 Три хлебокомбината города производят продукцию, обеспечивающую город хлебобулочными продуктами в пропорции 2:3:5. Первый хлебокомбинат производит 30% продукции высшего качества, второй - 40%, третий - 60%. Найти вероятность того, что приобретенное хлебобулочное изделие оказалось высшего качества. Приобретенный продукт оказался высшего качества, найти вероятность того, что это изделие изготовлено на втором хлебокомбинате.

3 Сообщение можно передать письмом, по телефону и по факсу с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что сообщение дойдет до получателя в каждой из перечисленных возможностей соответственно равны 0.7, 0.6 и 0.9. 1) Какова вероятность получения сообщения? 2) Сообщение адресатом получено, какова вероятность, что оно передано по факсу?

4 В группе 25 студентов: 4 отличника, 9 хорошистов, остальные - троечники. Вероятность получения оценки “отлично” на экзамене по математике для первых - 0.95, для вторых - 0.7, для троечников - 0.3. 1) Какова вероятность того, что наудачу взятый студент получил на экзамене пятерку? 2) Студент получил пятерку на экзамене. Найти вероятность, что он хорошист.

5 Из 1000 экземпляров однотипного товара 300 принадлежат первой партии, 500 - второй и 200 - третьей. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованного товара. 1) Определить вероятность того, что наудачу выбранный экземпляр бракованный. 2) Наудачу выбранный экземпляр оказался стандартным, найти вероятность того, что он принадлежит третьей партии.

6 В торговое предприятие поступают однотипные изделия с трех фирм-производителей: 30% с первой, 50% со второй, 20% с третьей. Среди изделий первой фирмы 80% первосортных, второй - 90%, третья фирма изготовляет 70% первосортных изделий. 1) Куплено одно изделие, Найти вероятность того, что оно первосортное. 2) Купленное изделие оказалось не первосортным, найти вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой.

7 В ящике три детали, причем равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей. В этот ящик брошена стандартная деталь после чего наудачу извлекается одна деталь. Найти вероятность того, что эта деталь стандартна.

8 В урне 7 белых и 3 красных шара. Из урны удаляются два шара, о цвете которых неизвестно. После этого из урны извлекается один шар, найти вероятность того, что этот шар красный.

9 На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность того, что деталь стандартная, для первого станка равна 0.8, для второго - 0.9. Производительность второго станка втрое больше, чем первого. 1) Найти вероятность того, что взята наудачу деталь стандартна. 2) Взятая наудачу деталь оказалась бракованной, найти вероятность того, что она сделана на первом станке.